榜中榜教育高三数学冲刺百题集(理科)

榜中榜教育高三数学冲刺百题集（理科）

1

2

若f(x)=则f（x）的定义域为（

logJ(2x+l)

A.(-1,0)B.(-1,0]C.(-1,+8)D.(0,+8)

222

3.已知集合乂=E1----——->0}，N={yly=3x2+1,xeR},则MCN=()

(x-1)3

A.0B.{xlx>l}C.{xlx>l}D.{xlxZl或x<0}

4.设f(x)是周期为2的奇函数，当04x41时，f(x)=2x(I-x),则f(--|)=()

A.-1B.-1C.AD.A

2442

5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=l处有极值，则ab的最大值等于

()

A.2B.3C.6D.9

6.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,

且ar0),若g(a)=a,则f(a)=()

A.2B.-1^C.AZD.a2

7.曲线..sinx--1在点M（2L,0）处的切线的斜率为（）

sinx+cosx24

8.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x€R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4

的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,4-00)C.(-8,-1)D・(-8,+8)

9.设偶函数f(x)满足f(x)=2X-4(x>0),则{xlf(x-2)>0}=()

A.{xlx<-2或x>4}B.{xlx<0或x>4}C.{xlx〈O或x>6}D.{xlx<-2或x>2}

10.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个"E"形图案，如图所示，设小矩形

的长、宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若24x410,记y=f(x),则y=f(x)的图象

是()

11.点P在曲线y=x3-x+_|上移动,设点P处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是()

A兀ID「八兀「兀、厂「九\兀兀

A.[r0n,1B・[0,)U[3f7T)C・[3fre)Dn•/(，31

224424

12.已知｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和,a5=19,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,明)

的直线的斜率是()

A.4B.Ac.-4D.-14

4

13.已知｛a11｝为等差数列，a]+a3+a5=105,@2+闻+a6=99,以Sn表不｛aQ的前n项和，则使得

Sn达到最大值的n是()

A.21B.20C.19D.18

14.已知等比数列｛aQ的前n项和为Sn,且azoii=3S2o10+2012,a2o1o=3S2009+2012,则公比

q等于（）

A.3B.AC.4D.A

34

15.设等比数列⑶｝的首项为ai，公比为q,则a<0且0<q<l"是"对于任意n€N*都有an+1

>a:的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

16.设2a是1+b和1-b的等比中项，则6a+4b的最大值为（）

A.10B.7C.5D.4^/10

17.设。为坐标原点，证（-丸-3），而二（12,-5）,0P=^0A+0B-若向

量赢，6?的夹角与加，丽的夹角相等，则实数人的值为（）

B.-C.+—D.+至

3一5一3

18.如图，将45。直角三角板和30。直角三角板拼在一-起，其中45。直角三角板的斜边与30。

直角三角板的30。角所对的直角边重合.若而二x•五+y•瓦，则x，y等于（）

A.尸1B.x=l+V3*尸V5C.x=2,y=V3D♦x=V3»产1+75

19.已知sin。二，且。在第二象限，那么2。在（）

4

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

20.若4ABC的内角A满足sin2A/，贝sinA+cosA=()

_3

A.-2^C.-D.--

3333

21.把函数丫=8$X-"园访*的图象沿向量ar(-m,m)(m>0)的方向平移后，所得的

图象关于y轴对称，则m的最小值是()

A.—B.—C.D.

6336

22.同时具有性质："①最小正周期为Ji：②图象关于直线x*对称；③在,一)

363

上是增函数."的一个函数是()

A.y=sinB.y=cos(―-C.y=cos(2x+-^-)D.y=sin(2x-2b

262636

23.函数f(x)=2sin(2x+4))的图象如图所示，-则巾的值为()

A.-21B.--C.--gg--22ID.-2L或-二

63366

24.若过点A(0,-1)的直线1与曲线x2+(y-3)2=12有公共点，则直线1的斜率的取

值范围为（)

A.T，冬B.5冬加)

o

-V3)u+8)D.(-8,一型+8)

C.（-oo,

25.已知点P（x,y）的坐标满足条件（,那么点P至值线3x-4y-9=0的距

x-2y+3）0

离的最小值为（）

A.星B.3C.2D.1

55

26.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平

面内的轨迹是()

A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线

27.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近

线垂直，那么此双曲线的离心率为()

A.V2B.A/3C.遥+]D.遥+]

