专题16相似三角形(精讲精练)(原卷版+解析)

第16讲相似三角形（精讲）通过实例认识图形的相似。了解比例的基本性质，成比例的线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。了解相似多边形和相似比。掌握平行线分线段成比例。了解相似三角形判定定理。了解相似三角形性质定理。了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。会利用图形的相似解决一些简单实际问题。利用相似的直角三角形，探究并认识锐角三角函数，知道30°、45°、60°角的三角函数值。会使用计算器由锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求对应锐角。能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题TOC\o"1-3"\h\u第16讲相似三角形（精讲） 1考点1：平行线分线段成比例 3考点2：相似三角形的判定 15考点3：相似三角形的性质 23考点4：与相似三角形有关的证明与计算 28课堂总结：思维导图 54分层训练：课堂知识巩固 55考点1：平行线分线段成比例①比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．②比例的基本性质：(1)基本性质：⇔ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔＝k.（b、d、···、n≠0）①平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.｛新定义-黄金分割★★｝（2021•巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是A． B． C． D．以上都不对｛比例性质★★｝若，，则的值为．｛比例性质★★｝把浓度为和的两种盐水按的比例混合在一起，得到的盐水浓度为．｛平行线分线段成比例★★｝如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则．｛平行线分线段成比例★★｝如图，在中，、分别是边、上的点，与相交于点，若为的中点，，则的值是．｛平行线分线段成比例★★｝如图，在中，若，，，则．｛平行线分线段成比例★★★｝如图，在中，，，是的中点，且，则的长为．｛比例性质★★｝若，则．｛新定义-黄金分割★★｝（2021•德阳）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为．｛平行线分线段成比例★★｝如图，在中，点，分别在边，上，且，，射线和的延长线交于点，则的值为．｛平行线分线段成比例★★｝如图，中，为上一点，且，点为的中点，的延长线交于，则为．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为A． B． C． D．｛平行线分线段成比例★★｝如图，三边的中点分别为，，．连接交于点，交于点，则．｛平行线分线段成比例★★｝如图，直线，等腰的三个顶点、、分别在直线、、上，，交于点．若与的距离为1，与的距离为4，则的值是．（2019•雅安）若，且，则的值是A．4 B．2 C．20 D．14（2021•阿坝州）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，则的长是A．4 B．6 C．7 D．12（2021•连云港）如图，是的中线，点在上，延长交于点．若，则．考点2：相似三角形的判定相似三角形的判定：｛相似的判定★★｝如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是A．B．C． D．｛相似的判定★★｝在下列条件中，不能判断与相似的是A．， B．且 C． D．且｛相似的判定★★｝下列说法正确的是A．两个直角三角形相似 B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似 C．有一个角为的两个等腰三角形相似D．有一个角为的两个等腰三角形相似｛相似的判定★★｝依据下列条件不能判断和的相似是A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，，｛相似的判定★★｝如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是A． B． C． D．｛相似的判定★★｝如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是A． B． C． D．｛相似的判定★★｝如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是A． B． C． D．｛相似的判定★★｝如图，在矩形中，为上一点，交的延长线于点．求证：．｛相似的判定★★｝如图，，且，求证：．｛相似的判定★★｝如图，，是的高，连接．求证：．（2021•湘潭）如图，在中，点，分别为边，上的点，试添加一个条件：，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）考点3：相似三角形的性质相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．｛相似的性质★★｝如果两个相似多边形的周长比是，那么它们的面积比为A． B． C． D．｛相似的性质★★｝下列结论正确的是A．所有的矩形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的正多边形都相似｛相似的性质★★｝如图，矩形矩形，且，则的值是A． B． C． D．｛相似的性质★★｝如图，△，和分别是和△的高，若，，则与△的面积的比为A． B． C． D．｛相似的性质★★｝如图，已知在中，点、点是边上的两点，联结、，且，如果，那么下列等式错误的是A． B． C． D．｛相似的性质★★｝如图，，，，则的度数是A． B． C． D．｛相似的性质★★｝如果两个相似三角形周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为．（2020•铜仁市）已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长为A．3 B．2 C．4 D．5（2019•沈阳）已知△，和是它们的对应中线，若，，则与△的周长比是A． B． C． D．考点4：与相似三角形有关的证明与计算基础知识归纳：相似三角形与几何图形的综合．基本方法归纳：理清题意，合理推断，准确运算是关键．注意问题归纳：审题不清、条件利用不全是常见错误．｛相似的运用★★｝如图，在中，，高，正方形的四个顶点均在的边上，则正方形的边长为．A．2 B．2.5 C．3 D．4｛相似的运用★★｝如图，是半圆的直径，按以下步骤作图：（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；（3）连接，，，与交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①平分；②；③；④；所有正确结论的序号是A．①② B．①④ C．②③ D．①②④｛相似的运用★★｝著名画家达•芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中∠ACB＝∠EJD＝90°，CB＝EJ，连结HF，CJ，得到4个全等的四边形HFGI，四边形HFBA，四边形CJEA，四边形JCBD．CJ分别交AB，ED于点M，N，若MN：CJ＝5：9，且AB＝5，则HF的长为（）A． B． C． D．｛相似的运用★★｝如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形和是直角），连接，交于点，与边交于点，对于下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛相似的运用★★｝如图，正方形，点，分别在边，上，，，与交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④｛相似的运用★★｝如图，小明同学想测量操场上路灯的高度，于是他站立在点处测得其影长为1米，小明同学继续沿着方向行走5米到达点处，此时测得其影长为3米，已知小明身高1.5米，则路灯的长为米．｛相似的运用★★｝如图，线段是的角平分线，点、点分别在线段、的延长线上，联结、，且．