专题11三角函数与相似(真题21模拟24)-备战2023年中考数学历年真题+1年模拟新题分项详解(重庆专用)【原卷版+解析】

备战2023年中考数学历年真题+1年模拟新题分项详解（重庆专用）专题11三角函数与相似历年历年中考真题一．选择题（共18小题）1．（2021•重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（）A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m2．（2021•重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米3．（2020•重庆）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米4．（2020•重庆）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m5．（2019•重庆）如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米6．（2019•重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米7．（2018•重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米8．（2018•重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）（）A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米9．（2017•重庆）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米10．（2017•重庆）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米11．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm13．（2017•重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：114．（2017•重庆）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：915．（2011•江津区）已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A．都相似 B．都不相似 C．只有（1）相似 D．只有（2）相似16．（2010•江津区）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（）①∠EAF＝45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2＝DE2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm18．（2016•重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16二．填空题（共1小题）19．（2015•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为．三．解答题（共2小题）20．（2022•重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）21．（2022•重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈1.414，≈1.732）一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共17小题）1．（2022•兴义市模拟）如图，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比，则大树BC的高度为（）（结果保留一位小数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，取1.73）A．12.5米 B．12.3米 C．12.2米 D．11.8米2．（2022•柳城县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（）A． B． C． D．3．（2022•永川区模拟）国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52°，BC＝5米，CD＝35米，DE＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）（）A．28米 B．29.6米 C．36.6米 D．57.6米4．（2022•商河县一模）如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为的斜坡CD前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米，A、B、C，D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈＝0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．6.8米 B．7.5米 C．7.7米 D．8.5米5．（2022•西青区二模）tan60°的值等于（）A． B． C． D．6．（2022•河西区模拟）2sin60°的值等于（）A．1 B． C． D．7．（2022•大足区模拟）若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：18．（2022•大渡口区模拟）如图，点A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，1），若△CDE与△ABC相似，那么在下列选项中，点E的坐标不可能是（）A．（6，2） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）9．（2021•南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（）A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：210．（2021•安庆模拟）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④11．（2020•岳麓区模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．12．（2017•合川区校级模拟）下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④13．（2022•两江新区模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（）A． B． C． D．14．（2022•两江新区模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，，记△ADE的面积为s1，四边形DBCE的面积为s2，则的值是（）A． B． C． D．15．（2021•大渡口区模拟）如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2 B．3 C． D．16．（2019•南岸区校级模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股””章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为（）步．A． B． C． D．70017．（2019•九龙坡区校级模拟）我国古代数学著作《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（）A．12尺 B．56尺5寸 C．57尺5寸 D．62尺5寸二．