22

28.设抛物线y2=8x的焦点为E准线为1,P为抛物线上一点，PA11,A为垂足.如果直

线AF的斜率为一如,那么IPFI=()

A.4A/3B.8C.8V3D.16

29.椭圆二+.1(a>b>0)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存

a2b2

在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是()

A.(0,李B.(0,A]C.[衣-1,1)D.[1,1)

30.在平面直角坐标系xOy中，已知aABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),顶点B在双

曲线上!-工2=1的右支上，则£1电二等于()

2511sinB

A.也B.-至C.+至D.-^=

66-6Vli

31.设1,m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是()

A.若l_Lm,mua,贝ljl_LaB.若l_La,l〃m,贝ljm_La

C.若l〃a,mca,贝ijl〃mD.若l〃a,m〃a,则l〃m

32.如图，在正方体ABCD-AIBIJDI中，P为棱DC的中点，则D]P与BJ所在直线所

成角的余弦值等于()

33.已知S,A,B,C是球O表面上的点，5人，平面八8(2,AB1BC,SA=AB=1,BC=V2,

则球O的表面积等于()

A.4RB.3nC.2nD.n

34.如图所示，APAB所在的平面a和四边形ABCD所在的平面。互相垂直，且AD_La,

BCla,AD=4,BC=8,AB=6.若tan/ADP-2tan/BCP=l,则动点P在平面a内的轨迹

是()

A.椭圆的一部分B.线段

C.双曲线的一部分D.以上都不是

35.过正方体ABCD-AiB|C|Di的顶点A作直线L,使L与棱AB,AD,AA］所成的角都

相等，这样的直线L可以作（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

36.半径为R的球0的直径AB垂直于平面a,垂足为B,ABCD是平面a内边长为R的

正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N,那么M、N两点间的球面距离是（）

D・最冗R

37.用巾（x）表示标准正态总体在区间（-8,x）内取值的概率，若随机变量£服从正态

分布N（10,0.12）,则概率P（1^-10K0.1）等于（）

A.4＞（"9）B.巾（10.1）（9.9）C.巾⑴-4）（-1）D.2巾（10.1）

38.把5名新同学分配到高一年级的A、B、C三个班，每班至少分配一人，其中甲同学已

分配到A班，则其余同学的分配方法共有（）

A.24种B.50种C.56种D.A8种

39.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可

能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）

40.•个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每次取后不放回,

则若一知第一只是好的,则第二只也是好的概率为（）

A.2B.AC.—D.1

31299

二、填空题（共22小题，每小题3分，满分66分）

41.已知集合乂=3反+1田｝,N=-｛-1>0,1｝,那么MCN=.

42.若直线y=2a与函数丫=酎-II（a>0且awl）的图象有两个公共点，则a的取值范围

是.

43.对于0<a<l,给出下列四个不等式

①log,(1+a)<Ilog(1+—)；@log(1+a)>log(1+—)；

aa&aaa

—,,1+——.,1+--

③"<a%®a：

其中成立的是.

3x+2_2

x>2

44.函数f(x)=­x2-4x-2在x=2处连续，则

x42

.a

45.已知｛aj是公比为q的等比数列，且a2,彻，a3成等差数列，则q=

2x3的系数为W则

46.设常数a>0,(ax+4=)4展开式中

VX2

lim(a+a2+'"+an)=----------

n—8

47.将全体正奇数排成一个三角形数阵:

1

35

7911

13151719

按照以上排列的规律，第n行（*3）从左向右的第3个数为

48.在数列｛aj中，ai=2,an+i=an+ln（1-+A）,贝I」2产.

n

49.已知数列A：a(,a2...an(0<ai<a2<...<an,n>3)具有性质P：对任意i,j(l<i<j<n),

可+因与可-为两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：

①数列0,1,3具有性质P；

②数列0,2,4,6具有性质P；

③若数列A具有性质P,则ai=0；

④若数列ai，a2,a?(0Sai<a2<a3)具有性质P,则ai+a3=2a2.

其中真命题有.

50.已知向量W，E满足百=1,lbl=2,la-bl=2,则l&El=

51.在AABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，a2-b2=V3bc,sinC=2%inB,

贝A=.

52.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求

数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为.(以数字作

答)

53.如图，在直三棱柱中，ZACB=90°,AC=BC=1,侧棱AAif历，M为AiBi的中点,

则AM与平面AAiCiC所成角的正切值为.

54.如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA,OB,OC两两垂直，且OA>OB>OC,分

别经过三条棱OA,OB,OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S|,S2,S3,

则Si，S2，S3的大小关系为.