（1）求证：；（2）如果，求证：．｛相似的运用★★｝如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：．｛相似的运用★★｝如图，在矩形中，是边的中点，于点，于，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛相似的运用★★｝如图，在正方形中，是的中点，点在的延长线上，，交于点，，交于点．（1）求证：．（2）若，，求的长．｛相似的运用★★｝公共自行车车桩的截面示意图如图所示，，，点、在上，，，，，，．（1）点到的距离为．（2）点到地面的距离为．｛相似的运用★★｝如图，在平行四边形中，，过点作于，连结，，为上一点，且．（1）求证：．（2）的长为．（2021•锦州）如图，内接于，为的直径，为上一点（位于下方），交于点，若，，，则的长为A． B． C． D．（2021•巴中）如图，中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．（2021•贵港）如图，在正方形中，，是对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则A． B． C．1 D．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为A． B． C． D．如图，路灯点距地面，身高的小明从距路灯底部点的点沿所在的直线行走了到达点时，则小明的身影A．增长了3米 B．缩短了3米 C．缩短了3.5米 D．增长了3.5米课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2022秋•和平区校级期末）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是A． B． C． D．2．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是A． B． C． D．3．（2022秋•桃江县期末）如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是A．与相似 B．与相似 C． D．4．（2022秋•丹东期末）如图，下列选项中不能判定的是A． B． C． D．5．（2022秋•德惠市期末）若，则的值为A． B． C． D．6．（2022秋•山西期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是A． B． C． D．7．（2022秋•裕华区校级期末）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为A．2 B．3 C．4 D．58．（2022秋•伊川县期末）下列各组的四条线段，，，是成比例线段的是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，9．（2022秋•定远县校级期末）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是A． B． C． D．10．（2022秋•益阳期末）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是A． B． C． D．11．（2022秋•莲池区校级期末）已知线段、、、的长度满足等式，则下列比例式中，错误的是A． B． C． D．12．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点为的边一点，下列条件不一定能保证的是A． B． C． D．13．（2022秋•驿城区期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是A． B． C． D．14．（2022秋•中原区期末）如图，是边的延长线上一点，交于，则图中的相似三角形共有A．对 B．2对 C．3对 D．4对15．（2022秋•蒙城县期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是A． B． C． D．1．（2022秋•南岸区期末）任意给定一个正三角形甲，以下说法正确的是A．存在正三角形乙，乙的周长和面积分别是甲的周长和面积的一半 B．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的倍 C．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的3倍 D．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的4倍2．（2022秋•安岳县期末）如图，在四边形中，，与相交于点，若，则的值为A． B． C． D．3．（2022秋•离石区期末）如图，在中，平分，交于点，过作的平行线交于，若，，则A． B． C． D．4．（2022秋•包头期末）如图，在“黄金三角形”中，，，平分交于点，若，则的长为．（顶角为，两底角分别为的等腰三角形就是黄金三角形）5．（2022秋•双流区期末）如图，在和中，，，为的中点，，．将绕点旋转，直线，交于点，连接，则的最小值是．6．（2022秋•黄浦区期末）已知：如图，点、分别在等边三角形的边的延长线与反向延长线上，且满足．求证：（1）；（2）．7．（2022秋•和平区校级期末）如图，小明晚上由路灯下的处直接走向路灯下的处，已知小明身高1.8米，路灯的高度为12米，当他行到处时发现，恰好他在路灯下的影子长为2米，接着他又走到处，恰好他在路灯下的影子长为1.5米于点，于点，于点，于点．（1）求，两点间的距离；（2）请直接写出路灯的高度为．8．（2022秋•静安区期末）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且．（1）求证：；（2）点在底边上，，，联结，如果与的面积相等，求的长．9．（2022秋•平昌县期末）如图，矩形中，为上一点，交的延长线于点．①求证：．②若，，求的值．1．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，为的内心；④若点在上以一定的速度，从往运动，则点与点的运动速度相等．其中正确的结论的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．（2022•武进区一模）如图，正方形的边长是3，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：①；②；③；其中正确结论的个数A．1 B．3 C．2 D．03．（2022•东平县一模）如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），连接、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为A． B． C．5 D．34．（2021秋•颍州区校级期中）如图，在中，，，点是线段上的一点，连接，过点作，分别交、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点，连接，给出以下四个结论：①；②若点是的中点，则；③当、、、四点在同一个圆上时，；④若，则，其中正确的结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．45．（2021秋•开福区校级期末）如图，正方形中，为的中点，于，延长交于点，延长交于点，交于下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．（2022•江汉区模拟）如图，已知为等腰的腰上一点，绕点逆时针旋转至，连接，，为的中点．则当时，．7．（2022•越秀区一模）如图，点为矩形的边上一点（点与点不重合），，．将沿对折，得到．连接、，给出下列四个结论：①与互补；②若点到边，的距离相等，则；③若点到边，的距离相等，则；④的面积的最小值为6．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）8．（2022•长清区一模）如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有．9．（2021秋•召陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点，点是该函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为，．