填空题（共1小题）18．（2022•兴化市模拟）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为．三．解答题（共6小题）19．（2022•渝中区校级模拟）“和平使命”系列军演是具有战略影响的国际联合军事演习．在一次行动中，我军主力部队在A处驻扎，发现敌军在我军的东北方向的B处，遂立即通知位于我军北偏东75°，距离，在C处执行任务的侦查小队，侦查小队测得敌军在北偏西60°，迅速沿着路线CA向主力部队靠近，并在途中选取距离敌军最近的地方对敌军进行监测活动．（1）求点B到路线CA的最短距离．（精确到0.1km，参考数据：，）（2）上午6：00时，我军发现敌军开始沿BD向正西方向以6km/h的速度行进，敌军现有探测设备的有效侦测半径为15km，请问在敌军行进过程中，我军主力部队所在A地是否在敌军的侦测范围内？如果在，我军需要从什么时间开始进行战略隐蔽，什么时间即可结束战略隐蔽？20．（2022•北碚区校级模拟）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人立即制定好计划积极投入到健身中．如图，小明家住在A地，小代家住在B地，健身馆在C地，在A处测得健身馆C在A的北偏东15°方向上，在B处测得健身馆C在B的北偏西45°方向上，B在A的北偏东60°方向上．某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在AC上的D处汇合，小明沿着AC方慢跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟到D．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.45）（1）求小明家A到小代家B的距离；（结果精确到0.1m）（2）他们在D处汇合的时间恰好为13：57，若他们要在预定的14：00到达健身馆C，请问他们汇合之后的速度至少应为多少？21．（2022•沙坪坝区校级模拟）如图是某景区登山路线示意图，其中AD是缆车游览路线，折线A﹣B﹣C﹣D是登山步道，步道AB与水平面AE的夹角α为30°，步道CD与水平面的夹角β为45°，BC是半山观景平台，BC∥AE．现测得AB＝300m，CD＝450m，缆车路线AD＝1000m．其中点A，B，C，D，E在同一平面内，DE⊥AE．（1）求点B到水平面AE的距离；（2）求半山观景平台BC的长度．（结果保留整数）（参考数据：≈1.414，≈1.732．）22．（2022•渝中区校级模拟）如图，A→B→C→A是湿地公园里的一条环形跑道，B在A的正南方．一天，李老师从起点A出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C在他的东西方向，他以每分钟80米的速度，沿AB方向跑了15分钟后到达健身跑道的B处，此时他发现公园中心塔C在他的南偏东75°方向．（A，B，C在同一平面内，参考数据：≈1.414，≈1.732）（1）求BC的长；（结果保留整数）（2）为了满足市民健身的要求，政府决定对健身跑道进行扩建．计划将跑道AB段继续向正南方向延伸至D处，再将DC连接起来组成新的环形跑道．若在D处测得C在D的北偏东60°方向．若预计修建跑道的成本为每米60元，政府拨付改建费20万元，则此次政府拨付改建费用是否足够？请通过计算说明理由．23．（2022•九龙坡区模拟）某种落地灯如图1所示，图2是其侧面示意图（假设台灯底座为线段GH，其高度忽略不计，灯罩和灯泡假设为点D），AB为立杆，其高为95cm；BC为支杆，它可以绕点B旋转，其中BC长为32cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，它也可以绕点C旋转．（1）如图2所示，若将支杆BC绕点B顺时针转动使得∠ABC＝150°，求点B与点C的水平距离；（2）使用过程中发现：当灯泡与地面的距离不低于101cm且不高于105cm时，台灯光线最佳．如图3所示，现测得CD为30cm，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD＝105°，支杆BC与立杆AB之间所成的∠ABC＝135°，请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：，）24．（2019•梁平区模拟）如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？备战2023年中考数学历年真题+1年模拟新题分项详解（重庆专用）专题11三角函数与相似历年历年中考真题一．选择题（共18小题）1．（2021•重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（）A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m【分析】根据正切的定义求出MB，根据坡度的概念求出DE，进而求出ND，结合图形计算，得到答案．【解析】解：在Rt△MCB中，∠MCB＝60°，CB＝30m，tan∠MCB＝，∴MB＝CB•tan∠MCB＝30×≈51.9（m），∵山坡DF的坡度i＝1：1.25，EF＝50m，∴DE＝40（m），∵ND＝DE，∴ND＝25（m），∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m），故选：C．2．（2021•重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，求出CE的长，从而得出BE，再利用tan50°即可求出AB的长．【解析】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，∴DE：CE＝5：12，∵DE＝50米，∴CE＝120米，∵BC＝150米，∴BE＝150﹣120＝30（米），∴AB＝tan50°×30+50≈85.7（米）．故选：D．3．（2020•重庆）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．【解析】解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，∴设EF＝x，则DF＝2.4x．在Rt△DEF中，∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，解得，x＝30，∴EF＝30米，DF＝72米，∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形，∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°，∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，∴AC＝AM+CM≈139.5+30＝169.5米．∴AB＝AC﹣BC≈169.5﹣144.5＝25米．故选：D．4．（2020•重庆）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB．【解析】解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45m，BC＝60m，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴＝＝，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27（m），DE＝4x＝36（m）＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87（m）＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11（m），∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1（m），故选：B．5．