（初中）七年级数学下册探究题大题梳理

（初中）七年级数学下册探究题大题梳理（45页汇总）

1.、把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在AC上，连接AE、BD,试判断AE与BD的关系,

并说明理由。

2.如图，已知直线1川L，直线卜和直线11、L交于点C和D,在C、D之间有一点P,如果P点在C、D之

间运动时，问NPAC,ZAPB,NPBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与

点C、D不重合），试探索NPAC,ZAPB,NPBD之间的关系又是如何？

3.己知：相,〃满足4ZHX22,14-16=2,,H,+I且计算出（/一以+〃）（/+1+加）的结果后不含尤2项

求：代数式m'n+mny-1的值

4、（7分）已知；如图，在△ABC中，AB=BC,/ABC=90。.F为A8延长线上一点，点E在8c上，BE=BF,

连接AE、EF和CF.（1）求证：AE=CF；（2）若NCAE=30。，求/EFC的度数.

5、（10分）一水果贩子在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了

一些零钱备用.他先按市场价售出一些后，又降价出售.售出西

瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所

示，结合图像回答下列问题：

（1）农民自带的零钱是多少？（2分）

（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？（2分）

（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手

中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克

（第25题）

的西瓜？（3分）

（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱？（3分）

6.（本小题满分10分）

已知CD是经过NBCA顶点C的一条直线，CA=CB.E、F分别是直线CD上两点，且NBEC=NCFA=Na.（1）

若直线CD经过/BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：

①如图1若NBCA=90°,Na=90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论

②如图2,若0°<ZBCA<180°,请添加一个关于Na与/BCA关系的条件

使①中的结论仍然成立；

⑵如图3,若直线CD经过/BCA的外部，Za=ZBCA,请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你

的结论

7.一农民朋友带

了若干千克的土

豆进城出售，为了

方便，他带了一些

零钱备用.按市场

售出一些后，又降价出售.售出土豆千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图所示,

结合图像回答下列问题：

（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？

（3）降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是26元，问他一共

带了多少千克的土豆？

第31题

8.（8分）我们知道，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。类似地，由

不在同一直线上的四条、五条、六条……n条线段首尾顺次相接所组成的图形分别叫做四边形、五边形、

六边形……n边形。

我们还知道，三角形的内角和为180,那么四边形、五边形……的内角和是多少呢？

（1）如图1,在四边形内任取一点0,并与各顶点相连，则四边形就被分割成四个三角形了，由此可得，四

边形内角和=4X180,-360,=360

⑵仿照图1,在图2五边形ABCDE内任取一点0,并与各顶点相连，则五边形ABCDE就被分割成一个三

角形了，由此可得，五边形内角和=

（3）根据（1）（2）的结论，你能猜想一下n边形的内角和=,

⑷你能计算出十边形的内角和度数吗？

26.（本小题满分9分）

如图，NA8C=90。，D、E分别在8C、AC上，AD±DE,且AD=DE,点F是AE的中点，F。的延长线与AB

的延长线相交于点M,连接MC.

（1）求证：ZFMC=NFCM;

（2）AD与MC垂直吗？说明你的理由.

27.（本小题满分9分）

如图，4ABC、△ADC.△AMN均为等边三角形，AM>AB,AM与。C交于点E,AN与BC交于点F.

⑴求证:△ABF经♦ACE；

⑵猜测AAEF的形状，并证明你的结论；

⑶请直接指出当F点在BC何处时，AC±EF.

27题图，

22.如图（1）,B地在A地的正东方向，某一时刻，乙车从B地开往A地，1小时后，甲车从A地开往B

地，当甲车到达B地的同时乙车也到达A地.如图（2）,横轴X（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出

发的时刻开始计时），纵轴y（千米）表示两车与A地的距离.