当时，存在点使得，点的坐标．10．（2022•甘井子区校级模拟）如图，在中，，点在上，且，，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动．过点作的垂线段，使，连接，当点到达点时，点、同时停止运动、设，与重叠部分的面积为，当时，点恰好在边上．（1）填空：点恰好经过边时，的值为；（2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围．11．（2022•将乐县模拟）如图，将正方形的对角线绕点逆时针旋转得到，连接．点满足，且，交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求．12．（2022•庐阳区校级三模）如图，在中，，，为边上一点，连接，作于点，过点作交延长线于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，连接．①求证：；②若点为中点，、交于点，求的值．13．（2022•汉阳区校级模拟）如图，在矩形中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点．（1）求证：；（2）如图1，若，求的值；（3）如图2，在（2）的条件下，点、分别为、上的动点，若，请直接写出的最小值．14．（2022•合肥一模）在四边形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直于，垂足为，且．（1）求证：；（2）如图2，连接，点、、分别为线段、、的中点，连接、、．①求证：；②若，求的面积．第16讲相似三角形（精讲）通过实例认识图形的相似。了解比例的基本性质，成比例的线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。了解相似多边形和相似比。掌握平行线分线段成比例。了解相似三角形判定定理。了解相似三角形性质定理。了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。会利用图形的相似解决一些简单实际问题。利用相似的直角三角形，探究并认识锐角三角函数，知道30°、45°、60°角的三角函数值。会使用计算器由锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求对应锐角。能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题TOC\o"1-3"\h\u第16讲相似三角形（精讲） 1考点1：平行线分线段成比例 3考点2：相似三角形的判定 15考点3：相似三角形的性质 23考点4：与相似三角形有关的证明与计算 28课堂总结：思维导图 54分层训练：课堂知识巩固 55考点1：平行线分线段成比例①比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．②比例的基本性质：(1)基本性质：⇔ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔＝k.（b、d、···、n≠0）①平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.｛新定义-黄金分割★★｝（2021•巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是A． B． C． D．以上都不对【分析】点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解．【解答】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则，，，故选：．【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．｛比例性质★★｝若，，则的值为4．【分析】设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案．【解答】解：设，则，，，，即，，，故答案为：4．【点评】本题考查比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．｛比例性质★★｝把浓度为和的两种盐水按的比例混合在一起，得到的盐水浓度为．【分析】设浓度为盐水质量为，浓度为盐水质量为，然后利用浓度公式计算．【解答】解：浓度为和的两种盐水的比例为，设浓度为盐水质量为，浓度为盐水质量为，混合后的盐水浓度．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．｛平行线分线段成比例★★｝如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则．【分析】如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可．【解答】解：如图，过点作交于点．，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．｛平行线分线段成比例★★｝如图，在中，、分别是边、上的点，与相交于点，若为的中点，，则的值是．【分析】过作交于，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：过作交于，，，，若为的中点，，，，，，．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解题的关键．｛平行线分线段成比例★★｝如图，在中，若，，，则．【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：，，，，，设，则，，，．故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．｛平行线分线段成比例★★★｝如图，在中，，，是的中点，且，则的长为5.5．【分析】作交于，作的平分线交于，得出，再通过线段之间的转化即可得出线段的长．【解答】解：作交于，作的平分线交于，交于，则．因为，所以．又，．．，．，，，．故答案为：5.5．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．｛比例性质★★｝若，则．【分析】利用比例的性质设，则，用表示，，将，的值代入即可得出结论．【解答】解：由题意：设，则，．．．故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的性质，设，则，用字母表示出，是解题的关键．｛新定义-黄金分割★★｝（2021•德阳）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为或4．【分析】分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可；②边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可．【解答】解：分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，矩形的周长为：；②边为矩形的宽时，则矩形的长为：，矩形的周长为；综上所述，该矩形的周长为或4．【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．｛平行线分线段成比例★★｝如图，在中，点，分别在边，上，且，，射线和的延长线交于点，则的值为．【分析】过点作交于，根据平行线分线段成比例定理求出，进而求出，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：过点作交于，则，，，，，故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．｛平行线分线段成比例★★｝如图，中，为上一点，且，点为的中点，的延长线交于，则为．【分析】如图，过点作交于点．证明，，可得结论．【解答】解：如图，过点作交于点．，，，，，，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段对应成比例是解题关键，注意出现中点作平行线是常用的辅助线．