（2019•重庆）如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米【分析】过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设CD＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【解析】解：过点E作EM⊥AB于点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．故选：B．6．（2019•重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米【分析】如图，根据已知条件得到＝1：2.4＝，设CF＝5k，AF＝12k，根据勾股定理得到AC＝＝13k＝26，求得AF＝24，CF＝10，得到EF＝6+24＝30，根据三角函数的定义即可得到结论．【解析】解：如图，设CD与EA交于F，∵＝1：2.4＝，∴设CF＝5k，AF＝12k，∴AC＝＝13k＝26，∴k＝2，∴AF＝24，CF＝10，∵AE＝6，∴EF＝6+24＝30，∵∠DEF＝48°，∴tan48°＝＝＝1.11，∴DF＝33.3，∴CD＝33.3﹣10＝23.3（米），答：古树CD的高度约为23.3米，故选：C．7．（2018•重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM＝构建方程即可解决问题；【解析】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CJD中，＝＝，设CJ＝4k，DJ＝3k，则有9k2+16k2＝4，∴k＝，∴BM＝CJ＝，BC＝MJ＝1，DJ＝，EM＝MJ+DJ+DE＝，在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，∴1.6＝，解得AB≈13.1（米），故选：B．8．（2018•重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）（）A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°＝，构建方程即可解决问题；【解析】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵＝＝，设CN＝4k，DN＝3k，∴CD＝10，∴（3k）2+（4k）2＝100，∴k＝2，∴CN＝8，DN＝6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝8，BC＝MN＝20，EM＝MN+DN+DE＝66，在Rt△AEM中，tan24°＝，∴0.45＝，∴AB＝21.7（米），故选：A．9．（2017•重庆）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．【解析】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE＝xm，CE＝2.4xm，由勾股定理，得x2+（2.4x）2＝1952，解得x≈75m，DE＝75m，CE＝2.4x＝180m，（方法二：由i＝1：2.4＝5：12，设DE＝5xm，CE＝12xm，由勾股定理，得CD＝13x，∴13x＝195，∴x＝15，∴DE＝75m，CE＝180m）EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．∵AF∥DG，∴∠1＝∠ADG＝20°，tan∠1＝tan∠ADG＝＝0.364．AF＝EB＝126m，tan∠1＝＝0.364，DF＝0.364AF＝0.364×126＝45.9，AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣45.9≈29.1m，故选：A．10．（2017•重庆）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i＝＝＝可设CQ＝4x、BQ＝3x，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP＝11，由AP＝＝结合AB＝AP﹣BQ﹣PQ可得答案．【解析】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2，CQ＝PE，∵i＝＝＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则CQ＝PE＝8，BQ＝6，∴DP＝DE+PE＝11，在Rt△ADP中，∵AP＝＝≈13.1，∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1，故选：A．11．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．【解析】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故选：C．12．（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解析】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．13．（2017•重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：A．14．（2017•重庆）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故选：A．15．（2011•江津区）已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A．都相似 B．都不相似 C．只有（1）相似 D．只有（2）相似【分析】图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得△ABC的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知条件，即可证得，又由对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似．【解析】解：如图（1）∵∠A＝35°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，∵∠E＝75°，∠F＝70°，∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF；如图（2）∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，∴，∵∠AOC＝∠DOB，∴△AOC∽△DOB．故选：A．16．（2010•江津区）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（）①∠EAF＝45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2＝DE2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据旋转的性质知∠CAD＝∠BAF，因为∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，所以∠CAD+∠BAE＝45°，可得∠EAF＝45°；②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似；③根据SAS可证△ADE≌△AFE，得∠AED＝∠AEF；DE＝EF；④BF＝CD，EF＝DE，∠FBE＝90°，根据勾股定理判断．【解析】解：①根据旋转的性质知∠CAD＝∠BAF．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝45°．∴∠EAF＝45°，故①正确；②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似，故②错误；③∵AF＝AD，∠FAE＝∠DAE＝45°，AE＝AE，∴△ADE≌△AFE，得∠AED＝∠AEF，即AE平分∠DAF，故③错误；④∵∠FBE＝45°+45°＝90°，∴BE2+BF2＝EF2（勾股定理），∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF＝CD，又∵EF＝DE，∴BE2+CD2＝DE2（等量代换）．