甲车一一乙车

A地B地

第22题图⑴

第22题图（2）

问题：

（1）A、8两地相距多少千米？

（2）/1和，2两段线分别表示两车距A地的距离y（千米）与行驶时间X（小时）之间的关系，请问哪一

段表示甲车，哪一段表示乙车？

（3）请问两车相遇时距A地多少千米？

23.作图

（1）（4分）如图（1）,把大小为4X4的正方形方格分割成两个全等图形（例如图1）,请在下图中，沿

着虚线画出两种不同的分法，把4X4的正方形方格分割成两个全等图形.

图1画法1画法2

第23题图（1）

(2)(3分)如图(2),NAOB内部有两点M和N,请找出一点P,使得PM=PN,且点P到/AOB两边

的距离相等.（简单说明作图方法，保留作图痕迹）

第23题图（2）

（3）（3分）如图（3）,要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能

使A、B到它的距离之和最短，请在图中用点Q标出奶站应建地点.（简单说明作图方法，不用证明）

B

街道---------------------m

第23题图（3）

24.资料：小球沿直线撞击水平格档反弹时（不考虑垂直撞击），撞击路线与水平格档所成的锐角等于

反弹路线与水平格档所成的锐角.以图（1）为例，如果黑球A沿从A到。方向在。点处撞击EF边后将

沿从0到C方向反弹，根据反弹原则可知/AOE=/COF,即N1=N2.

AC

\/

12,

E

第24题图（1）

如图（2）和（3）,EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球A和B,小球沿直线撞击各边反弹时遵

循资料中的反弹原则.（回答以下问题时将黑白两球均看作几何图形中的点，不考虑其半径大小）

探究（1）：黑球A沿直线撞击台边EF哪一点时，可以使黑球A经台边EF反弹一次后撞击到白球B?请

在图（2）中画出黑球A的路线图，标出撞击点，并简单证明所作路线是否符合反弹原则，

探究（2）：黑球A沿直线撞击台边GH哪一点时，可以使黑球A先撞击台边GH反弹一次后，再撞击台

边EF反弹一次撞击到白球B?请在图（3）中画出黑球A的路线图，标出黑球撞击GH边的撞击点，简单说

明作法，不用证明.

H

第24题图（2）第24题图（3）

26、（10分）如图14,已知△ABC中，A8=AC=10厘米，8c=8厘米，点。为AB的中点.点P在线段8c上

以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时:点Q在线段CA上由C点向A点运动.

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与ACOP是否全等，请说明理由;

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少

时，能够使△8P。与△CQP全等？

图14

22.(10分)位同学安了两块45。的三角尺△A/NK、△)(方做了•个探究活动：将AMNK的代用顶

点M放在△/CB的斜边的中点处，设4C=HC=Q.

①②③

(1)如图①，两个三角尺的重登部分为△/1.%/.则原野部分的面枳为»

(2)将图①中的ZXAWK绕顶点”逆时计旋转45。，得到图②,此时重叠部分的面枳为：

(3)如果将Z\A〃^绕顶点〃旋转到不同广图①、图②的位置，如图③,猜想此时重启部分的面

枳为多少？并试若加以验证.

22.(10分)・位同学拿了两块45。的三角尺△MNK、△4C7?做了个探究活动：将AMNK的依用顶

点用放在△/CB的斜边48的中点处，设4c=8C=a.

(1)如图①，两个三角尺的鬣合部分为△4CA/.则重合部分的面枳为»

(2)将图①中的&VWK绕顶点M逆时针旋转45°.得到图②，此时重合部分的面枳为：

<3)如果将△AWK绕顶点M旋转到不旧]]•图①、图②的位置，如图③.猜想此时重用部分的曲

枳为多少？井试若加以验证.

26、为了解某种车的耗油量，我们对这种车做了试验，并把试验的数据记录下来，制成下表:

汽车行驶时间t(h)0123.....

剩余油量Q(L)5050-650-1250-18•........

(1)根据上表的数据，能用t表示Q吗？试一试

(2)汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量四多少？

(3)若汽车油箱中剩余油量为14L,则汽车行使了多少小时？

(4)贮满50L汽油的汽车，最多行驶几小时？

如图1,在直角梯形ABC。中，动点P从B点出发，沿8好C玲。好A匀速运动，设点P运动的路程为X,△

A8P的面积为y,图象如图2所示.

