专题01展开与折叠综合题

专题01展开与折叠（综合题）易错点拨易错点拨知识点：展开与折叠有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．细节剖析:(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．易错题专训易错题专训一．选择题1．（2022•雁塔区模拟）如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“春”这个汉字相对的面上的汉字是（）A．正 B．斗 C．奋 D．青【易错思路引导】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【规范解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，与“春”这个汉字相对的面上的汉字是“斗”．故选：B．【考察注意点】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键．2．（2022•井研县模拟）如图是一个正方体的展开图，折成正方体后，x，y与其相对面上的数字相等，则xy的值为（）A．8 B．﹣8 C．9 D．【易错思路引导】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，可得x＝﹣2，y＝3，然后代入式子中进行计算即可解答．【规范解答】解：由题意得：x与﹣2相对，y与3相对，∴x＝﹣2，y＝3，∴xy＝（﹣2）3＝﹣8，故选：B．【考察注意点】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．3．（2022•常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）A． B． C． D．【易错思路引导】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以得到圆柱的侧面展开图的是长方形．【规范解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．故选：D．【考察注意点】本题考查了几何体的展开图．解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是长方形．4．（2020秋•锦州期末）一枚六个面分别标有1﹣6个点的骰子，将它抛掷三次得到不同的结果，看到的情形如图所示，则图中写有“？”一面上的点数是（）A．6 B．2 C．3 D．1【易错思路引导】根据与1个点数相邻的面的点数有2、3、4、5可知1个点数的对面是6个点数，再根据1与2、3相邻，从而得解．【规范解答】解：根据图形可知，与点数1相邻的面的点数有2、3、4、5，∴点数1与6是相对面，对比第一个和第三个图，可知写有“？”的面与点数1是相对面，故写有“？”一面上的点数是6．故选：A．【考察注意点】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相邻的面上找出一个与另外4个相邻的数是解题的关键．5．（2019秋•南京期末）如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（）A． B． C． D．【易错思路引导】根据立方体的平面展开图规律解决问题即可．【规范解答】解：由图可得，“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图可能是A，B，C选项，而D选项中，“更”与“祝”的位置互换后则符合题意．故选：D．【考察注意点】本题主要考查了正方体的展开图，对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．6．（2017•双流区校级自主招生）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）A． B． C． D．【易错思路引导】根据正方体的展开图的特征，“对面”“邻面”之间的关系进行判断即可．【规范解答】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，只有B折叠后符合，故选：B．【考察注意点】考查正方体的展开与折叠，掌握展开图的特征以及“正面、邻面”之间的关系是正确判断的前提．二．填空题7．（2022•盐湖区模拟）如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“真”所在面的对面所标的字是强．【易错思路引导】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．【规范解答】解：原正方体中与“真”所在面的对面所标的字是强．故答案为：强．【考察注意点】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．8．（2021秋•高新区校级期末）将一张长30cm，宽20cm的长方形纸片的四个角上各剪一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖长方体形盒子．若设剪去的正方形的边长为x，则制成的无盖长方体盒子的容积为x（30﹣2x）（20﹣2x）cm3．（不需要化简）【易错思路引导】求得长方体盒子长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，利用长方体的体积计算公式列式即可．【规范解答】解：根据题意，长方体盒子长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，无盖长方体盒子的容积为：x（30﹣2x）（20﹣2x）cm3．故答案为：x（30﹣2x）（20﹣2x）cm3．【考察注意点】此题考查展开图折叠成几何体、列代数式，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．9．（2021秋•邓州市期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置A．【易错思路引导】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【规范解答】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体．故答案为：A．【考察注意点】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．10．（2021秋•顺义区期末）如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图不可能是下列图中的②、⑤．（填序号）【易错思路引导】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意分两种情况剪开．【规范解答】解：沿后面下面剪开可得③，沿后面右面剪开可得①，沿下面右面剪开可得④．所以平面展开图不可能是②、⑤．故答案为：②、⑤．【考察注意点】本题考查了正方体的表面展开图．正方体共有11种表面展开图，注意分情况讨论．11．（2019秋•龙华区期末）已知图1是图2所示的小正方体的表面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是信．【易错思路引导】根据两个面相隔一个面是对面，再根据翻转的规律，可得答案．【规范解答】解：第一次翻转诚在下面，第二次翻转爱在下面，第三次翻转国在下面，由图1可得，信与国相对，这时小正方体朝上一面的字是信，故答案为：信．【考察注意点】本题考查了正方体相对两个面上的文字，两个面相隔一个面是对面，注意翻转的顺序确定每次翻转时下面是解题关键．12．（2018秋•江宁区期末）如图，将一张长为17，宽为11的长方形纸片，去掉阴影部分，恰可以围成一个宽是高2倍的长方体纸盒，这个长方体纸盒的容积是56．【易错思路引导】设长为y，高为x，则宽为2x，依据图中想数据列方程组，即可得到这个长方体纸盒的容积．【规范解答】解：设长为y，高为x，则宽为2x，依题意得，解得，∴这个长方体纸盒的容积是4×2×7＝56，故答案为：56．