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为A． B． C． D．【分析】作于，如图，根据等腰三角形的性质得到，则根据勾股定理可计算出，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到，则计算出，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：作于，如图，，，在中，，，是边的两个“黄金分割”点，，，．故选：．【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．｛平行线分线段成比例★★｝如图，三边的中点分别为，，．连接交于点，交于点，则．【分析】根据三角形中位线定理得到，，证明，根据相似三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：，分别为、的中点，是的中位线，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．｛平行线分线段成比例★★｝如图，直线，等腰的三个顶点、、分别在直线、、上，，交于点．若与的距离为1，与的距离为4，则的值是．【分析】作于，交于，作于，如图，利用平行线之间的距离的，，再证明得到，则可利用勾股定理计算出，从而得到，接着利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用勾股定理计算出的长，于是可计算出的值．【解答】解：作于，交于，作于，如图，，，，，为等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，在中，，，，，，在中，，．故答案为．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了平行线之间的距离和等腰直角三角形的性质．（2019•雅安）若，且，则的值是A．4 B．2 C．20 D．14【分析】根据比例的性质得到，结合求得、的值，代入求值即可．【解答】解：由知，所以．所以由得到：，解得．所以．所以．故选：．【点评】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则．（2021•阿坝州）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，则的长是A．4 B．6 C．7 D．12【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可．【解答】解：，．，，．故选：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．（2021•连云港）如图，是的中线，点在上，延长交于点．若，则．【分析】过点作交于，可得，所以，得到；再根据，得，所以，即．【解答】解：如图，是的中线，点是的中点，，过点作交于，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点作，构造相似三角形是解题的关键．考点2：相似三角形的判定相似三角形的判定：｛相似的判定★★｝如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是A．B．C． D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；、阴影三角形中，的两边分别为，，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．｛相似的判定★★｝在下列条件中，不能判断与相似的是A．， B．且 C． D．且【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．【解答】解：、，，可以得出，故此选项不合题意；、，且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；、，可以得出，故此选项不合题意；、且，可以得出，故此选项不合题意；故选：．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．｛相似的判定★★｝下列说法正确的是A．两个直角三角形相似 B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似 C．有一个角为的两个等腰三角形相似D．有一个角为的两个等腰三角形相似【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可求解．【解答】解：两个直角三角形只有一组角相等，两个直角三角形不一定相似，故选项不合题意；两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，故选项不合题意；底角为的等腰三角形和顶角为的等腰三角形不相似，有一个角为的两个等腰三角形不一定相似，故选项不合题意；有一个角为的两个等腰三角形相似，选项符合题意，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．｛相似的判定★★｝依据下列条件不能判断和的相似是A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，，【分析】直接根据三角形相似的判定方法对每一选项进行判断即可得出答案．【解答】解：、，，，，，，故此选项不符合题意；、，，，，且，，故此选项不符合题意；、，，，，且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；、，，，，，，，，故此选项不合题意；故选：．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．｛相似的判定★★｝如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是A． B． C． D．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：，，都可判定选项中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．｛相似的判定★★｝如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是A． B． C． D．【分析】由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．【解答】解：，当时，；当时，；当时，．故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．｛相似的判定★★｝如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是A． B． C． D．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：，，选项，根据两角对应相等判定，选项根据两边成比例夹角相等判定，选项中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．｛相似的判定★★｝如图，在矩形中，为上一点，交的延长线于点．求证：．【分析】根据两角对应相等两三角形相似证明即可．【解答】证明：四边形是矩形，，，，，，．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．｛相似的判定★★｝如图，，且，求证：．【分析】由已知条件得到，．则由“两边及夹角法”证得结论．【解答】证明：如图，，．又，，即，．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质应用，关键在于掌握三角形相似的判定定理．｛相似的判定★★｝如图，，是的高，连接．求证：．【分析】根据相似三角形判定推出，推出，再根据即可推出．【解答】证明：、是高，，，，，，．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．（2021•湘潭）如图，在中，点，分别为边，上的点，试添加一个条件：，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【解答】解：添加，又，，故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．