⑴在这个变化中，自变量、因变量分别是、;

⑵当点P运动的路程x=4时，AABP的面积为y=；

⑶求AB的长和梯形ABCD的面积.

21.如图是一辆摩托车从家里出发，离家的距离（千米）随行驶时间（分）的变化而变化的情况:

（1）摩托车从出发到最后停止共经过了多少时间？离家最远的距离是多少？

（2）摩托车在哪一段时间内速度最快？最快速度是多少？

22.小明和小芳用编有数字1〜10的10张纸片（除数字外大小颜色都相同）做游戏，小明从中任意抽取

一张（不放回），小芳从剩余的纸片中任意抽取一张，谁抽到的数字大，谁就获胜（数字从小到大顺序为1,

2,3,4,5,6,7,8,9,10）然后两人把抽到的纸片都放回，重新开始游戏，如果小明已经抽到的纸片

上的数字为3,然后小芳抽纸片，那么小明获胜的概率是多大？小芳获胜的概率是多大？

23.如图，^ABC中，BE_LAD于点E,CF_LAD于点F,且BE=CF,试说明BD=CD.

22、（10分）某文具店出售书包与文具盒，书包每个定价50元，文具盒每个定价10元.该店制定了两种

优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的8.5折（总价的85%）付款.某班学生需购买12个书

包、文具盒如干（不少于12个）。如果设文具盒数x个，付款数为元。根据条件解决下列问题：

⑴分别求出两种优惠方案中y与x之间的关系;

（2）试分析哪一种方案更省钱.

23、（11分）如图，AP〃BC,NPAB的平分线与NCBA的平分线相交于E,CE的延长线交AP于D,

求证：⑴AB=AD+BC;（2）若BE=3,AE=4,求四边形ABCD的面积?

24.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC,P是△ABC

内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ,使NQAP=ZBAC,连接BQ、CP,则BQ=CP.”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，说明了AABC^AACP,从而得BQ=CP之后，将点P

移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出推理.

25、（8）东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该商场为了促销制定了两种优

惠方法，甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款.某校欲为校书法兴趣小组购买

这种毛笔10支，书法练习本x（x>10）本.

（1）写出每种优惠办法实际付款金额y，“（元卜yz（元）与x（本）之间的关系式；

（2）对较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠方法付款更省钱？

22.图为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程S（单位：千米）与时间t（单位：时）的变

量关系的图象。根据图象回答问题：

（1）在这个变化过程中，自变量是—，因变量是0

（2）9时，10时30分，12时所走的路程分别是多少？

（3）他休息了多长时间？

（4）他从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是多

少？

23.如图，已知：ABLBD,ED1.BD,AB^CD,BC=DE,那么AC与CE有什么关系？写出

你的猜想并说明理由。

26.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形，数表，一般形式如图所示，其中每--横行都表示(。+“"(,此

处〃=0,1,2,-3,4,5,6)的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两•条斜边都■是由

数字1组成的，而其余的,数则是等于它“肩”上的两个数之和.

1

11

121

1331

1-4641

15101051

1615201561

+=1

(t/+&),=a+b

(a+fe)'=a2+lab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+by

(a+fe)4=a4+4a3b+6a2Z>2+4ab3+bA

(a+h^=a5+5a%+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(a+b)6=a6+5a5b+15+20a2b3+15a2b4+6ab5+bb

上图的构,成规律你看懂了吗？

请你直接写出《。+与7=.

杨辉三角还有另一个特征

■(1)从第二行到第五行，每一行数字组成的。数(如第,三行为121)都是上一行的数与—'积.

(2)由此你可写出1『=.

(3)由第行可写出1『=

24、如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分NDAB和NCBA,ZAEB=90°设AD=X

BC=y且(x—3)2+|y—4|=0

(1)求AD和BC的长；

(2)你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；

(3)你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由。

27.一农民朋友带了若干千克的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用.按市场售出一些后，又降

价出售.售出土豆千克数x与他手中持有的钱数y(含备用零钱)的关系如图所示，结合图像回答下列

问题：

(1)农民自带的零钱是多少？

(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少？

(3)降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆售完，这时他手中的钱(含备用的钱)是26元，

第31题

24.(12分)如图①，0P是NMON的平分线，请你利用该图画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形.