故④正确．故选：B．17．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【分析】由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE＝AF：CD，∵AE＝2ED，CD＝3cm，∴AF＝2CD＝6cm．故选：B．18．（2016•重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解析】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．二．填空题（共1小题）19．（2015•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为4：1．【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可．【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4：1，故答案为：4：1．三．解答题（共2小题）20．（2022•重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）【分析】（1）延长CB到D，则CD⊥AD于点D，根据题意可得∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，所以∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，然后根据含30度角的直角三角形即可解决问题；（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，列出方程150x+（400x﹣900）＝1559，进而可以解决问题．【解析】解：（1）如图，延长CB到D，则CD⊥AD于点D，根据题意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，∴AB＝BC＝900米，∵∠BAD＝30°，∴BD＝450米，∴AD＝BD＝450（米），∴AC＝2AD＝900≈1559（米）答：湖岸A与码头C的距离约为1559米；（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，∴150x+（400x﹣900）＝1559，∴x≈4.5，答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．21．（2022•重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）过D作DF⊥AE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF＝AC＝200米，根据点D在点E的北偏东45°，即得DE＝DF＝200≈283（米）；（2）由△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，可得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即得AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，又BD＝100米，即可得经过点B到达点D路程为AB+BD＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE＝200﹣100+200≈529米，即可得答案．【解析】解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：由已知可得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米，∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝200≈283（米）；（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，∴EF＝DF＝200米，∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，∵BD＝100米，∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，∴AF＝CD＝（200+100）米，∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝200﹣100+200≈529米，∵529＞500，∴经过点B到达点D较近．一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共17小题）1．（2022•兴义市模拟）如图，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比，则大树BC的高度为（）（结果保留一位小数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，取1.73）A．12.5米 B．12.3米 C．12.2米 D．11.8米【分析】首先过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，由FA的坡比i＝1：，DA＝6，可求得AN与DN的长，然后设大树的高度为x，又由在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，可得AC＝，又由在△BDM中，，可得x﹣3＝（3+）•，继而求得答案．【解析】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DMCN是矩形，∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，∴DN＝AD＝3，AN＝AD•cos30°＝6×＝3，设大树的高度为x，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴DM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△BDM中，，BM＝DM，∴x﹣3＝（3+）•，解得：x≈12.5．∴树高BC约12.5米．故选：A．2．（2022•柳城县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（）A． B． C． D．【分析】作AB⊥x轴于B，先利用勾股定理计算出OA＝5，然后在Rt△AOB中利用余弦的定义求解即可．【解析】解：作AB⊥x轴于B，如图，∵点A的坐标为（3，4），∴OB＝3，AB＝4，∴OA＝＝5，在Rt△AOB中，cosα＝＝．故选：C．3．（2022•永川区模拟）国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52°，BC＝5米，CD＝35米，DE＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）（）A．28米 B．29.6米 C．36.6米 D．57.6米【分析】延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，得到GF＝BC＝5，设DF＝3k，CF＝4k，解直角三角形得到结论．【解析】解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，∴GF＝BC＝5，∵山坡CD的坡度为1：0.75，∴设DF＝3k，CF＝4k，∴CD＝5k＝35，∴k＝7，∴DF＝21，BG＝CF＝28，∴EG＝GF+DF+DE＝5+21+19＝45，∵∠AED＝52°，∴AG＝EG•tan52°＝45×1.28＝57.6，∴AB＝29.6米，答：铁塔AB的高度约为29.6米．故选：B．4．