考点3：相似三角形的性质相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．｛相似的性质★★｝如果两个相似多边形的周长比是，那么它们的面积比为A． B． C． D．【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解答】解：两个相似多边形的周长比是，这两个相似多边形的相似比是，它们的面积比是，故选：．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．｛相似的性质★★｝下列结论正确的是A．所有的矩形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的正多边形都相似【分析】利用相似多边形的判定解决问题即可．【解答】解：．所有的矩形对应边比值不一定相等，所以不一定相似，此选项错误；．所有的菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误；．所有的正方形都相似，故此选项正确；．正多边形不一定相似，故此选项错误；故选：．【点评】此题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．｛相似的性质★★｝如图，矩形矩形，且，则的值是A． B． C． D．【分析】根据相似多边形的性质得到，整理得到，解一元二次方程得到、的关系．【解答】解：矩形矩形，，即，整理得：，则，，（舍去），，故选：．【点评】本题考查的是相似多边形的性质、一元二次方程的解法，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．｛相似的性质★★｝如图，△，和分别是和△的高，若，，则与△的面积的比为A． B． C． D．【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：△，和分别是和△的高，，，，与△的面积的比，故选：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．｛相似的性质★★｝如图，已知在中，点、点是边上的两点，联结、，且，如果，那么下列等式错误的是A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的性质，由得到，则可对选项进行判断；由得到，，则证明，利用相似三角形的性质得，则可对选项进行判断；证明得到，加上，则可对选项进行判断；利用得到，由于，，则可对选项进行判断．【解答】解：，，，所以选项的结论正确；，，，，，，，，，，即，所以选项的结论正确；，，，，即，，，所以选项的结论正确；，，，，，，所以选项的结论不正确．故选：．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比．也考查了相似三角形的判定．｛相似的性质★★｝如图，，，，则的度数是A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的性质分别求出、，结合图形计算，得到答案．【解答】解：，，，，，故选：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．｛相似的性质★★｝如果两个相似三角形周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为．【分析】已知了两个相似三角形的周长比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．【解答】解：两个相似三角形的周长之比为，它们的相似比为，它们的面积比为，故答案为：．【点评】此题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．（2020•铜仁市）已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长为A．3 B．2 C．4 D．5【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．【解答】解：和的周长分别为30和15，和的周长比为，，，即，解得，，故选：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．（2019•沈阳）已知△，和是它们的对应中线，若，，则与△的周长比是A． B． C． D．【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．【解答】解：△，和是它们的对应中线，，，与△的周长比．故选：．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．考点4：与相似三角形有关的证明与计算基础知识归纳：相似三角形与几何图形的综合．基本方法归纳：理清题意，合理推断，准确运算是关键．注意问题归纳：审题不清、条件利用不全是常见错误．｛相似的运用★★｝如图，在中，，高，正方形的四个顶点均在的边上，则正方形的边长为．A．2 B．2.5 C．3 D．4【分析】设正方形的边长为，然后根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【解答】解：设正方形的边长为，与交点为，四边形是正方形，，，，，，解得：，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．｛相似的运用★★｝如图，是半圆的直径，按以下步骤作图：（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；（3）连接，，，与交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①平分；②；③；④；所有正确结论的序号是A．①② B．①④ C．②③ D．①②④【分析】由作图可知，垂直平分线段，平分，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．【解答】解：由作图可知，垂直平分线段，平分，故①正确，，，，，，，，故②正确，，，故③错误，连接．，，，，，，，，，故④正确，故选：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．｛相似的运用★★｝著名画家达•芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中∠ACB＝∠EJD＝90°，CB＝EJ，连结HF，CJ，得到4个全等的四边形HFGI，四边形HFBA，四边形CJEA，四边形JCBD．CJ分别交AB，ED于点M，N，若MN：CJ＝5：9，且AB＝5，则HF的长为（）A． B． C． D．【分析】过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，设BC＝a，AC＝b，进而可得CF＝a，CH＝b，则有CJ＝HF＝a+b，然后由CM：MN＝2：5，得CK＝2，最后可得ab＝10，a2+b2＝25，则问题可求解．【解答】解：过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，如图所示：∵四边形HFGI，四边形HFBA，四边形CJEA，四边形JCBD都是全等的，∴HF＝CJ，∵∠ACB＝∠EJD＝90°，CB＝EJ，AB＝ED∴△ABC≌△DEJ（SAS），易得CM＝NJ，∵MN：CJ＝5：9，∴CM：MN＝2：5，∵AB∥ED，∴CK：KP＝2：5，∵AB＝5，∴KP＝BD＝AB＝5，∴CK＝2，设BC＝a，AC＝b，则CF＝a，CH＝b，∴CJ＝HF＝a+b，由等积法可得，AB•CK＝AC•BC，∴ab＝10，由勾股定理可得，a2+b2＝25，∴HF2＝（a+b）2＝2（a2+2ab+b2）＝90，∴HF＝3；故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及线段的比，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及线段的比是解题的关键．｛相似的运用★★｝如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形和是直角），连接，交于点，与边交于点，对于下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①由等腰和等腰三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明即可；④转化为，证明问题可证．