2024年北京燕山区初三年级上册期末考数学试卷和答案

试题

燕山地区2023-2024学年第一学期九年级期末考试

数学试卷2024.1

一、选择题(共16分，每题2分)

第1—8题均有四个选项，符合题意的选项区有7个.

1.下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是

A.B.C.D.

2.已知点P在半径为r的。。内，且OP=3,则厂的值可能为

A.1B.2C.3D.4

3.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是

A.y=xB.y=x+1C.y=x2D.y~~-x2

4.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上.如果每一块方砖除

颜色外完全相同，则小球最终停留在白枝上的概率是

1452

c

A.3-B.9-9-D.3-

5.如图，点5在。。上，点C是劣弧N2的中点，//。。=80。，贝U

NCDB的大小为

IJ

A.40°B.45°C.60°D.80°

6.电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，

第三周累计票房约6.8亿元.若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x,根据题意可

列方程为

A.3.5/=6.8B.3.5(1+x)=6.8

C.3.5(1+x)2=6.8D.3.5(1-x)2=6.8',,

7.如图，在平面直角坐标系xQy中，的三个顶点都在格

点上，则44BC外接圆的圆心坐标为；犷/

A.(3,2)B.(2,3)二d门；』J

C.(2,2)D.(3,3)

8.平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的部分图象如图所示，给出下

面三个结论：

①a，b>0；:A

②二次函数y=ax2+bx(aW0)有最大值4；-

[:3r

试题/：2|1

/：n

-A-s-iz-iJi：

I；T卜

试题

③关于X的方程ax2+6x=0有两个实数根占=-4，x2=0.

上述结论中，所有正确结论的序号是

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

二、填空题（共16分，每题2分）

9.平面直角坐标系xQy中，与点尸（一4,1）关于原点对称的点的坐标是.

10.一元二次方程x（x-3）=x-3的解是.

11.将抛物线y=g/向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为.

12.已知某二次函数的图象开口向上，且顶点坐标为（1,3）,则这个二次函数解析式可以

是.

13.如图，PA,必是。O的两条切线，切点为B,若乙408=90。，为=3,则。。的

半径为

（第13题）（第14题）

14.如图，是。。的直径，弦CD_L/8于点£,连接4D,若OE=3,CD=8,则4。的

长为.

15.在一个不透明的盒子中共装有40个球,其中有a个红球,这些球除颜色外无其他差别.为

估计。的值，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜色

再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下:

摸球的次数〃2050100200300400500

摸到红球的次数m133262117181238301

摸到红球的频率竺0.650.640.620.5850.6030.5950.602

n

根据以上数据，估计。的值约为.

16.2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售.

某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价

为30元.当地物价部门规定，该礼盒销售单价最

高不能超过50元/盒.在销售过程中发现该礼盒每

周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数

关系：y=—2x+180（30Wx（50）.

（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为,

（2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为元.

试题2

试题

三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题6分，第21—23题，每题5分,

第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.解方程：X2+4X-12=0.

18.已知./-2X-5=0,求代数式3汹彳-2）+（工-1）2的值.

19.2023年7月31日，北京遭遇140年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重.为了做好防

汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志

愿者被随机分到A组（信息登记），B组（物资发放），C组（垃圾清运）的其中一组.

⑴小东被分配到A组是事件（填“必然”，“随机”或“不可能”）；

小东被分配到A组的概率是._

（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率.

20.如图，将△ABC绕点3逆时针旋转得到△O2E,点C的对应点E恰好落在48上.

（1）若3C=6,BD=9,求线段/E的长.

（2）连接4D,若NC=110。，/比1C=4O。，求NBD4的度

,,IX

数.

21.阅读下面的材料

一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》

中.到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一

元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》

中也给出了类似的解法.

以炉+10工=39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：

①如图1,在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上

一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；

②一方面大正方形的面积为（x+）2,另一方面它又等于图中各部分面

积之和，因为x2+10x=39,可得方程（x+y=39

+,则方程的正数解是

试题3

试题

X-___________________________

(1)补全花拉子米的解法步骤②；

(2)根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程N—6x=7的正数

解的正确构图是(填序号).

22.已知关于x的一元二次方程x2-2x+(m-2)=0有两个不相等的实数根.

(1)求机的取值范围；

(2)若仅为正整数，请你写出一个满足条件的加值，并求出此时方程的根.

23.已知二次函数了=祇2+乐+3(°70)的图象经过点41,0),8(3,0).

(1)求该函数的解析式；

(2)当x>3时，对于x的每一个值，函数y=x+〃的值小于二次函数^=依2+加+3的

值，结合函数图象，直接写出〃的取值范围.

24.如图，在△/2C中，N/C2=90°,点。在48上，以4D为直径作。。与2C相切于

点、E,连接。E并延长交/C的延长线于点尸.