55.给出下列四个命题：

①过平面外一点作与该平面成6角的直线一定有无穷多条；

②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；

③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一一个平面与这两条异面直线都平

行；

④对两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等.

其中正确的命题的序号是

.（请把所有正确命题的序号都填上）

22

56.已知Fi、F2是椭圆C：三+4=1（a>b>0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且

a2b2

画1画・若△PF1F2的面积为9,则b=.

22

57.已知F是双曲线工-1口的左焦点，A（l,4）,P是双曲线右支上的动点，则IPFI+IPAI

412

的最小值为.

58.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60。，

则双曲线C的离心率为.

59.在二项式仁）8的展开式中，含x5的项的系数是（用数字作答）

60.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长

度是棉花质量的重要指标）.所得数据均在区间［5,40］中，其频率分布直方图如图所示，由

图中数据可知a=，在抽测的100根中，棉花纤维的长度在［20,30］内的有一

根.

61.若直线2ax-by+2=0（a>0,b>0）被圆x2+y2+2x-4y+l=0截得的弦长为4,贝ij。+。的

ab

最小值是.

62.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生

得到甲公司面试的概率为2,得到乙、丙公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试

3

是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若p（x=0）=A,则随机变量X的

12

数学期望E（X）=

三.解答题

63.设f(x)=--x3+—x'+2ax

32

(1)若f(x)在(2,+8)上存在单调递增区间，求a的取值范围.

3

(2)当0<a<2时，f(x)在［1,4］的最小值为一回，求f(x)在该区间上的最大值.

3

64.设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线率为2.

(I)求a,b的值；

(II)证明：f(x)<2x-2.

65.已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(aGR)

(I)证明：曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2)；

(ID若f(x)在x=xo处取得极小值，xoe(1,3),求a的取值范围.

66.已知函数f(x)="(a、x)__(ax)+ln(x+1)，(a*0,aGR)

x+1

(I)求函数f(x)的定义域；

(ID求函数f(x)的单调区间；

(III)当a>0时:若存在x使得f(x)>ln(2a)成立，求a的取值范围.

67.已知函数f(x)=lnx-iix2-2x(a<0).

2

(I)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

(1［)若2=-工，且关于X的方程f(x)=-1x+b在U，4］上恰有两个不等的实根，求实数

22

b的取值范围；

(III)设各项为正数的数列同｝满足ai=l,an+l=lnan+an+2(nGN*),求证：an"-1.

68.己知数列｛aj满足a1，an+i=-----.

3an+1

(I)求数列｛aj的通项公式；

(II)记Sn=aia2+a2a3+...+anan+i，求Sn.

69.已知等差数列｛aj的首项ai=l,公差d>0、且a2,a5,a”分别是等比数列｛、｝的电,

b3,b4.

(1)求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式;

(2)设数列｛.｝对任意自然数n均有：--+—+­••+—4成立、求5+C2+C3+...+C2010

blb2bn-1

的值.

70.已知数列｛an｝的前n项和sn满足(a>0,且awl).数列｛bn｝满足bn=an・lgan

(1)求数列｛an｝的通项.

(2)若对一切nCN+都有bn<bn+i,求a的取值范围.

71.数列面｝中，ai=2,an+i=an+cn(c是常数，n=l,2,3,...),且ai，a2,a?成公比不为

1的等比数列.

(I)求c的值；

(II)求｛an｝的通项公式.

b

(III)由数列｛an｝中的第1、3、9、27、...项构成一个新的数列｛bn｝,求的值.

n—8»n

n+1

2a

72.数列｛an｝满足ai=l,a--------(n€N).

n+1aj2n+

9n

(1)证明：数列£｝是等差数列;

a”

(2)求数列｛aj的通项公式an；

(3)设bn=n(n+1)an,求数列｛EJ的前n项和Sn.

73.在数列｛a"中，已知ai=-l,an+i=Sn+3n-1(nGN)

①求数列｛an｝的通项公式

n

@^bn=3+(-1)nT〃・3+3)(人为非零常数)，问是否存在整数人使得对任意n€N*都

有bn+i>bn?若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.

74.在4ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且sinA=^,sinB-2fi2

510

(1)求A+B的值；

(2)若a-b=V^-l，求a、b、c的值.

75.已知函数f(x)=2sinxcosx-2cos2x(xGR).