（2022•商河县一模）如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为的斜坡CD前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米，A、B、C，D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈＝0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．6.8米 B．7.5米 C．7.7米 D．8.5米【分析】延长ED交射线BC于点H，过点E作EF⊥AB于F．则四边形BHEF是矩形，想办法求出AF，BF即可解决问题；【解析】解：延长ED交射线BC于点H，过点E作EF⊥AB于F．由题意得DH⊥BC．在Rt△CDH中，∠DHC＝90°，tan∠DCH＝i＝1：∴∠DCH＝30°．∴CD＝2DH．∵CD＝2，∴DH＝，CH＝3．∵EF⊥AB，AB⊥BC，ED⊥BC，∴∠BFE＝∠B＝∠BHE＝90°．∴四边形FBHE为矩形．∴EF＝BH＝BC+CH＝6．FB＝EH＝ED+DH＝1.5+．在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，AF＝EFtan∠AEF≈6×0.75≈4.5．∴AB＝AF+FB＝6+≈6+1.73≈7.7．∴旗杆AB的高度约为7.7米．故选：C．5．（2022•西青区二模）tan60°的值等于（）A． B． C． D．【分析】求得60°的对边与邻边之比即可．【解析】解：在直角三角形中，若设30°对的直角边为1，则60°对的直角边为，tan60°＝＝，故选：D．6．（2022•河西区模拟）2sin60°的值等于（）A．1 B． C． D．【分析】根据sin60°＝解答即可．【解析】解：2sin60°＝2×＝．故选：C．7．（2022•大足区模拟）若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，故选：C．8．（2022•大渡口区模拟）如图，点A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，1），若△CDE与△ABC相似，那么在下列选项中，点E的坐标不可能是（）A．（6，2） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【解析】解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．A．当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B．当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C．当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D．当点E的坐标为（4，2）时，∠CDE＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC≠CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．故选：B．9．（2021•南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（）A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则DE：AB＝3：4，再证明△DEF∽△BAF，利用相似比得到＝，然后根据三角形面积公式求△DEF的面积与△DAF的面积之比．【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE：EC＝3：1，∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝，∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．故选：B．10．（2021•安庆模拟）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可完成题目．【解析】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴＝，＝，即＝＝，∴两三角形的三边对应成比例，∴①③相似．故选：C．11．（2020•岳麓区模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】由图可得∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，然后分别求得A，B，C，D中各三角形的最大角，继而求得答案．【解析】解：如图：∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，A、最大角＝135°，对应两边分别为：1，，∵：1＝2：，∴此图与△ABC相似；B、∵最大角＜135°，∴与△ABC不相似；C、∵最大角＜135°，∴与△ABC不相似；D、∵最大角＜135°，∴与△ABC不相似．故选：A．12．（2017•合川区校级模拟）下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④【分析】考查相似三角形的判定问题，对应角相等即为相似三角形．【解析】解：①中等腰三角形角不确定，所以①错；②中有一个底角相等即所有角都对应相等，②对；③中可能是以底角和一顶角相等，所以③错；④中两个角对应相等，所以相似，④对故选：A．13．（2022•两江新区模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（）A． B． C． D．【分析】过点E作EN⊥BC，垂足为N，延长NE交AD于点M，根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，∠DAB＝∠ABC＝90°，从而可得四边形AMNB是矩形，进而可得∠AMN＝90°，AB＝MN＝8，AM＝BN，MN∥AB，然后设ME＝x，则EN＝MN﹣EM＝8﹣x，再证明A字模型相似三角形△DME∽△DAB，并利用相似三角形的性质求出DM，从而求出AM，GN的长，最后证明一线三等角模型相似三角形△AME∽△ENG，利用相似三角形的性质列出关于x的方程，进行计算即可求出ME，AM的长，从而在Rt△AME中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解析】解：过点E作EN⊥BC，垂足为N，延长NE交AD于点M，∴∠ENB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形AMNB是矩形，∴∠AMN＝90°，AB＝MN＝8，AM＝BN，MN∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，∠DEM＝∠DBA，∴△DME∽△DAB，∴＝，设ME＝x，则EN＝MN﹣EM＝8﹣x，∴＝，∴DM＝x，∴BN＝AM＝AD﹣DM＝6﹣x，∵BG＝2，∴GN＝BN﹣BG＝4﹣x，∵EG⊥AE，∴∠AEG＝90°，∴∠AEM+∠GEN＝90°，∵∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠GEN，∵∠AME＝∠ENG＝90°，∴△AME∽△ENG，∴＝，∴＝，∴x1＝，x2＝8，经检验：x1＝，x2＝8都是原方程的根，x2＝8（舍去），∴ME＝，AM＝6﹣x＝，∴AE＝＝＝，故选：B．14．（2022•两江新区模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，，记△ADE的面积为s1，四边形DBCE的面积为s2，则的值是（）A． B． C． D．【分析】根据平行线的性质可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，从而证明△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质即可解答．