(1)求证：AF=AD；।

(2)若CE=4,CF=2,求。。的半径.，“

试题4

试题

25.学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂

的挥发情况.在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥

发时间为x分钟时，在场景A,B中的剩余质量分别为勿，/(单位：克).

下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：

记录力，夕2与x的几组对应值如下：

x(分钟)05101520•••

g(克)2523.52014.57.・・

以克)252015105・・・

(1)在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点(x,力)，(x,yi),并回出

函数力，JV2的图象；

(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，力与x之间近似满足函数关系

%=-0.04/+bx+c.场景B的图象是直线的一部分，H与x之间近似满足函数关系

%=ox+c(a¥0).请分别求出场景A,B满足的函数关系式；

(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用.在上述实验中，记该

化学试剂在场景A,B中发挥作用的时间分别为XA,XB,则XAXB(填“>”，“=”

或

26.在平面直角坐标系xOy中，点M(—1,m),N(3,")在抛物线y=办？+6x+c(a>0)上,

设抛物线的对称轴为x=f.

(1)若求t的值；

(2)若求t的取值范围.

试题5

试题

27.如图，△NBC为等边三角形，点M为边上一点(不与点/,3重合)，连接CN,过

点4作NOLCN于点。，将线段绕点/顺时针旋转60°得到线段4B,连接

(1)依题意补全图形，直接写出//仍的大小，并证明；

(2)连接助并延长交5c于点尸，用等式表示8厂与歹C的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xQy中，对于。。和OC外一点P给出如下定义：

连接CP交。。于点0,作点P关于点。的对称点P,若点P在线段C0上，则称点P

是。C的"关联点例如，图中P为。C的一个“关联点”.

(1)。0的半径为1.

①如图1,在点/(-0，0),5(2,2),0(0,3)中，。。的“关联点”是.

②已知点M在直线了=母工-2上，且点”是。。的“关联点”，求点”的横坐标m的取

值范围.

(2)直线了=-百(x-1)与x轴，y轴分别交于点£,点凡的圆心为7(，0),半径为2,

若线段M上所有点都是。7的“关联点”，直接写出f的取值范围.

bx

图1备用图

试题6

试题

燕山地区2023—2024学年第一学期九年级期末考试

数学试卷答案及评分参考2024年1月

阅卷须知：

1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生

将主要过程正确写出即可。

2.若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

3.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

第一部分选择题

一、选择题(共16分，每题2分)

题号12345678

选项BDDBACAD

第二部分非选择题

二、填空题(共16分，每题2分)

9.(4,-1)；10.Xi—I,X2=3；

11.y=；(x+iy；12.答案不唯一，如：y=(x-l)2+3；

13.3；14.4石；15.24；

16.(l)y=-2x2+240x-5400(30WxW50)；(2)1600.

三、解答题(共68分，第17—19题，每题5分，第20题6分，第21—23题，每题5分，第

24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分)

17.(本题满分5分)

解：b=4,c=T2,.................................................1分

A=Z)2-4ac=42-4xlx(-12)=64,.................................................2分

.—b±VA—4±V64—4±8c八

1,22a2x12

••Xj=-6，%2=2..................................................5%

18.(本题满分5分)

角轧原式=3%2—6x+%2-21+1.................................................2分

=4x2-8x+1..................................................3分

*.*x?—2x—5=0,

x2-2x=5,.................................................4分

:.4x2-8x=4(x2-2x)=4X5=20,

，原式=20+1=21..................................................5分

19.(本题满分5分)

解：(1)随机；.........................2分

3

(2)记小东和小北被分配到同一组为事件

试题7

试题

方法一：用列表法列举所有可能出现的结果:

ABC

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

由表中可以看出，所有可能的结果有9种，并且这9种结果出现的可能性相等,

所有可能的结果中，满足事件M的结果有3种，即AA,BB,CC,

31

：.P(M)=-=-..................................................5分

93

方法二：根据题意可以画出如下的树状图：

由树状图可以看出，所有可能的结果有9种，并且这9种结果出现的可能性相等,

所有可能的结果中，满足事件M的结果有3种，即AA,BB,CC,

31

：.P(M)=-=-..................................................5分

93

20.(本题满分6分)

解：(1),・,将△ZBC绕点5逆时针旋转得到区点。的对应点E落在45上，

：.BD=BA,BE=BC,

：.AE=AB-BE=BD-BC=9-6=3,.................................................3分

(2)VZC=110°,NA4C=40。，

・•・ZABC=1SO°~ZC-ZBAC=30°,

•・,将△ZBC绕点B逆时针旋转得到

；・BD=BA,ZDBA=ZABC=30°,

180°—/DA4

：.ZBDA=ZBAD=

2

180°—30°

6分

2

21.(本题满分6分)

解：(1)5,5,25,3；.................................................4分

(2)①..................................................5分

22.(本题满分5分)

解：(1)A=Z?2-Aac=(-2)2-4x1x(m-2)

=4-4m+8

=12-4m.