参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

(1)如图②，在aABC中，NACB是直角，ZB=60°,AD、CE分别是NBAC、/BCA的平分线，AD、CE相

交于点F.求NEFA的度数;

(2)在(1)的条件下，请你判断FE与FD之间的数量关系，并说明道理.

(3)(3)如图③，在AABC中，如果/ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(2)中所得

结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

27.如图，在/ABC中，ZACB=90°,AC=BC,延长AB至点D,使DB=AB,连接CD,以CD为直角边作等腰

三角形CDE,其中NDCE=90°,连接BE.

(1)求证：/ACD空/BCE；

(2)若AB=3cm,贝!]BE=cm.

(3)BE与AD有何位置关系？请说明理由.

27.(本小题满分13分)“五一黄金周”的某一天,小明全家上午8时自驾小汽车从家里出

发，

到距离180千米的某著名旅游景点游玩.该小汽车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关

系可以用图中的曲线表示.根据图象提供的有关信息，解答下列问题:

(1)小明全家在旅游景点游玩了多少小时？s(千米)

⑵返程途中小汽车的速度每小时多少千米？请你求

出来，并回答小明全家到家是什么时间？180

(3)若出发时汽车油箱中存油15升,该汽车的

120

1415t（时）

油箱总容量为35升,汽车每行驶1千米耗油工升.

9

请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个

合理化的建议.（加油所用时间忽略不计）

21、（7分）如图，4七_1_3。于£,AE=BE,D是AE上一点，且DE=CE,连接BD,AC,试判断BD与AC

的数量关系和位置关系，并说明理由。

22、（7分）如图，已知：在ZABC中，Z4CB=90°,CD为高,且CD、CE三等分工ACB

（1）求NB的度数

（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=，AB.

2

23、（10分）如图，已知长方形ABCD,AB=CD=4,BC=AD=6,ZA=N8=ZC=ZD=90",E为CD边的中

点/为长方形A8C。边上的动点，动点P从A点出发，沿着48-C-E运动到E点停止，设点P经过的路程

为x,4APE的面积为y

（1）求当x=2时，x=5时，对应的y的值

（2）写出y与x之间的关系式

（3）当y=9时，求x的值

（4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得AAPE的周长最小，若存在，求出此时NPAO的

度数，若不存在，请说明理由。

.

3.已知乙1加顿,在乙《用的平分收。”上春V3抖一个$板的再角顶点与C

敬台.它的两条d用边分别与。4、相交Fa,0、£•।”分)

(I)如图1.IjCDLOA-iD.CEJLOB^E.求证［CD=CE.'5_

(2)当三角板纯百C庭收到CDhOA不垂直时,在图2这裨情况b«匕迩姑设是台壮

成立？苫-成立.请您于证明：若不成工请纥出你的猜虱，不需证明•，6”

28.以点A为顶点作两个等腰直角三角形(AABC,△ADE),如图1所示放置，使得一直角边重合，连

接BD,CE.

(1)说明BD=CE；(2)延长BD,交CE于点F,求NBFC的度数;

(3)若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由.

27.、小明和爷爷一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，爷爷先跑.当小

明出发时，爷爷已经距起点200米了。他们距起点的距离S(米)与小明出发的时间/(秒)之间的关系

如图所示(不完整)。根据图中给出的信息，解答下列问题：

(1)在上述变化过程中，自变量是,因变量是：

(2)爷爷的速度为米/秒；

(3)当小明第一次追上爷爷时，他跑了秒；

(4)小明中途休息了90秒后以原来的速度L继续前进，结果他与

2

爷爷同时到达终点，则起点与终点间的距离为米。

29、已知，在等腰WA4BC中，NABC=90,A5=C5,0为直线AB上一点，连接CD,过C作CE_L8,

且C£=C£),连接DE,交AC于F。

(1)如图1,当D、B重合时，求证：EF=BF。

(2)如图2,当D在线段AB上，且/。C8=30。时，请探究DF、EF、CF之间的数量关系，并说明理由。

(3)如图3,在(2)的条件下，在FC上任取一点G,连接DG,作射线GP使N£>GP=60,交NDFG

的角平分线于点Q,求证：FD+FG=FQ.