【解答】解：由已知得：，，，，，，①正确；如图：设与相交于点，则，，，，②正确；，，，，，③正确；由③，，，，，，，，，，④正确，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断，在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．｛相似的运用★★｝如图，正方形，点，分别在边，上，，，与交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④【分析】①证明即可判断；②利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可；③设的面积为，由，推出，，推出的面积为，的面积为，推出的面积的面积，由此即可判断；④作于，设，，则，，通过计算证明即可解决问题．【解答】解：四边形是正方形，，，，，，在与中，，，，，，，故①正确；，，，，，，，，故②正确；设的面积为，，，，的面积为，的面积为，的面积的面积，，故③错误；作于，设，，则，，由，可得，由，可得，，，，，，，，，，故④正确，故选：．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明出以及．｛相似的运用★★｝如图，小明同学想测量操场上路灯的高度，于是他站立在点处测得其影长为1米，小明同学继续沿着方向行走5米到达点处，此时测得其影长为3米，已知小明身高1.5米，则路灯的长为5.25米．【分析】设米，米．利用相似三角形的性质构建方程组，解决问题即可．【解答】解：设米，米．，，，，，，，解得，经检验是分式方程组的解，米．故答案为：5.25．【点评】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．｛相似的运用★★｝如图，线段是的角平分线，点、点分别在线段、的延长线上，联结、，且．（1）求证：；（2）如果，求证：．【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等证明，得，从而证明，则；（2）利用三角形外角的性质证明，证明，得，则，进行化简即可．【解答】证明：（1）是的角平分线，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练进行相似三角形的证明是解题的关键．｛相似的运用★★｝如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：．【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，由，得，等量代换可证，从而证明结论；（2）连接，根据圆周角定理知，从而证明，得，而，代入即可．【解答】证明：（1）如图，连接，，，，，，，，，又是半径，直线是的切线；（2）如图，连接，是的直径，，，，，，，，，，，．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．｛相似的运用★★｝如图，在矩形中，是边的中点，于点，于，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据矩形的性质得到，，，利用，可判断，则可对①进行判断；通过证明，则利用平行线分线段成比例得到，则可对②进行判断；利用得到，所以，于是得到垂直平分，则可对③进行判断；设的面积为，利用三角形面积公式得到，，然后利用得到，所以，则，于是可对④进行判断．【解答】解：四边形为矩形，，，，，，，，，，所以①正确；，，，，而是边的中点，，，所以②正确；，，，，，，，垂直平分，，所以③正确；设的面积为，则，，，，，即，，．所以④错误．故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．运用相似三角形的性质可证明线段之间的关系，也可进行几何计算．也考查了矩形的性质．｛相似的运用★★｝如图，在正方形中，是的中点，点在的延长线上，，交于点，，交于点．（1）求证：．（2）若，，求的长．【分析】（1）根据正方形的性质，得，然后由相似三角形的性质可得结论；（2）求出的长，从而可得，再利用及勾股定理，即可求出的长．【解答】（1）证明：在正方形中，有，，，即．（2）解：由（1）知，，，，又点是的中点，，，，，，，，，，故的长为：．【点评】本题是考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质是解决此题的关键．｛相似的运用★★｝公共自行车车桩的截面示意图如图所示，，，点、在上，，，，，，．（1）点到的距离为24．（2）点到地面的距离为．【分析】（1）过点作于点，由矩形的性质可得出答案；（2）过点作于点，利用相似三角形的判定与性质得出即可．【解答】解：（1）过点作于点，四边形是矩形，，，，，；点到的距离为，故答案为：24；（2）过点作于点，，，，，，则：，点到地面的距离是：．故答案为．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．｛相似的运用★★｝如图，在平行四边形中，，过点作于，连结，，为上一点，且．（1）求证：．（2）的长为．【分析】（1）利用等角的补角相等可得，从而证明结论；（2）由角的直角三角形的性质可求出，，由（1）知，，得，代入即可．【解答】（1）证明：，，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，由（1）知，，，，，故答案为：．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．（2021•锦州）如图，内接于，为的直径，为上一点（位于下方），交于点，若，，，则的长为A． B． C． D．【分析】连接，过点作于点，连接，因为，构造，求出，设，则，，则，，再利用，列出方程即可解决．【解答】解：连接，过点作于点，连接，，，为的直径，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，故选：．【点评】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出是解题的关键．（2021•巴中）如图，中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．【解答】解：，，，，，故错误；，与的面积比为，周长的比为，故和错误；，，．故正确．故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．（2021•贵港）如图，在正方形中，，是对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则A． B． C．1 D．【分析】设，首先证明，再利用平行线分线段成比例定理求出，推出，，可得结论．【解答】解：设，四边形是正方形，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数，设正方形的边长为，求出，．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为A． B． C． D．【分析】如图，过点作交的延长线于，设交于，交于．设，则，想办法求出，，可得结论．【解答】解：如图，过点作交的延长线于，设交于，交于．设，则，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．如图，路灯点距地面，身高的小明从距路灯底部点的点沿所在的直线行走了到达点时，则小明的身影A．增长了3米 B．缩短了3米 C．缩短了3.5米 D．增长了3.5米【分析】根据，得出，，再利用相似三角形的性质进行求解即可．【解答】解：，，，，即，解得：，同理由，，，小明的身影变短了（米，故选：．【点评】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程建立适当的数学模型来解答是解题的关键．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2022秋•和平区校级期末）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是A． B． C． D．