【解析】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，故选：D．15．（2021•大渡口区模拟）如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2 B．3 C． D．【分析】依据∠CPN＝∠CNM，∠C＝∠C，即可得到△CPN∽△CNM，再根据相似三角形的性质，即可得到CP＝4，进而得出PN的长．【解析】解：∵MN＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，＝，即CN2＝CP×CM，∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵＝，∴＝，∴PN＝，故选：D．16．（2019•南岸区校级模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股””章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为（）步．A． B． C． D．700【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质可求出CK的长．【解析】解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，∵AH∥DK，∴∠CDK＝∠A，而∠CKD＝∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴＝，即＝，∴CK＝．答：KC的长为步．故选：A．17．（2019•九龙坡区校级模拟）我国古代数学著作《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（）A．12尺 B．56尺5寸 C．57尺5寸 D．62尺5寸【分析】根据题意可知△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．【解析】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：DE，即5：AD＝0.4：5，解得AD＝62.5，BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．故选：C．二．填空题（共1小题）18．（2022•兴化市模拟）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为12米．【分析】在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解析】解：∵Rt△ABC中，BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，∴BC：AC＝1：，∴AC＝•BC＝6（米），∴AB＝＝＝12（米）故答案为12米．三．解答题（共6小题）19．（2022•渝中区校级模拟）“和平使命”系列军演是具有战略影响的国际联合军事演习．在一次行动中，我军主力部队在A处驻扎，发现敌军在我军的东北方向的B处，遂立即通知位于我军北偏东75°，距离，在C处执行任务的侦查小队，侦查小队测得敌军在北偏西60°，迅速沿着路线CA向主力部队靠近，并在途中选取距离敌军最近的地方对敌军进行监测活动．（1）求点B到路线CA的最短距离．（精确到0.1km，参考数据：，）（2）上午6：00时，我军发现敌军开始沿BD向正西方向以6km/h的速度行进，敌军现有探测设备的有效侦测半径为15km，请问在敌军行进过程中，我军主力部队所在A地是否在敌军的侦测范围内？如果在，我军需要从什么时间开始进行战略隐蔽，什么时间即可结束战略隐蔽？【分析】（1）过点B作BE⊥AC于点E，根据题意可得∠BAC＝75°﹣45°＝30°，∠BCA＝30°+15°＝45°，设BE＝CE＝xkm，则AE＝x（km），根据AE+EC＝AC＝，列式x+x＝6+6，求解即可解决问题；（2）根据点B到路线CA的最短距离为BE的长度等于6km，AB＝2BE＝12km＞15km，可得在敌军行进过程中，我军主力部队所在A地不在敌军的侦测范围内．过点A作AF⊥BD于点F，根据∠FBA＝45°，可得AF＝12km，此时我军主力部队所在A地在敌军的侦测范围是在F点两侧的GH之间距离范围内，然后根据勾股定理可得FH＝9km，最后根据路程、速度、时间之间的关系即可解决问题．【解析】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，根据题意可知：∠BAC＝75°﹣45°＝30°，∠BCA＝30°+15°＝45°，∴BE＝CE，AB＝2BE，设BE＝CE＝xkm，则AE＝x（km），∵AE+EC＝AC＝，∴x+x＝6+6，∴x＝6≈8.5（km），∴BE≈8.5km，∴点B到路线CA的最短距离约为8.5km；（2）∵点B到路线CA的最短距离为BE的长度等于6km，AB＝2BE＝12km＞15km，∴在敌军行进过程中，我军主力部队所在A地不在敌军的侦测范围内．如图，过点A作AF⊥BD于点F，∵∠FBA＝45°，∴AF＝AB＝×12＝12（km），∴此时我军主力部队所在A地在敌军的侦测范围：是在F点两侧的GH之间距离范围内，根据题意可知：AH＝15km，∴FH＝＝＝9（km），∴GF＝9km，∴BH＝BF﹣FH＝AF﹣FH＝12﹣9＝3（km），∴BG＝2FH+BH＝18+3＝21（km），∴t1＝＝0.5（h），t2＝＝＝3.5（h），∴我军需要从6点30分开始进行战略隐蔽，9点30分即可结束战略隐蔽．20．（2022•北碚区校级模拟）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人立即制定好计划积极投入到健身中．如图，小明家住在A地，小代家住在B地，健身馆在C地，在A处测得健身馆C在A的北偏东15°方向上，在B处测得健身馆C在B的北偏西45°方向上，B在A的北偏东60°方向上．某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在AC上的D处汇合，小明沿着AC方慢跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟到D．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.45）（1）求小明家A到小代家B的距离；（结果精确到0.1m）（2）他们在D处汇合的时间恰好为13：57，若他们要在预定的14：00到达健身馆C，请问他们汇合之后的速度至少应为多少？【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得∠DAE＝45°，∠DBA＝30°，BD＝180×5＝900（m），然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据题意可得∠C＝60°，∠DBF＝45°，BD＝180×5＝900（m），利用锐角三角函数可得CD，设他们汇合之后的速度为vm/min，进而列式3v＝300，进而即可解决问题．【解析】解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可知：∠DAE＝45°，∠DBA＝30°，BD＝180×5＝900（m），∴DE＝AE＝BD＝450m，∴BE＝DE＝450m，∴AB＝AE+BE＝450+450＝450（+1）≈1229.4（m）．∴小明家A到小代家B的距离约为1229.4m；（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，根据题意可知：∠C＝60°，∠DBF＝45°，BD＝900m，∴DF＝BD×sin45°＝900×＝450（m），∴CD＝＝＝300（m），设他们汇合之后的速度为vm/min，∴CD＝（14：00﹣13：57）v＝3v（m），∴3v＝300，∴v＝100≈245（m/min），∴他们汇合之后的速度至少应为245m/min．21．（2022•沙坪坝区校级模拟）如图是某景区登山路线示意图，其中AD是缆车游览路线，折线A﹣B﹣C﹣D是登山步道，步道AB与水平面AE的夹