湖北省云学部分重点高中2024-2025学年高二年级上册9月联考数学试卷（含答案）

2024年湖北云学部分重点高中高二年级9月联考

数学试卷

考试时间：2024年9月11日15：00-17：00时长：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数0+1）（2+机1）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数机的取值范围为（）

A.2）B.（2,+co）C.（一-2）D.（-2,2）

2.平行六面体4BCD—451GA中，。为4G与的交点，设在而=3,数=乙用23忑

表示与亍，则（）

--1—1-

A.BO=a-b+—cB.BO=a+—b-c

22

—•1_-_—■1_1-.

C.BO=—ci+b+cD.BO=—ciH—b+c

222

3.被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，登

楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为

8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（）

A2400B.1520C.1530D.2410

4.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不

32

受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为一，在实验操作中结果为优秀的概率为一，则该同学在这

43

次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）

7151

A.—B.—C.—D.一

122123

5.已知〃1=（一1,9,1）,〃2=（加，—3,2）,〃3=（°21）,若｛々，叼，%｝不能构成空间的一个基底，则加二

A.3B.1C.5D.7

6.设VZ5C的内角4瓦。的对边分别为且/+/+必=02,若角。的内角平分线c“=2,

则%.瓦的最小值为（）

A8B.4C.16D.12

7.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用工表示红色骰子的点数，用V

表示绿色骰子的点数，用（X,y）表示一次试验结果，设事件E:x+y=8；事件尸：至少有一颗点数为

5；事件G:x〉4；事件《4.则下列说法正确的是（）

A.事件E与事件F为互斥事件B.事件F与事件G为互斥事件

C.事件£与事件G相互独立D.事件G与事件〃相互独立

8.现有一段底面周长为12兀厘米和高为12厘米的圆柱形水管，48是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管

内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行兀厘米后再向下爬行3厘米到达尸点，另一只从8沿

下底部圆弧逆时针方向爬行兀厘米后再向上爬行3厘米爬行到达。点，则此时线段尸。长（单位：厘米）

A672B.64>C.6D.12

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据芭,马，…，%，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为见力,。”4.由这组数据得到新

样本数据%,必,其中％=24-2024（i=1,2,…，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为

出力242。2,贝(J()

A.%=2%一2024B.b2—bx

C.c2=2clD.d2-2dl

10.设Ox,0y,Oz是空间内正方向两两夹角为60。的三条数轴，向量乙分别与X轴、N轴.Z轴方向同

向的单位向量，若空间向量方满足万=xex+ye2+ze3(x,y,zeR),则有序实数组(x,y,z)称为向量1在

斜60°坐标系。•0z(。为坐标原点)，记作1=(x,y,z),则下列说法正确的有()

A.已知)=(1,2,3),则同=5

B.已知1=(—1,2,1),3=(2,—4,—2),则向量方〃4

C.已知1=(3,-1,2),3=(1,3,0),则=0

D.已知a=(1,0,0),砺=(0,1,0),玩=(0,0,1),则三棱锥O—48C的外接球体积厂="

8

11.在圆锥尸。中，PO为高,4B为底面圆的直径，圆锥的底面半径为百，母线长为2,点C为PN的

中点，圆锥底面上点M在以幺。为直径的圆上(不含4。两点)，点〃在PN上，且尸当点

A,三棱锥M-PZ。的外接球体积为定值

B.直线C〃与直线P4不可能垂直

C.直线0/与平面所成的角可能为60°

D.AH+HO<2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知3i-1是关于x的实系数方程3/+2px+q=0的一个根，则实数。的值为.

13.已知向量满足同=2,网=1,2+2否=(2后,1),则cos,,B=.

2_12_2

14.V48C的内角4民。的对边分别为8c,若瓜isinC-a-b一。,且V4SC的面积为

F(a+b+c)，则2a+6的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分,

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.V48c的内角的对边分别为“。，己知(2。一6)1；052-。(：058=0

(1)求A；

(2)若点M在8c上，且满足丽=标，幺四=2,求V48C面积的最大值.

16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，

现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所

(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多

少分；

(3)已知落在[60,70)内的平均成绩为67,方差是9,落在[60,80)内的平均成绩是73,方差是29,求落

在[70,80)内的平均成绩和方差.