【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．【解答】解：、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项不符合题意；、不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项符合题意；、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项不符合题意；、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．2．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是A． B． C． D．【分析】根据位似比的概念得到，根据线段中点的性质计算，得到答案．【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，即点为线段的中点，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，故选：．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，掌握位似比的概念是解题的关键．3．（2022秋•桃江县期末）如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是A．与相似 B．与相似 C． D．【分析】证明，，可得结论．【解答】解：，，，，，，，，，，，，故选项，，正确，故选：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．4．（2022秋•丹东期末）如图，下列选项中不能判定的是A． B． C． D．【分析】利用相似三角形判定方法依次判断可求解．【解答】解：由题意可得：和中，，若，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故选项不合题意；若，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故选项不合题意；若，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得，故选项不合题意；故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．5．（2022秋•德惠市期末）若，则的值为A． B． C． D．【分析】把要求的式子化成，再把代入进行计算，即可得出答案．【解答】解：，．故选：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．6．（2022秋•山西期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是A． B． C． D．【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：设蜡烛火焰的高度是，由相似三角形对应高的比等于相似比得到：．解得．即蜡烛火焰的高度是．故选：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比．7．（2022秋•裕华区校级期末）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：直线，，．故选：．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．8．（2022秋•伊川县期末）下列各组的四条线段，，，是成比例线段的是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．【解答】解：，故不符合题意，，故不符合题意，，故不符合题意，，故符合题意，故选：．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．9．（2022秋•定远县校级期末）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是A． B． C． D．【分析】根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决．【解答】解：，，，当添加条件时，则，故选项不符合题意；当添加条件时，则，故选项不符合题意；当添加条件时，则，故选项不符合题意；当添加条件时，则和不一定相似，故选项符合题意；故选：．【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．10．（2022秋•益阳期末）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【解答】解：，，．故正确．平分，，．故正确．，，．故正确．而不能证明，故错误．故选：．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．11．（2022秋•莲池区校级期末）已知线段、、、的长度满足等式，则下列比例式中，错误的是A． B． C． D．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：、根据比例的基本性质可得，正确；、根据比例的基本性质可得，正确；、根据比例的基本性质可得，正确；、根据比例的基本性质可得，错误；故选：．【点评】此题考查比例线段问题，解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．12．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点为的边一点，下列条件不一定能保证的是A． B． C． D．【分析】相似三角形的判定：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．由此结合各选项进行判断即可．【解答】解：在与中，已知，、若添加，可利用两角法判定，故本选项错误；、若添加，可利用两角法判定，故本选项错误；、若添加，不能判定，故本选项正确；、若添加，可利用两边及其夹角法判定，故本选项错误；故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，难度一般．13．（2022秋•驿城区期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【解答】解：在三角形纸片中，，，．．因为，对应边，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误；．因为，对应边，又，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项正确；．因为，对应边，即：．故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误；、因为，对应边，．故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误；故选：．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．14．（2022秋•中原区期末）如图，是边的延长线上一点，交于，则图中的相似三角形共有A．对 B．2对 C．3对 D．4对【分析】根据平行四边形性质得出，，根据平行线性质和相似三角形判定推出即可．【解答】解：图中相似三角形有：，，，共3对，故选：．【点评】本题考查了平行四边形性质和相似三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．15．（2022秋•蒙城县期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是A． B． C． D．【分析】先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．【解答】解：，，、添加，可用两角法判定，故本选项错误；、添加，可用两角法判定，故本选项错误；、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误；、添加，不能判定，故本选项正确；故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．1．