26.(本小题满分9分)

把两个含有45。角的直角三角板如图9放置，点D在BC上，连结BE,AD,AD的延长线交8E于点F.求

证：AFA.BE.

D

29.如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下

午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶

的路程S与该日下午时间t之间的关系.根据图象回答下列问题：

(1)填空：乙是下午点出发的.乙骑摩托车的速度是千米/时；

(2)分别写出甲、乙所行驶的路程S甲、S乙与该日下午时间t之间的关系式；

(3)乙在什么时间追上甲？

28.（本小题满分9分）

已知AB〃CD,分别探讨下列四个图形中/APC和NPAB、/PCD的关系，并说明理由。

27..（1）问题背景:

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E、F分别是BC,CD上的点且

ZEAF=

60。，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE2△ADG,再证明

△AEa△AGF,可得出结论，他的结论应是

（2）探索延伸：如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,CD上的点,

且NEAF=^NBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由;

（3）实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30。的A处，舰艇乙在指

挥中心南偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45

海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观

测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.

（本小题满分9分）已知如图，ZBAC=90°,AB=AC,BDrDE,CEVDE,

求证：（1）DE=BD+CE.

（2）如果是下面这个图形，我们能得到什么结论？并证明。

27.（本小题满分9分）

如图，在A48C中，45=4。=2,/8=40。，点。在线段8C上运动（D不与B、C重合），连

接AD,作乙4。£=40°,£>£交线段AC于E.

（1）当N8D4=115。时，4EDC=0,ZDEC=°；点D从B向C运动时,

NBD4逐渐变（填“大”或“小”）；（本小题3分）

（2）当DC等于多少时，MBD义bDCE，请说明理由；（本小题4分）

（3）在点D的运动过程中，AADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出

N3ZX的度数.若不可以,请说明理由。（本小题2分）

26.（10分）（2015春•陕西校级期末）图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM,△CBN

是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；

如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时

AN与BM相等吗？说明理由；

如图（3）C点为线段AB外一点，4ACM,△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？

说明理由.

28.（8分）如图，Z\ABC中，AB=AC,ZA=90°,D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足AE

=CF.求证：DE=DF.

A

E/\

BDC

(■分10分)tnffi.&<配中,。为4B的中立.仙・5Jt米,5-4C.BCxgJf*

⑴高点〃心Wl配上以3■粒秒的j1度从点&向终点6坛动,眄点Q在蛾段a

上从点C向降点”运动.

|力若点。的速H与点夕的速度相等.经过1秒6.请说明△HPOqACQP；

②若点。的速度叼点p的速度不等.当点。的速度为多少时.能使

(2)若点P以3屋米/妙的速度从点8向点C运动.同时点Q以5厘村抄的速度从点C

向点A运动,它们都依次沿三边运动.则经过多长时脚.点Q第一次在

△丽的鼻条边上迫上点产?

M:(I)①

(«27*)

27.在△ABC中,NC>NB,AE平分NBAC,F为射线AE上一点(不与点E重合)，且FDLBC

于D；

(1)如果点F与点A重合，且NC=50。，NB=30。，如图1,求NEFD的度数；

(2)如果点F在线段AE上(不与点A重合)，如图2,问NEFD与NC-NB有怎样的数

量关系？并说明理由.

(3)如果点F在△ABC外部，如图3,此时NEFD与NC-NB的数量关系是否会发生变化？

请说明理由.

如图，是某汽车行驶路程s(km)与时间t(min)之间的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下

列问题:

(1)汽车在前9分钟的速度是km/min；

(2)汽车在16-30m/n的速度是___km/min；

(3)汽车两次行驶的平均速度是—km/min-.