(附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,xx,sl，n,x2,s}.记两组数据总体的样本平均

数为刃，则总体样本方差$2=一"一"+国—刃)[+/-+刃)[)

m+nL'7Jm+n\_\'J

17.如图，在长方体4BCD—48]G2中，4。=力4=1，4s=2,点£在棱48上移动.

ac

AEB

(1)当点E在棱48的中点时，求平面QEC与平面所成的夹角的余弦值;

(2)当NE为何值时，直线4。与平面AEC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

18.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏(剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀)，规定每局中：①三人出现

同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得

0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.

(1)求甲在一局中得2分的概率右；

(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率巴；

(3)求游戏经过两局就结束的概率鸟.

19.在空间直角坐标系。-孙z中，己知向量力=(a,6,c),点6(%J。,Z。),若直线以方为方向向量且经过

点兄，则直线的标准式方程可表示为二}=三包(%彳0)；若平面々以方为法向量且经过

abc

点兄，则平面a的点法式方程表示为a(x-Xo)+6(y-%))+c(z-Zo)=O.

x-1y-2zi-

(1)已知直线的标准式方程为T=一方=彳，平面内的点法式方程可表示为+2+5=0,

1—A/32

求直线与平面4所成角的余弦值；

(2)已知平面%的点法式方程可表示为2x+3y+2-2=0,平面外一点尸(1,2,1),点尸到平面a2的距

离；

(3)(i)若集合M=Kx,y,z)||x|+|y|V2,|z|Wl},记集合M中所有点构成的几何体为,求几何体的

体积；

(ii)若集合N={(x,j,z)||x|+|v|<2,回+|z|<2,目+|x|<2}.记集合N中所有点构成的几何体为T,

求几何体T相邻两个面(有公共棱)所成二面角的大小.

答案解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.B

2.D

3.B

4.C

5.B

6.A.

7.D.

8.A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.ACD

10.AB

11.AD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.p=3.

13.—##0.125

8

14.6+272

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【答案】解：(1)利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值

求解即可；

V[1c-b\cosZ-acosB=0,

由正弦定理得(2sinC-sin8)cosN-sinZcos8=0,

/.2sinCcosA-(sinBcosA+cos5sin/)=0,

/.2sinCcosA-sin(4+5)=0,

/.2sinCcosA=sinC,

/CG(0,71),

/.sinCw0,

,1

?.cosA=—,

2

•/24G(0,7i),

A71

A——.

3

【小问2详解】利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解.

■.■BM=MC，

——•1—.-.

:.AM=-(AB+AC),

-----►21►2----•->2

:.AM=~(AB+2ABAC+AC),

又AM=2,

.•.4=1(c2+62+26c-cosy),

:A6=c2+b2+bc>2bc+bc=3bc，

：.bc<—,当且仅当6=c=逋时，等号成立，

33

:\/ABC的面积S=—hesin^<—x—x^-=

22323

即YABC面积的最大值为述.

16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，

现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所

示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多

少分；

(3)已知落在［60,70)内的平均成绩为67,方差是9,落在［60,80)内的平均成绩是73,方差是29,求落

在［70,80)内的平均成绩和方差.

(附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,xx,sl-n,x2,sl.记两组数据总体的样本平均

数为W,则总体样本方差S2=------S；+(X］-w)~\H-------F+(》2—］)

m+nL'7Jm+n\_'7J

【答案】(1)平均数为71,众数为75.(2)88.(3)平均数为76,方差为12.

解：(1)在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的

中点，据此求解.一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

平均数=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.

由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.

(2)依题意可知题目所求是第90%分位数，先判断第90%分位数落在哪个区间再求解即可；前4组的频率

之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.90,第90%

分位数落在第5组，设为x,贝10.70+(x—80)x0.025=0.90,解得x=88.“防溺水达人”的成绩至少为88

分.

(3)先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.［60,70)的频率为0.15,［70,80)

的频率为0.30,所以［60,70)的频率与［60,80)的频率之比为匕=:，「0,80)的频率与［60,80)

V/•J.JIVz.JxxJ

Q30?——

的频率之比为——------,设［70,80)内的平均成绩和方差分别为x,sf,依题意有

0•15I0.3032

I2————1I-2r0~\

73=-X67+-XX,解得X2=76,29=—x［9+(67—73)2］+—x1(6-73),解得s；=12,所

33233L5+7」

以［70,80)内的平均成绩为76,方差为12.

