专题4.6角（举一反三）（华东师大版）（原卷版）

专题4.6角【十一大题型】【华东师大版】TOC\o"13"\h\u【题型1角的相关概念辨析】 1【题型2角的单位换算】 2【题型3钟表上有关角的计算】 3【题型4与方向角有关的计算】 4【题型5角的计数问题】 5【题型6角的比较】 6【题型7与角平分线相关的角的运算】 8【题型8与角n等分线相关的角的运算】 9【题型9在三角板中的角的运算】 11【题型10余角和补角的计算】 13【题型11同（等）角的余角和补角相等的运用】 14【知识点1角的概念及其表示方法】定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．表示方法A图例A记法适用范围用三个大写字母表示BOBOAOB或BOA任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.用一个大写字母表示AAA以这个点为顶点的角只有一个.用数字表示111任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.用希腊字母表示【题型1角的相关概念辨析】【例1】完成以下各题．(1)写出图中能用一个字母表示的角；(2)写出图中以A为顶点的角；(3)图中共有几个角？【变式11】下列说法中，正确的是（

）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角的边越长，角越大【变式12】如图所示，图中可以用一个字母表示的角有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式13】如图，

(1)用不同的方法表示图中以D为顶点的角；(2)写出以B为顶点的角与边；(3)画出DA′，使【题型2角的单位换算】【例2】关于度、分、秒的换算．（1）56°18（2）12°32（3）12.31°用度、分、秒表示．【变式21】比较大小：60°25′60.25°（填“>”，“<”或“【变式22】计算（1）34°41′25″×5；

（2）72°35′÷2＋18°33′×4．【变式23】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠AC．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C【知识点2钟表上有关夹角问题】钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【题型3钟表上有关角的计算】【例3】某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合．假设钟表走时准确，请问再过分钟．【变式31】实验中学上午10:10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（

）A．105° B．110° C．115° D．120°【变式32】小明下午4点多外出购物，当时钟面上的时针与分针的夹角恰好为88∘，下午不到5点回家时，时针与分针的夹角又是88∘，则小明外出的时间是【变式33】钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻：．（结果形如6点2311【知识点3方向角】在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【题型4与方向角有关的计算】【例4】根据描述标出每个同学家的位置(1)小红家在学校东偏北30°方向150米处．(2)学校在小平家北偏西45°方向200米处．(3)小华家在学校南偏西60°方向100米处．(4)小刚家在学校西偏北30°方向150米处．【变式41】从海岛A点观察海上两艘轮船B、C．轮船B在点A的北偏东60°25′方向；轮船C在点A的南偏东15°37′【变式42】如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（）

A．85° B．105° C．125° D．160°【变式43】如图，货轮甲从港口O出发，沿东偏南60°的方向航行20海里后到达A处．（已知四个圆圈的半径（由小到大）分别是5海里，10海里，15海里，20海里．）（1）写出在港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离；（2）已知灯塔D在港口O的南偏西30°方向上，且与灯塔B相距35海里，在图中标出灯塔D的位置．（3）货轮乙从港口O出发，沿正东方向航行15海里到达P处后，需把航行方向调整到与货轮甲的航行方向一致，此时货轮乙应向左（或右）转多少度？并画出货轮乙航行线路示意图．【题型5角的计数问题】【例5】解答下列各题（1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表：∠AOB内射线的条数1234角的总个数________________________（2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．（3）若∠AOB内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？【变式51】如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【变式52】如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有个角；（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成个角；（用含n的式子表示）（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是场．【变式53】在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA､OB可组成的角的个数是（