(I)求函数f(x)的最小正周期；

(II)当x€[0,费]时，求函数f(X)的取值范围•

76.已知函数f(x)=^jsin^x+cos(3x+——)+cos(3x-——)-l(u)>0,xGR),

33

且函数f(x)的最小正周期为上

(l)求函数f(x)的解析式并求f(X)的最小值；

(2)在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(B)=1,或且a+c=3+«,

求边长b.

77.已知函数fx=3sin2x+2,\/3sinxcosx+5cos2x

(1)若f(a)=5,求tana的值；

222

(2)设AABC三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且工三二b—£求f(x)

a2+b2-c22a-c

在(0,B］上的值域.

78.已知向量(sinA,cosA),廿-1)，ir,nFl，且A为锐角.

(1)求角A的大小；

(2)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x6R)的值域.

79.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海

里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45。且与点

A相距40a海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45。+6(其中

sineW^,0°<6<90°)且与点A相距10海里的位置C.

26

(I)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；

(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

北

L

1-------*东

80.设点F(0,-|).动圆P经过点F且和直线尸-却切，记动圆的圆心P的轨迹为曲

线W.

(1)求曲线W的方程；

(2)过点F作互相垂直的直线h，12,分别交曲线W于A,B和C,D.求四边形ABCD

面积的最小值.

(3)分别在A、B两点作曲线W的切线，这两条切线的交点记为Q.求证：QA±QB,且

点Q在某一定直线上.

81.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为、历-1,

离心率e£反.

2

(I)求椭圆E的方程；

(11)过点(1,0)作直线1交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M,使而•低

为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.

82.已知向量水=(2,0),0C=AB=(0,1)>动点M到定直线y=l的距离等于d,

并且满足而.疝=k(CM'BM_d2)，其中。是坐标原点，k是参数.

(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型;

(2)当，求|而+2高|的最大值和最小值;

(3)如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足求实数k的取值范围.

22

83.已知椭圆C：J+A=l(a>b>0)的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端

a2b2

点构成等边三角形.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线1交椭圆C于A、B两点，设点A关于x

轴的对称点为A,.

(i)求证：直线AiB过x轴上一定点，并求出此定点坐标；

(ii)求AOAiB面积的取值范围.

84.过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x?+l的两条切线AP、AQ,P、Q为切点.

(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k|和k2,求证：ki・k2为定值，并求出定值；

(2)求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标；

(3)当包幽最小时，求而的值.

85.若圆C过点M(0,1)且与直线1：y=-l相切，设圆心C的轨迹为曲线E,A、B为

曲线E上的两点，点p(o,t)(t>0),且满足Q二人而(X>1)•

(1)求曲线E的方程；

(II)若t=6,直线AB的斜率为l，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，

2

求圆N的方程;

(Ill)分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q,若点Q恰好在直线1上，求证:

t与瓦•靛均为定值.

86.已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线1：X」,不在x轴上的动点P与点F的距离

2

是它到直线1的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点，直线

AB、AC分别交1于点M、N.

(I)求E的方程；

(II)试判断以线段MN为直径的圆是否过点E并说明理由.

87.如图所示，在正三棱柱ABC-A]BiCi中，底面边长为a,侧棱长为返a，D是棱ACi

2

的中点.

(I)求证：BCi〃平面ABQ；

(H)求二面角Ai-AB|-D的大小;

(III)求点Ci到平面ABQ的距离.

88.已知三棱锥P-ABC中，PA_LABC,AB±AC,PA=AC」AB,N为AB上一点,AB=4AN,

2

M,S分别为PB,BC的中点.

(I)证明：CM1SN；

(II)求SN与平面CMN所成角的大小.

89.已知三棱锥P-ABC中，PC_L底面ABC,ZABC=90°,AB=BC=2,二面角P-AB-C

为45°,D、F分别为AC、PC的中点，DEJ_AP于E.

(I)求证：AP_L平面BDE；

(II)求直线EB与平面PAC所成的角.

90.如图，四棱锥S-ABCD中,SDJ_底面ABCD,AB〃DC,AD_LDC,AB=AD=1,DC=SD=2,

E为棱SB上的一点，平面EDC_L平面SBC.

(I)证明：SE=2EB；

(II)求二面角A-DE-C的大小.

91.如图，在四棱锥P-ABCD中，PDJ_平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB〃DC,

/BCD=90。.

(1)求证：PC±BC；

(2)求点A到平面PBC的距离.

92.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD±,AE=EB=AF=2FD=4.沿直

3

线EF符AAEF翻折成AA'EF,使平面A'EFJ_平面BEF.