【考察注意点】本题主要考查了展开图折成几何体，解决问题的关键是通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．三．解答题13．（2021春•渠县期末）小明将一个底面为正方形，高为n的无盖纸盒展开，如图（a）所示．（1）请你计算图（a）所示的无盖纸盒的表面展开图的面积S1；（2）将阴影部分剪拼成一个长方形，如图（b）所示，请你计算该长方形的面积S2．（3）比较（1）（2）的结果，你得出什么结论？【易错思路引导】（1）大正方形的面积减去4个小正方形的面积的差，即为无盖纸盒的表面展开图的面积S1；（2）利用矩形的面积公式即可计算该长方形的面积S2；（3）根据（1）（2）表示的面积相等即可得到结论．【规范解答】解：（1）无盖纸盒的表面展开图的面积S1＝（3m）2﹣4n2＝9m2﹣4n2；（2）长方形的长是：3m+2n，宽是：3m﹣2n，∴长方形的面积S2＝（3m+2n）（3m﹣2n）；（3）由题可得，9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）．【考察注意点】本题主要考查了平方差公式的几何背景，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．立体图形的侧面展开图体现了平面图形与立体图形的联系，立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．14．（2021秋•临淄区期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，请把﹣10，7，10，﹣2，﹣7，2分别填入六个正方形，使得按折成正方体后，相对面上的两数互为相反数．【易错思路引导】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【规范解答】解：如图所示：【考察注意点】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．15．（2021秋•连南县期中）张明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．（1）共有4种弥补方法；（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；（3）在你帮忙设计成功的图中，要把﹣8，10，﹣12，8，﹣10，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上）【易错思路引导】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；（2）利用（1）的分析画出图形即可；（3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一．【规范解答】解：（1）共有4种弥补方法，故答案为：4；（2）如图所示：；（3）如图所示：．【考察注意点】此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键．16．（2018秋•黄浦区期末）生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1所示），当把它的上底面、下底面和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2所示（1）一个圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是4cm，侧面高为15cm，制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材？（不计接缝）．（2）如果一个圆柱体的铝制装饰品的高是5cm，而且侧面的面积等于上、下两个底面面积之和，那么底面的半径是5cm．（3）一张正方形的铝材边长是40cm，可单独用于制作（2）题中铝制装饰品的侧面或单独用于制作底面，若要使制成的侧面和底面正好能成为一套完整的装饰品，那么制作侧面的铝材张数与制作底面的铝材张数之比为8：9．【易错思路引导】（1）根据表面积＝侧面积+底面积×2，根据侧面积、底面积计算方法进行计算即可；（2）根据侧面积＝底面积×2，设半径，列方程求解即可；（3）求出利用一张正方形的纸单独做底面的个数、单独做侧面的个数，然后做几套的比即可．【规范解答】解：侧面积+底面积×2得，2π×4×15+π×42×2＝152π（cm2），答：制作这样一个易拉罐需要面积为152π平方厘米的铝材；（2）设半径为rcm，由题意得，2πr×5＝2πr2，解得，r＝5，故答案为：5．（3）用边长是40cm正方形上，单独作半径为5cm的底面圆时，一张可以做16个圆形，8套，用边长是40cm正方形上，单独作底面半径为5cm，高为5cm圆柱的侧面时，一张可以做9个侧面（8个横的，1个竖的），因此做侧面与底面张数的比为8：9．故答案为：8：9．【考察注意点】考查圆柱体的展开与折叠，理解底面、侧面之间的关系和计算方法是解决问题的关键．17．（2018秋•义安区期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，求x的值．【易错思路引导】利用正方体及其表面展开图的特点，列出方程x﹣3＝3x﹣2解答即可．【规范解答】解：根据题意得，x﹣3＝3x﹣2，解得：x＝﹣．【考察注意点】本题考查了正方体相对两个面上的文字．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．18．（2019秋•莲湖区期中）顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）顾琪总共剪开了8条棱．（2）现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全．（3）已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是6cm、6cm、2cm，求这个长方体纸盒的体积．【易错思路引导】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有两种情况，（3）根据长方体的体积公式，可得答案．【规范解答】解（1）小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）6×6×2＝72cm3，这个长方体纸盒的体积是72cm3．【考察注意点】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．19．（2018秋•张店区期中）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了8条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．【易错思路引导】（1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；（3）设底面边长为acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．【规范解答】解（1）由图可得，小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴可设底面边长acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，∴4×20+8a＝880，解得a＝100，∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．【考察注意点】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．20．（2021秋•临淄区期中）（1）如图1四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，并解答：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点；六棱柱有