2024-2025学年浙教版七年级数学上册复习突破：绝对值化简问题专项探究（3大题型）（解析版）

专题突破：绝对值化简问题专项探究

01常考题型

题型1根据绝对值性质化简，------7--------------------

[绝对值化简

■题型3绝对值化简与最值问题:

题型2根据绝对值中未知数的范围化简-----、-----'

02技巧解密

绝对值化简常见问题方法总结

1、根据绝对值的性质化简

a(a>0)r(〉0)

(D牢记绝对值的性质：|M=o(«=o)或同=二:

[-a(a<0)卜。佃40)

(2)在|=”的组合中，当"="左边的部分未知时，求"||"内部的数，需要分

类讨论；当"="右边的部分未知时，求"="右边的值，结果只有一个。

(3)绝对值的非负性应用：当|+11=。"时，则"II”内部的式子整体=。

2、已知范围的绝对值化简基本步骤

第1步：判断绝对值内部式子的正负；

第2步：把绝对值改为小括号；

第3步：去括号；

第4步：化简合并。

3、绝对值化简与最值问题对应规律

(1)当x=a时，|x-a|的最小值=0；

(2)当a4xWb时，|x-a|+|x-b|的最小值=|a-b|；

(3)若a<b<c,当x=b时，|x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a；

03题型突破

题型一根据绝对值的性质化简

【例1】.（2024春•肇源县期中）若同+a=0,贝丘是（）

A.零B.负数C.负数或零D.非负数

【分析】根据绝对值的性质解答即可.

【解答】解：若同+°=0,则。是负数或零，

故选：C.

【变式1-1].（2024•碑林区校级模拟）如果|x|卷，那么（）

A.-1B.-1^2C.+工D.2

22-2

【分析】根据绝对值的意义求解即可.

【解答】解：：1

2

•,1

,，X=±T

故选：C.

【变式1-2].（2023秋•吉安月考）如果H=l川，那么加，"的关系（）

A.相等B.互为相反数

C.都是0D.互为相反数或相等

【分析】利用绝对值的代数意义化简即可得到加与"的关系.

【解答】解:V\m\=\n\,

.,.冽="或心=-小即互为相反数或相等,

故选：D.

【变式1-3].（2023秋•涌池县期末）若|°+2田6-7|=0,贝Ua+6的值为（）

A.-1B.1C.5D.-5

【分析】根据非负数的性质分别求出。、b,计算即可.

【解答】解：；|。+2|+|6-7|=0,

；.|a+2|=0,\b-7|=0,

6Z+2=0,b-7=0,

解得，a=-2,b=7,

则a+b=5,

故选：C.

【变式1-4].（2023秋•东莞市月考）若|尤-1|+|2-川=0,求2x-y的值.

【分析】根据非负数的性质得出x-1=0,2-y=0,即可求出x、y的值，从而求出2x-y的值.

【解答】解：l|+|2-y|=0,

又|2R20,

.'.x-1=0,2-y=0,

*—19y=2,

：.2x-y=2Xl-2=0.

【变式1-5].（2023•南皮县校级一模）若成力0,那么_h_L+_LkL的取值不可能是（）

ab

A.-2B.0C.1D.2

【分析】由MWO,可得：①。>0,b>0,②。<0,6<0,③a>0,b<0,④a<0,b>0；分别计算

即可.

【解答】解：'：ab^Q,

有四种情况：①a>0,b>0,@a<0,b<Q,③a>0,b<0,@a<Q,b>0；

①当a>0,b>0时，

Ia|」b|=1+1=2；

ab

②当a<0,6<0时，

h_L+lb」_=_i-i=_2；

ab

③当a>0,6<0时，

1Al+LLL=1-1=0；

ab

④当a<0,6>0时，

1A1+LLL=-1+1=0；

ab

综上所述，L_L+LLL的值为：±2或o.

ab

故选：C.

题型二已知范围的绝对值化简

【例2】.（2023•成都模拟）化简怔-4|+|3-Tt|=.