(4)汽车途中停了m/n；

(5)当t=20时，$=km；

(6)当s=30时，t=____min.

26.(本小题满分9分)

在△ABC中，MP,N。分别垂直平分48,AC.

(1)若8c=10cm,则△PA。的周长为.

(2)若AB=AC,ZBAC=U0"",则N%。的度数为.

(3)在(2)中，若无A8=AC的条件，你运能求出N%。的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理

27.(本小题满分9分)

如图，已知△A8C中，AB=AC=6cm,NB=NC,8c=4cm,点D为A8的中点.

(1)如果点P在线段BC上以lcm/5的速度由点8向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运

动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BP。与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△8PD与△CQP全等？

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点8同时出发，都逆时针沿AABC

三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在^ABC的边上相遇？(在横线上直接写出答案，不

必书写解题过程)

26.(本小题满分9分)

小颖和小亮上山游玩，小颗乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆

车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颗在小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180

米/分，设小亮出发x分后行走的路程为y米。图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系.

(1)小亮行走的总路程是米，他途中休息了分;

(2)分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度；

(3)当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？

27.(本小题满分9分)

(1)阅读下文，寻找规律：

已知xW1时，(1—x)(1+x)=1—x2,

(l-x)(l+x+x2)=l-x3,

(1—x)(l+x+x2+x3)=1—X4....

观察上式，并猜想：

(1—x)(l+x+x2+X3+X4)=.

+x+x2+...+x")=.

(2)通过以上规律，请你进行下面的探素：

®(a—b)(a+b)—.

②(。一功底+附+的=.

@(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)^.

(3)根据你的猜想，计算：1+2+22+...+22015+22016+220"

28.(本小题满分9分)

如图，在AABC中，NA8C为锐角，点。为直线8C上一动点，以A。为直角边且在A。的右侧作等腰直角

三角形ADE,ZD/Wf=90°,AD=AE.

(1)如果A8=AC,ZBAC=90Q.

①当点D在线段BC上时，如图1,线段CE、BD的位置关系为，数量关系为

②当点。在线段8c的延长线上时，如图2,①中的结论是否仍然成立，请说明理由.

(2)如图3,如果A8W4C,/BACW90。，点D在线段BC上运动。探究：当NACB多少度时，CEJ_BC?

请说明理由.

E

A

E

BDC

图1图2

图3

22.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题.

求代数式y2+4y+8的最小值.

解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4V（y+2）2^0,

（y+2）2+424

.,.y2+4y+8的最小值是4.

（1）求代数式m2+m+l的最小值；

（2）求代数式4-x2+2x的最大值.

23.如图①②，点E、F分别是线段AB、线段CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD

的垂线，两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且NAGD=NBGC.

（1）线段AD和线段BC有怎样的数量关系？请说明理由；

（2）当DGJ_GC时，试判断直线AD和直线BC的位置关系，并说明理由.

22、（9分）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会

合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50分

才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分.设小亮出发x分后行走的路程为y米.图中的折

线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系.

（1）小亮行走的总路程是米，他途中休息了分。

（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度.

（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？

23、（11分）问题情景：如题1所示，已知点F是等腰直角^ABC的直角边AC的中点,

AD，BF于E且交BC于D,易证

ZABE=ZDAC,请在此基础上解决以下问题：

(1)小明发现，若设AG是NBAC的平分线并交BF于点G,如图2所示，即可证AG=CD,

请你帮其说明理由；

(2)小颖发现，在(1)的基础上，连接DF,如图3所示，可证NAFB=NCFD,请你帮助

小颖完善证明过程。

24.如图1,等腰直角三角形ABC的顶点B在直线1上，AB=BC,NABC=90。，AD垂直直线1于D,CE

垂直直线1于E.

(1)求证：4ADB之ZiBEC.

(2)如图2,若F是AC的中点，连接BF,请你再连接DF和EF,试判断4DEF的形状，并证明你的结

(五)(本题12分)

25.如图，己aABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘，点D为AB的中点.