(I)求二面角A'-FD-C的余弦值；

(II)点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与

A'重合，求线段FM的长.

93.某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项(其中有

且仅有一个是正确的).评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分.某

考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题

都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因

不理解题意只能乱猜.对于这8道选择题，试求：

（1）该考生得分为40分的概率；

（2）该考生所得分数S的分布列及数学期望E'

94.某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间有关，每含这种家用电器若无

故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元，若无故障使用时间超过一年不超过三年，则

销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元.

已知每台该种电器的无故障使用时间不超过一年的概率为工，无故障使用时间超过一年不超

5

过三年的概率为2.

5

（I）求销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率；

（II）求销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的概率.

95.已知参赛号码为1〜4号的四名射箭运动员参加射箭比赛.

（1）通过抽签将他们安排到1〜4号靶位，试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号码相

同的概率；

（2）记1号，2号射箭运动员，射箭的环数为《所有取值为0,1,2,3...,10）.

根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：

i345678910

P1b00.060.040.060.30.20,30.04

P2bb000.040.050.050.20.320.320.02

①若1,2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中8环的概率;

②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由.

96.甲、乙两个箱子中装有大小相同的小球，甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中装有2

个黑球和3个红球，现从甲箱和乙箱中各取一个小球并且交换.

（1）求交换后甲箱中刚好有两个黑球的概率.

（2）设交换后甲箱中黑球的个数为求《的分布列和数学期望.

97.学校要用三辆车从北湖校区把教师接到文庙校区，己知从北湖校区到文庙校区有两条公

路，汽车走公路①堵车的概率为工，不堵车的概率为受；汽车走公路②堵车的概率为p,不

44

堵车的概率为1-p,若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆

车是否堵车相互之间没有影响.

（I）若三辆车中恰有一辆车被堵的概率为工，求走公路②堵车的概率；

16

（II）在（D的条件下，求三辆车中被堵车辆的个数为2的概率.

98.如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质

地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两

个3一共六个数字.质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1,质点

P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2,质点P前进两步（如由A到

C）；当正方体上底面出现的数字是3,质点P前进三步（如由A到D）.在质点P转一圈之

前连续投掷，若超过•圈，则投掷终止.

求：

（I）需要四次投掷，点P恰返回到A点的概率；

（n）点p恰好返回到A点的概率.

99.2010年11月广州成功举办了第卜六届亚运会.在华南理工大学学生会举行的亚运知

识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关亚运知识的问题，已知甲回答对这道题目

的概率是W,甲、丙两人都回答错的概率是。，乙、丙两人都回答对的概率是工.

4124

（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率.

（2）求回答对这道题目的人数的随机变量£的分布列和期望.

100.盒子里装有6件包装完全相同的产品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品.为

了找到2件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直到两件次品被全部检查或

推断出来为止.

（1）求经过3次品检查才将两件次品检查出来的概率；

（2）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为4次的概率.

参考答案与试题解析

一、选择题

1.(2010•朝阳区一模)I复数，J等于()

1+i^

C.-1D..1

22

【考点】复数代数形式的混合运算.

【分析】化简复数的分母为实数，然后整理即可.

l-i

【解答】解：复数--1-J_._i=---------------

1+i2(1+i)(l-i)44

故选D.

【点评】本题考查复数代数形式的运算，是基础题.

1

2.(2011•江西)若f(x)='，则f(x)的定义域为()

logj(2x+l)

~2

A.("0)B.(-1,01C.(-1,+8)D.(0,+8)

222

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】计算题.

【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量X的取值范围，由此可以构造一

个关于X的不等式，解不等式即可求出函数的解析式.

1

【解答】解：要使函数f(X)=的解析式有意义

log1(2x+l)

2

自变量x须满足：

log](2x+l)>0

2

即0<2x+l<l

解得

2

故选A

【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据让函数解析式有意义的原则

构造关于x的不等式，是解答本题的关键.

3.(2006•江西)已知集合乂=*1-----——->0),N={yly=3x2+1,x6R},贝MAN=()

(x-1)3

A.0B.{xlx>l}C.{xlx>l}D.{xlx21或xVO}

【考点】其他不等式的解法；交集及其运算.

【分析】集合M为分式不等式的解集，集合N为二次函数的值域，分别求出再求交集.

或者在解集合M中，注意XH1,可排除B、D,再结合A、C用特值检验即可.