・・•方程有两个不相等的实数根，

AA>0,即12—4加>0,

试题8

试题

：.m的取值范围是加<3..................................................2分

(2)*/m<3,且冽为正整数，

*.m=\或2..................................................3分

方法一：

取冽=2,原方程化为一一2%=0,

解这个方程，得玉=0,x2=2..................................................5分

方法二：

取加=1,原方程化为——2x-1=0,

解这个方程，得%=1-6,x2=1+V2.....................................5分

23.(本题满分5分)

解：(1)二•二次函数^=狈2+乐+3的图象经过点4(1,0),B(3,0).

.JO=〃+Z?+3,

[0=9a+3b+3,

解这个方程组，得卜=1’

[b=-4.

,该函数的解析式是y=x?-4x+3..................................................3分

(2)〃W—3..................................................5分

24.(本题满分6分)

(1)证明：如图，连接。E.

,:BC为©O的切线，

OELBC.

VZACB=90°,

C.AFLBC,\X>4>

OE//AF,cy--------->

AZF=ZOED./

*：OE=OD,

：.ZOED=ZODE,

：./F=/ODE,

：.AF=AD.3分

⑵解：

如图，连接/及

・・7。为。O直径，

AZAED=90°,即/E_L。/于点石,

X^ECLAF,

：.CE2=AC-CF,

22

・・.4C=CE上—=4t=8,

CF2

：.AF=AC+CF=10,

：.AD=AF=10,

试题9

试题

的半径为5.6分

25.(本题满分6分)

解：(1)描点并画出函数力，8的图象如图;

2分

⑵场景A：

将点(0,25),(10,20)的坐标代入％=—0.04/+&+。,

25=c,

得

20=-0.04X102+10Z)+C,

解得b=-OA,

c=25.

二场景A满足的函数关系式为乂=-0.04X2-0.1X+25.

场景B：

将点(0,25),(5,20)的坐标代入为=ax+c,

得[25=c,

[20=5“+c,

解得什T，

[c=25.

场景B满足的函数关系式为%=r+25...................5分

(3)>.........................6分

26.(本题满分6分)

解：(1)方法一:

•加=几，

・••点M(—1,m),N(3,〃)关于直线寸称，

-1+3

..t=-----=1,

2

BPt=\.........................2分

方法二：

・・•点M(—1,加)，N(3,〃)在抛物线上，

试题10

试题

.\m=a-b+c,

[〃=9。+36+c.

•m=n,

^.a—b+c=9a+3b+c,

b=-2a，

•_±

t==1,

2a

即t=l.2分

(2)方法一：

,抛物线>+6%+。的对称轴为％=K

.b

••t----，

2a

••b=-2at,

抛物线解析式为y=ax2-2atx+c.

・・•点M(—1,m),N(3,〃)在抛物线上，

.[m=a+2at+c,

n=9a-6at+c.

■:c〈m〈n,

.ic<a+2at+c,

[a+2at+c<9a-6at+c,

整理，得]〃(1+2。〉0，

18a(l-/)>0.

.+2/〉0,

解得-LV/Vl,

2

的取值范围是—LvfVl......................................................6分

2

方法二：

V6Z>0,

抛物线y=q/+bx+c开口向上，

・••当xWf时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大.

设抛物线尸办2+及+。与丁轴交于点c(o,c).

①若，23,点M-1，加)，C(0,c),N(3,3都在对称轴左侧，

；.m>c>n,不合题意.

②若，W—1,点M(—1,m),C(0,c),N(3,口都在对称轴右侧，

.\m<c<n,不合题意.

③若一1VZV3,点M—1,m),N(3,〃)位于对称轴两侧，

试题11

试题

做点M（—1,M关于x=，的对称点AT,则⑼位于对称轴右侧.

.：m〈n,

：.2t+l<3,

i）若后0,显然满足c<〃z；

ii）若/CO,点C（0,c）,M'（2t+\,加）均位于对称轴右侧，

■:c〈m,

AO<2Z+1,

2

综上，/的取值范围是_工</<1.................................................6分

2

27.(本题满分7分)

(1)依题意补全图形，如图.................................................1分

ZAEB=90°.................................................2分

证明：

•・•将线段4。绕点A顺时针旋转60°得到线段42

：.AE=AD,ZEAD=60°.

9：AABC为等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

・•・ZEAD=ZBAC.

ZEAB=ZEAD-ABAD,

ZDAC=ABAC-/BAD,

：.ZEAB=ZDAC,

：.AAEB之AADC,

：.ZAEB=ZADC.

9：AD.LCM,即N4QC=90°,

・•・ZAEB=90°.