17.如图，在长方体4BCQ—中，2。=幺4=1,48=2,点£在棱48上移动.

ac

AEB

(1)当点£在棱48的中点时，求平面QEC与平面所成的夹角的余弦值；

(2)当NE为何值时，直线4。与平面AEC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

【答案】(1)旦(2)当NE=2时，直线4。与平面所成角的正弦值最小，最小值为巫

65

解：(1)以。为坐标原点，DC,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面。］£C的一

个法向量，平面。C2的一个法向量，利用向量法可求平面AEC与平面。C。所成的夹角的余弦值；

以。为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

当点£在棱46的中点时，则A(0,0,1),£(1,1,0),C(0,2,0),Z>(0,0,0),A(l,0,0),

则函=(-1,-1,1),EC=(-1,1,0),DA=(1,0,0),

设平面REC的一个法向量为J=(X，NZ)，

―-»

ri'ED.=-x—y-hz=0

则〈一.，令x=l,则y=l,z=2,

nEC=-x+y=0

所以平面AS。的一个法向量为［二(1,1,2)，

又平面。cn的一个法向量为方3=(i,o,o),

DA^\_1_V6

所以COS04,万=T—II-------,，

pH同Vl+l+4xl6

所以平面D.EC与平面DCD］所成的夹角的余弦值为国；

6

【小问2详解】设4£=7%，可求得平面。［EC的一个法向量，直线的方向向量石，利用向量法可得

sin^="?—可求正弦值的最小值•

72(2-«)2+10

设AE=m,则。i(0,0,1),E(l,m,0),C(0,2,0),D(0,0,0)，4(1,0,1),

则=(-1,-m,1),EC=(-1,2-m,0),(0<m<2),=(1,0,1),

设平面Q|EC的一个法向量为J=（%，NZ），

ri'ED,=—x—my+z=0

则〈_.',令>=1,则x=2-加,z=2,

nEC=-x+(2—m)y-0

所以平面D]EC的一个法向量为〃=(2-加,1,2),

设直线A0与平面DXEC所成的角为。,

.八IngD4I12-m+214-m

则sm8==ii।/,=

22

\n\iDAx|J(2-m)+1+4x71+1J2(2-m)+10

令4一加=1£[2,4],

当/=2时，sin。取得最小值，最小值为巫.

5

18.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现

同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得

0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.

（1）求甲在一局中得2分的概率片；

（2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率P2；

（3）求游戏经过两局就结束的概率片.

【答案】（1）4

解：（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解;

画出的树状图，如图:

剪刀石头布剪刀石头布剪刀石头布

剪刀石头布剪刀石头布剪刀石头布

剪刀石头布

剪刀石头布剪刀石头布剪刀石头布

所以每局中共有27种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：

（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、

（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、

（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、

91

一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率耳=.

273

（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，

则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第

二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；

游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：

①第一局甲得2分，第二局甲得1分：

则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；

由（1）中树状图可知满足情况有：

第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、

第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）

,331_

此时概率为=—种情况，

272781

②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分,

则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；

由（1）中树状图可知满足情况有:

第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）

第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、

......331

此时概率为一x一=—,

272781

综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率R=±+1=g.

2818181

（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分,

④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解.

游戏经过两局就结束总共有4种情况：

2?

①仅1人得3分，记事件为儿贝"尸（2）=而义3=药；

②有2人得分为3分，记事件为3尸（8）=3x1卷x,x22

27

③仅1人得4分，记事件C：

（3311

一人得4分，另两人各负2分：3x——X——=——,

（2727）27

一人得4分，一人得负2分，一人得1分：3x——x|——x2|x2

「33、2

一人得4分，另两人各1分：3x—x——x2,

（2727J27

p（c）=—+—+—=—；

v727272727

（33）1

④有2人分别得4分，记为事件D则尸（0）=3x万乂药=药

22714

综上所述：游戏经过两局就结束的概率6=—+—+—+—=—.

3272727279

19.在空间直角坐标系。-孙z中，己知向量办=（a,6,c）,点《（/Jo/o）.若直线以方为方向向量且经过

点勺，则直线的标准式方程可表示为口^=匕&=04"cwO）；若平面々以力为法向量且经过

abc

点P0,则平面a的点法式方程表示为a（x-Xo）+6（y-yo）+c（z-Zo）=O.

（1）已知直线的标准式方程为==三5=3,平面内的点法式方程可表示为Gx+y-2+5=0,

1—\32

求直线与平面4所成角的余弦值;

(2)已知平面％的点法式方程可表示为2x+3y+2—2=0,平面外一点尸(1,2,1),点尸到平面%的距

离;

(3)(i)若集合M={(x,y,z)||x|+|y区2,|z|Wl},记集合M中所有点构成的几何体为，求几何体的

体积;

(ii)若集合N={(x,y,z)||x|+小2,卜|+|z|V2,|z|+|x|<2}.记集合N