【分析】因为n仁3.414,所以3-Tt<0,然后根据绝对值定义即可化简怔-4出3-n|.

【解答】解：VTT^3.414,

-4<0,3-it<0,

|n-4|+|3-TT|=4-IT+K-3=1.

故答案为1.

【变式2-1].（2024春•松江区期中）如果。>3,化简：|1-a|-|a-3|=.

【分析】根据绝对值的性质进行解题即可.

【解答】解：：。>3,

/.|1-a\~\a-3\—a~1-（a-3）—a-1-a+3=2.

故答案为：2.

【变式2-2].（2024春•海门区校级月考）已知|剂=-TH,化简|刃-1|-|加-2|所得的结果为（）

A.2机-3B.-1C.1D.2m-1

【分析】由H=-加，得到机W0,判断出加-1与〃?-2的正负，然后利用绝对值的性质化简，去括号,

合并，即可得到结果.

【解答】解：：H=-机，

.,.加/0,

.,.m-1<0>m-2<0,

\m-1|-|m-2|=-（w-1）+（m-2）=1-m+m-2=-1.

故选：B.

【变式2-3].（2022秋•市北区校级期末）当同=5,|b|=7,S.\a+b\=a+b,则6的值为C）

A.-12B.-2或-12C.2D.-2

【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b>0,进一步确定a、6的值，再

代入求解即可.

【解答】解：了冏=5,|6|=7,

，。=±5,b=±7

9'\a+b\=a+b,

Q+620,

•"=±5.b=7,

当a=5,b=7时，a-b=-2；

当a=-5,b=7时，a-b=-12；

故的值为-2或-12.

故选：B.

【变式2・4】.(2023秋•文登区期末)如图所示，则|-3-〃|-|6+1降于()

________I____।III»

—1«01b

A.4+Q-bB.2+Q-bC.-4-a-bD.-2-a+b

【分析】先根据数轴判断-3-〃和b+1的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可.

【解答】解：由数轴可知，-IVaVO,b>\,

：.-3<-3-tz<-2,b+l>0,

|-3-6z|-|Z?+1|

=(3+a)-(b+1)

=3+Q-b-\

=2+Q-b.

故选：B.

【变式2-5].(2023秋•青羊区校级期末)已知数〃，b,。在数轴上的位置如图所示，且|°|>|臼>同，化简|。+臼

-\c-b\+\a-c\=.

______III_________I»

ca0b

【分析】由数轴得CVQVO,b>0,\b\>\a\,进一步判断出。+6>0,c-b<Of。-。>0,再根据绝对值

的意义化简即可.

【解答】解：由数轴得cVaVO,b>0,\b\>\a\,

6z+&>0,c-6<0,a-c>0,

\a+b\-\c-b\+\a-c\

=(q+b)-(b-c)+(。-c)

=a+b-b+c+a-c

=2。,

故答案为：2Q.

【变式2-6].（2023秋•思明区校级期末）如图，化简.

a

-------•----•--------•------►

0----1

【分析】判断出〃-1的取值，再根据绝对值性质计算即可.

【解答】解：由题得1,二.〃-1<0,，-1|=1-

故答案为：1-Q.

【变式2-7[.（2023秋•余下县期末）有理数〃、从c在数轴上的位置如图：

（1）判断正负，用或“V”填空：b-c0,a+b0,c-tz0.

（2）化简:\b-c|+|a+6|-\c-a\.

iiii）

a06c

【分析】（1）根据数轴判断出Q、b、。的正负情况，然后分别判断即可；

（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可.

【解答】解：（1）由图可知，。<0,b>0,c>0且|b|V|a|V|c|,

所以，b-c<0,Q+6<0,C-a>0；

故答案为：V,V,>;

（2）\b-c|+|a+Z>|-\c-a\

=（c-b）+（-q-b）-（c-a）

=c-b-a-b-c+a

=-2b.