(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点

运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，4BPD与4CQP是否全等，请说明：

②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时.，能够使△BPD^^CPQ?

(2)若点Q以②的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边

运动，求多长时间点P与点Q第一次在4ABC的哪条边上相遇？

25.(本小题满分10分)

“龟免赛跑”的故事同学们都非常热悉，图中的线段和折线OA8c表示“龟兔赛跑时路程与时间

的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题.

(1)填空：折线。A8C表示赛跑过程中(填“兔子”或“乌龟”)的路程与时间的关系，赛跑

的全过程是米.

(2)兔子在起初每分钟跑多少米?乌龟每分钟爬多少米？

(3)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？

(4)兔子醒来假，以400米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中

间停下睡觉用了多少分钟.

,s(米)

DC

1500...................•>■­>

50t（阴）

26（本小题满分12分）

（1）同题情境：如图1,AB〃C。，/PA8=130°,NPCD=120°.求/APC的度数.

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2,过P作PE〃A8,/APE+NPAB=180°.

...NAPE=180°-ZPAB=180°-130°=50°.

'：AB//CD.：.PE//CD.

请你帮助小明完成剩余的解答.

(2)问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：

如图3,AD//BC,点P在射线。/W上运动，NMDP=Na,NBCP=N6.

①当点P在A、B两点之间时，ZCPD,Za,N6之间有何数量关系？请说明理由.

②当点P在A、8两点外侧时(点P与点。不重合)，请直接写出NCPD,Na,N6之间的数量关系.

D

备用图

27.(本小题满分12分)

如图1,/XMC为等边三角形，三角板的60°角顶点与点C重合，三角板的一直角边与AB交于点D,

在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使/DCE=30°,连接AF,EF.

(1)求证：△ACF四△BCD；

(2)写出线段DE与EF之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图2,若8c为等腰直角三角形，Z4C8=90°,三角板的90。角顶点与点C重合，三角板

的一直角边与A8交于点。，在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,在线段AB上取点E,使NDCE

=45°,连接AF,EF.请写出三条线段AE,ED,。8之间的数量关系，并说明理由.

(1)求证：BE=CE

(2)如图2,若BE的延长线交AC于点尸，且垂足为F,ZBAC=45\

原题其它条件不变.求证：EF=CF.

23.(8分)如图，在A46C中，AB=AC=2,NB=40°,点。在线段8C上运动(点。不与点8、

C重合)，连接AO,作NAOE=40。，OE交线段AC于点£.

(1)当ZBZM=115°时，NEDC=°,ZAED=°；

(2)线段。C的长度为何值时，MBD^ADCE,请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，A4OE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求Z8/M的

度数；若不可以，请说明理由.

.40°

40°

BDC

29.（8分）已知，如图，△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,/是过A的一条直线，BEJJ于E,CDL于D.

⑴求证：BE=AD；

（2）若BE=5,CD=7,求DE的长.

30.数学课上，李老师先让同学们了解了以下知识:

AAABC中，若AB=AC则NB=NC若AABC为等边三角形，

反之，若NB=NC,则AB=AC贝J|NA=NB=NC=6O°AB=BC=AC

反之，若ZA=ZB=ZC=60°

则△为等边三角形

BCCABC

已知：等边aABC,E为线段AB上一点，D为线段CB延长线上一点，ED=EC,确定AE与BD

大小关系.

然后出示了如下题目.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如F解答：

（1）特殊情况，探索结论，当点E为AB的中点时，如图1,确定线

段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AFDB.

（填">",或"="）

（2）特例启发，解答题目，当E为线段AB上任意一点，其余条件

不变，如图2,确定线段AE与DB的大小关系.

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB

（填">",或并说明理由。

⑶拓展结论，设计新题（图2）

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,

请直接写出CD的长。

26•（14分）乘法公式的探究及应用.

-b-

a-\

图1图2

(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是(写成两数平方差的形式)；

(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积

是(写成多项式乘法的形式)；

(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到