）A．595 B．406 C．35 D．666【知识点4角的比较与运算】角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【题型6角的比较】【例6】如图所示，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD，试比较∠AOC和∠COE的大小关系．【变式61】已知∠α与∠β都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若∠α的另一条边恰好落在∠β的内部，则（）．A．∠α<∠β B．∠α=∠β C．∠α>∠β D．不能比较∠α与∠β的大小【变式62】如图，已知直线AB与射线OP相交于点O，点C是OA上一点，且∠AOP=90°.用尺规完成作图：(1)在射线OB上截取OD，使OD=OC；在射线OP上取一点E，OE=2OC，连接CE、DE；比较线段CE与DE的大小，并直接写出结论；(2)在射线OP上取一点Q(不同于点O，E)，连接CQ、DQ，比较∠CED与∠CQD的大小，并直接写出结论.【变式63】学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较C、D为一个量角器在AB上方边缘上的两个动点，连接CO、DO．(1)当C，D两点运动到如图1所示的位置时，请你直接由量角器读出∠COB=______°，∠DOA=______°；(2)若OD从OA出发以每秒8°的速度向终边OB运动，同时OC从OB出发，以每秒10°的速度向终边OA运动，运动时间为t，当CO⊥DO时，运动时间t是多少？(3)如图2，过点O作AB的垂线与量角器的边缘交于点E，若∠COD=60°，OF是∠COE的平分线，OD从OA出发，当C与B重合时停止运动，请探究这个运动过程中，∠DOE与∠COF的数量关系．【知识点5角的和差关系】如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB∠2．角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12【题型7与角平分线相关的角的运算】【例7】如图，O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．

(1)如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为______；(2)如图①，如果∠AOC=60°，求∠COF的度数；(3)若将图①中的∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，若∠AOC=α，请猜想∠COF的度数（可用α表示），并说明理由．【变式71】如图，点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．

(1)若∠AOE=10°，求∠BOD的度数；(2)若∠AOC:∠COB=2:13，求∠BOF的度数．【变式72】解答下列问题如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是

(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=（表示出所有可能的结果探索新知）．

(3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=（用含α的代数式表示出所有可能的结果）．

【变式73】已知：O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．

图1

图2

图3(1)如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=；若∠COF=m°，则∠BOE=；∠BOE与∠COF的数量关系为．(2)在图2中，若∠COF=75°，在∠BOE内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD+∠AOF=13∠BOE−∠BOD(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3所示的位置时，直接写出∠BOE与∠COF的数量关系．【题型8与角n等分线相关的角的运算】【例8】如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；(2)如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数；(3)如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0<t<9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的t值．【变式81】已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．(1)若OC平分∠AOB，①依题意补全图1；②∠MON的度数为．(2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．【变式82】定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x或92【变式83】综合与实践【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线OC，OD是∠AOB的三等分线，则称更靠近OA边的射线OC是射线OA的“友好线”，靠近OB边的射线OD是射线OB的“友好线”．(1)如图②，∠AOB=150°，射线OP是射线OA的友好线，求∠AOP的度数．(2)【问题探究】如图③，∠AOB=120°，射线OQ与射线OA重合并绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，与射线OB重合时停止．问旋转几秒后，OQ是OB的“友好线”．(3)【问题拓展】如图④，∠AOB=180°，射线OM，ON分别与射线OA，OB重合，射线OM绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，同时射线ON绕点O以每秒2°的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻OM恰好是ON的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由．【题型9在三角板中的角的运算】【例9】如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不可能是（

）

A．20° B．80° C．100° D．150°【变式91】如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP=70°．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（∠MON=90°）在直线AB的上方．设∠BOM=n°0<n<90．

(1)当n=32时，求∠PON的大小；(2)若0<n<70时，求∠AON−∠POM的值．【变式92】（1）探究：在①15∘，②25∘，③35∘，④45

（2）在探究过程中他发现：如图1，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45∘角（∠AOB的顶点与60∘角（∠COD的顶点互相重合，且边OA､OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5∘（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时停止．在此过程中，若旋转时间为t秒，请用t表达下列角度．∠AOE=__________°（3）在此过程中，是否存在一个时间t（秒），使∠BOC=3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．【变式93】综合与实践在一次数学综合实践课上，王老师提出了这样一个问题．将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON，然后提出问题：求∠MON的度数．明明与同桌丽丽讨论后，进行了如下解答：【特殊情况，探索思路】将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON,OD,OB在同一条直线上，按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．(1)直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为_______，图3中∠MON的度数为_______；(2)【特例启发，解答题目】猜想在图1所示的一般情况下∠MON的度数，并说明理由；(3)【核心素养，方法总结】你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了_______数学思想A．由特殊到一般

B．方程思想

C．分类讨论

D．逆向思考(4)【拓展结论，设计新题】若将王老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON”改为“分别作出射线OM,ON，使∠AOM=45∠AOC,∠DON=【题型10余角和补