【解答】解：••,M={xl」^〉o}={xlx>l或x40},N={yly21}

X-1

.*.MAN={xlx>l}

故选C

【点评】本题考查分式不等式的解集和集合的概念、运算等问题，属基本题.在解题过程中,

注意选择题的特殊做法.

4.(2015・怀化模拟)设心)是周期为2的奇函数，当0女41时,g)=2*(17),则£(-擀)=

()

A.-AB.-工C.工D.。

2442

【考点】奇函数；函数的周期性.

【专题】计算题.

【分析】由题意得f(-至)=f(-1)=-f(1)，代入已知条件进行运算.

222

【解答】解：；f(x)是周期为2的奇函数，当04x41时，f(x)=2x(1-X),

/.f(——)=f(_—)=-f(—)=-2XA(I-A)=-A,

222222

故选：A.

【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值.

5.(2011•福建)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x，-ax?-2bx+2在x=l处有极值，贝i」ab

的最大值等于()

A.2B.3C.6D.9

【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式.

【专题】计算题.

【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为。得到a,b满足的条件；利用基本

不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等.

【解答】解：:f'(x)=12x2-2ax-2b,

又因为在x=l处有极值，

/.a+b=6>

Va>0,b>0,

)=9'

当且仅当a=b=3时取等号，

所以ab的最大值等于9.

故选：D.

【点评】本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、

二定、三相等.

6.(2011•湖北)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax

-ax+2(a>0,且a#0).若g(a)=a,则f(a)=()

A.2B.-1^C.AZD.a2

44

【考点】函数奇偶性的性质.

【分析】由已知中定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a'

x+2(a>0,且awO),我们根据函数奇偶性的性质，得到关于f(x),g(x)的另一个方程

-f(x)+g(x)=ax-ax+2,并由此求出f(x),g(x)的解析式，再根据g(a)=a求出a

值后，即可得到f(a)的值.

【解答】解：・.・f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数

由f(x)+g(x)=ax-ax+2①

得f(-x)+g(-x)=ax-ax+2=-f(x)+g(x)②

①②联立解得f(x)=ax-ax,g(x)=2

由已知g(a)=a

.'.a=2

：.f(a)=f(2)=22-2-2=1^

4

故选：B

【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法--方程组法，函数奇偶性的性质，其中利

用奇偶性的性质，求出f(x),g(x)的解析式，再根据g(a)=a求出a值，是解答本题的

关键.

7.(2011•湖南)曲线厂.sinx-在点M(―,0)处的切线的斜率为()

sinx+cosx24

A.-1B.AC.一返D.返

2222

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x』处的导数，从而

4

求出切线的斜率.

【解答】解：；尸.sinx__1

sinx+cosx2

.,cosx(sinx+cosx)一(cosx-sinx)sinx

••y=--------------------------------------2-------------------

(sinx+cosx)

二1

(sinx+cosx)2

y'ix^---------------------

4(sinx+cosx)42

故选B.

【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基

础题.

8.(2011•辽宁)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x6R,f'(x)>2,则f

(x)>2x+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(-8,-1)D.(-8,+8)

【考点】其他不等式的解法.

【专题】压轴题；函数思想.

【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F(x)构成•个函数，把

x=-1代入F(x)中，由f(-1)=2出F(-1)的值，然后求出F(x)的导函数，根据产

(x)>2,得到导函数大于0即得到F(x)在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到

F(x)大于0的解集，进而得到所求不等式的解集.

【解答】解：设F(x)=f(x)-(2x+4),

则F(-1)=f(-1)-(-2+4)=2-2=0,

又对任意x€R,f(x)>2,所以F'(x)=f'(x)-2>0,

即F(x)在R上单调递增，

则F(x)>0的解集为(-1,+8),

即f(x)>2x+4的解集为(-1,+8).

故选B

【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是­•道中档题.

9.(2010•新课标)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x>0),则{xlf(x-2)>0}=()

A.{xlxV-2或x>4}B.{xlx<0或x>4}C.{xlx<0或x>6}D.{xlx<-2或x>2}

【考点】偶函数；其他不等式的解法.

【专题】计算题.

【分析】由偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x>0),可得f(x)=f(Ixl)=2lxl-4,根据偶

函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案.

【解答】解:由偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x>0),可得f(x)=f(Ixl)=2仅।-4,

IX2I

则f(x-2)=f(lx-21)=2--4,要使f(lx-21)>0,只需2k2i-4>o,|x-2I>2

解得x>4,或x<0.

应选：B.

【点评】本题主