题型三绝对值化简与最值问题

[例3].（2022秋•泗阳县期中）式子|x-2|+1的最小值是（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】当绝对值有最小值时，式子有最小值，进而得出答案.

【解答】解：当绝对值最小时，式子有最小值，

即|x-2|=0时,式子最小值为0+1=1.

故选：B.

【变式3-1].（2023秋•邵阳县校级月考）当。=时，的值最大，最大值为.

【分析】分“VI、。=1和三种情况讨论求出5-|Q-1|W5,问题随之得解.

【解答】解：当时，tz-1<0,

即5-=5-（1-a）=4+Q,

V6Z<1,

・・・5-\a-l|=4+a<5；

当a=\时，Q-1=0,

即5Tq-1|=5；

当a>l时，a-1>0,

即5Tq-1|=5-（6Z-1）=6-a,

-QV-1,

5-\a-1|=6-QV5；

综上：5-|Q-1|W5,当且仅当q=l时，有最大值，最大值为5,

解法二：

・・・5-\a-1|^5,

.,•当。=1时，的值最大，最大值为5.

故答案为：1,5.

【变式3-2].（2023秋•西安校级月考）当x满足条件时,-2|+,+3|有最小值,这个最小值是.

【分析】根据绝对值的性质以及题意即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：当-3WxW2时，|x-2|+|x+3|有最小值，这个最小值是5.

故答案为：-3WxW2,5.

【变式3-3].（2023春•沙坪坝区校级月考）已知加是有理数，贝!-2|+|加-4|+|加-6|+|加-8|的最小值

是.

【分析】根据绝对值最小的数是0,分别令四个绝对值为0,从而求得加的四个值，分别将这四个值代

入代数式求值，比较得不难求得其最小值.

【解答】解：•••绝对值最小的数是0,

分别当|加-2|,|心-4|,--6|,|刃-8|等于0时,有最小值.

二加的值分别为2,4,6,8.

•①当m=2时，原式=|2-2|+|2-4|+|2-6|+|2-8|=12；

②当m=4时，原式=|4-2|+|4-4|+|4-6|+|4-8|=8；

③当m=6时，原式=|6-2|+|6-4|+|6-6|+|6-8|=8；

④当w=8时，原式=|8-2|+|8-4|+|8-6|+|8-8|=12；

\m-2\+\m-A\+\m-6|+|m-8|的最小值是8.

故答案为：8.

【变式3-4].（2023秋•新罗区期中）我们已经学习了一个数。的绝对值可分为两种情况:

[a（a>0）.请用你所学的知识解决下面的问题：

11[-a（a<0）

（1）若|a-3|=5,求a的值；

（2）若数轴上表示数a的点位于-3与0之间（含端点），化简-2|-|a|；

（3）当°=时，|"5|+|a-l|+|a+3|取到最小值，最小值是.

【分析】（1）根据绝对值可得：a-3=±5,即可解答；

（2）根据已知范围，化简绝对值，再合并即可；

（3）分四种情况讨论，即可解答.

【解答】解：（1）：|a-3|=5,

a-3=±5,

解得：a=8或a—-2；

（2）•••数轴上表示数。的点位于-3与0之间（含端点），

-34W0,

'•|a-2|-同=-（a-2）+a—-a+2+a=2；

（3）当a25时，原式=a-5+a-l+a+3=3a-3,此时的最小值为3X5-3=12；

当lWa<5时，原式=-a+5+a-l+a+3=a+7,此时的最小值为1+7=8；

当-3<aWl时，原式=-a+5-a+l+a+3=9-a,此时的最小值为9-1=8；

当aW-3时，原式=-a+5-a+1-a-3=-3。+3,这时的最小值为-3X（-3）+3=12；

综上所述当a=l时，式子的最小值为8,

故答案为：1,8.

【变式3-51.(2023秋•芙蓉区校级月考)同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2的差的绝对值，实际上

也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：

⑴|5-(-2)尸；

(2)x是所有符合|x+5|+|x-