（2022秋•南岸区期末）任意给定一个正三角形甲，以下说法正确的是A．存在正三角形乙，乙的周长和面积分别是甲的周长和面积的一半 B．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的倍 C．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的3倍 D．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的4倍【分析】相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．据此可得结论．【解答】解：任意两个正三角形相似，对于正三角形甲和乙，若乙的周长是甲的一半，则乙的面积是甲的面积的四分之一，故选项错误，不合题意；若乙的周长是甲的2倍，则乙的面积是甲的面积的4倍，故、选项错误，而选项正确，符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质以及等边三角形的性质，关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．2．（2022秋•安岳县期末）如图，在四边形中，，与相交于点，若，则的值为A． B． C． D．【分析】先利用8字模型相似三角形证明，从而利用相似三角形的性质可得，即可解答．【解答】解：，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．3．（2022秋•离石区期末）如图，在中，平分，交于点，过作的平行线交于，若，，则A． B． C． D．【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，从而可得，然后再证明字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：平分，，，，，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．二．填空题（共2小题）4．（2022秋•包头期末）如图，在“黄金三角形”中，，，平分交于点，若，则的长为．（顶角为，两底角分别为的等腰三角形就是黄金三角形）【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得是黄金三角形，最后根据黄金三角形的定义进行计算即可解答．【解答】解：，，，平分，，，，，，，是黄金三角形，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金三角形的定义是解题的关键．5．（2022秋•双流区期末）如图，在和中，，，为的中点，，．将绕点旋转，直线，交于点，连接，则的最小值是．【分析】当、、共线时，取最小值等于，由题意可知，，进而可得，所以，根据四边形内角和可得，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出的长，根据中位线定理可得的长，由此可得结论．【解答】解：如图，取的中点，连接、，则．，，，，，，，，，．，，，，又为的中点，．为的中点，为的中点，，的最小值为．故答案为：．【点评】本题侧重考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边成比例、相似三角形对应角相等是解决此题的关键．三．解答题（共4小题）6．（2022秋•黄浦区期末）已知：如图，点、分别在等边三角形的边的延长线与反向延长线上，且满足．求证：（1）；（2）．【分析】（1）由是等边三角形，可得，，所以，由，可得，即，进而可得结论；（2）由（1）知，，所以，易证，所以，即，再由可得结论．【解答】证明：（1）是等边三角形，，，，，，即，；（2）由（1）知，，，，，，即，．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题关键．7．（2022秋•和平区校级期末）如图，小明晚上由路灯下的处直接走向路灯下的处，已知小明身高1.8米，路灯的高度为12米，当他行到处时发现，恰好他在路灯下的影子长为2米，接着他又走到处，恰好他在路灯下的影子长为1.5米于点，于点，于点，于点．（1）求，两点间的距离；（2）请直接写出路灯的高度为．【分析】（1）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得，，，，，，，即，，，答：的长度为．（2）由（1）可知，，，，即，解得，故答案为：．【点评】本题主要考查相似三角形的性质的应用，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题关键．8．（2022秋•静安区期末）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且．（1）求证：；（2）点在底边上，，，联结，如果与的面积相等，求的长．【分析】（1）根据题意可证明，，所以，则；（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：，，，，，，；（2）根据题意可得，，，，，和面积相等，，解得．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题关键．9．（2022秋•平昌县期末）如图，矩形中，为上一点，交的延长线于点．①求证：．②若，，求的值．【分析】①根据矩形的性质得到，，则，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；②利用得到，再利用勾股定理计算出，然后根据正弦的定义得到，从而得到的值．【解答】①证明：四边形为矩形，，，，，，，，；②解：，，在中，，，．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．运用相似三角形的性质可证明线段之间的关系，也可进行几何计算．也考查了矩形的性质和解直角三角形．1．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，为的内心；④若点在上以一定的速度，从往运动，则点与点的运动速度相等．其中正确的结论的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据等腰直角三角形的性质可以判断①；根据，是等腰直角三角形，可得，，所以，因为，所以，进而可以判断②；证明，进而可得，可得，分别平分，，平分，得点是角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合，点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹是线段，，且点与点的运动时间相同，进而可以判断④．【解答】解：四边形是正方形，，，，是等腰直角三角形，，，，故①正确；，是等腰直角三角形，，，，，，，，故②正确；，，，，在和中，，，，，，，，，分别平分，，，平分，点是角平分线的交点，为的内心，故③正确；如图，连接交于点，，当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合，点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹是线段，，且点与点的运动时间相同，，点与点的运动速度不相同，故④错误．综上所述：正确的结论是①②③，共3个．故选：．【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点的运动轨迹．2．（2022•武进区一模）如图，正方形的边长是3，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：①；②；③；其中正确结论的个数A．1 B．3 C．2 D．0【分析】由四边形是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到；故①正确；根据相似三角形的性质得到，由，得到；故②错误；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即；故③正确．【解答】解：四边形是正方形，，，，，在与中，，，，，，，，故结论①正确；，，，，，，，，，；故结论②错误；在与中，，，，，在与中，，，，，即；故结论③正确；故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，熟练掌握全等三角