《计算机组织与系统结构》-第3章计算机中的数值运算与运算器

第3章计算机中的数值运算与运算器

本章学习目标

本章将介绍数据与文字在计算机中的表示方法，详细讲解数值数据

的原码、补码和反码表示法以及它们之间的相互转换，定点表示法、

浮点表示法、定点运算法、浮点运算方法和运算器的组成。通过本章

的学习，应该重点掌握和理解以下内容：

■了解数据、文字在计算机中的表示方法

-掌握原码、补码和反码的表示方法，以及它们之间的相互转换

■掌握定点表示法和浮点表示法

-掌握定点四则运算和浮点四则运算

第三章12011-12-31

3.1数值数据的表示

3.1.1无符号数和带符号数

在计算机中，数据可分为无符号数和带符号数。所谓无符号数，是

指正整数，机器字长的全部数位均用来表示数值的大小，相当于数的绝

对值。例如有两个二进制数N1和N2。

Nl=01011表示十进制数11

N2=11011表示十进制数27

对于字长为n位的无符号数的表示范围是0〜2n-l。

一般计算机中都设有无符号数的运算和处理指令，还有一些转移指

令也是专门针对无符号数的。

然而，我们在日常生活中会大量用到带符号的数，即正数和负数，

我们用“+”、“一”号加绝对值来表示数值的大小。用这种形式表示的

数值在计算机技术中称为“真值”。

第三章22011-12-31

但是，机器是无法识别符号“+”、“一”的，由于“+”、“一”恰

好是两种截然不同的状态，如果用“0”表示“+”，用“I”表示“一”，

这样符号就被数字化了，并且规定将它放在有符号数的前面，这样就组

成了有符号数。这种在计算机中使用的、包括符号位在内都被数字化了

的数称为“机器数”或“机器码”。机器数有三种不同的表示形式：原

码、补码和反码。

对于带符号数而言，上面例子中的两个机器数Nl、N2的含义发生了

变化。

Nl=01011表示十进制数+n

N2=11011根据编码的不同分别表示不同的值，如原码时表示十进

制数一11

第三章32011-12-31

3.1.2原码表示法

原码表示法是一种最简单的机器数表示法，用最高位表示符号位，

符号位为“o”表示该数为正数，符号位为“1”表示该数为负数，数值跟

随其后，并以绝对值形式给出，这是与真值最接近的一种表示形式。

1.定点小数的原码形式

设定点小数为±0了其…Xn，它的原码形式为Xs%X2…Xn，其中Xs表

示符号位。原码的定义为：

X0<X<1

［x］原

1-X=1+IXI-1<X<0

式中：X表不真值，［X］原表示原码。

例如：X=0.0101,［X］原=X=0.0101

X=-0.0101,［X］原=1-X=1-(-0.0101)=1+0.0101=1.0101

第三章42011-12-31

2.定点整数的原码形式

设定点整数为±%X2…X。，它的原码形式为Xs，XJ2…X。，其中Xs

表示符号位。原码的定义为：

X0<X<2n

2n-X=2n+|X|-2n<X<0

式中：X表示真值，[X]原表示原码，n为整数的位数。

例如：X=0101,[X]原=X=00101

n4

x=—0101,[X]hi,=2-X=2-(-0101)=10000+0101=10101

在原码表示法中，真值0有两种不同的表示形式：

[+0]原=0,00...0

[―0]原=1,00...0

第三章52011-12-31

原码表示法的优点是简单易懂，机器数和真值之间的相互转换非常

容易，用原码实现乘、除运算的规则很简单。但它的缺点是实现加、减

运算的规则较复杂，这是因为，当两个数相加时，如果是同号则数值相

加，如果是异号，则两数相减。而在进行减法运算时，还要比较绝对值

的大小，然后用大数减小数，最后还要给结果选择恰当的符号，为了解

决这些矛盾，人们引入了补码表示法。

3.1.3补码表示法

补码表示法的设想是：使符号位参加运算，从而简化了加、减法的

运算规则；使减法运算转化为加法运算，从而简化了机器的运算器电路。

我们先以钟表对时为例说明补码的概念。假设有一只表的时间停在8点

钟，而现在的正确时间为3点整，要校准时间，可以采用两种方法：

(1)将时针顺时针方向正拨7小时:8+7=15=12+3=3(mod12)

(2)将时针逆时针方向倒拨5小时：8-5=3o

第三章62011-12-31

因为钟表的一周为12个小时，12相当于钟表的进位值，在数学中

称为“模”，记作(mod12)o上例中7和一5对钟表而言，它们的作用

相同，即加7和减5是等价的，我们称7是一5对模12的补码。可以用数学

公式表示为：-5=+7(mod12)

从这个例子可以得到一个启示，对于一个确定的模来说，某数减去

小于模的另一个数，总可以用加上模与该数的绝对值之差来代替，即负

数用补码表示，这样可以将减法运算转化为加法运算了。这样，在计算

机中实现起来就比较方便了。

例如：9-6=9+(-6)=9+(12-6)=9+6=3(mod12)

65-25=65+(-25)=65+(100-25)=65+75=40(mod100)

在定点小数机器中的数最大不超过1,也就是负的小数对“产的补

码是等价的。但实际上，负数的符号位还有一个“1”，要把它看成的数

的一部分，所以要对2求补码，即以2为模。

第三章72011-12-31

1.定点小数的补码形式

若定点小数为±0.X］X2…Xn，它的原码形式为Xs.xp(2…Xn，其中表

示符号位，则补码表示的定义为：

X0<X<1

(mod2)

2+X=2—|X|-1<X<0

式中［X］补为机器数，X为真值。

例如，X=+0.0101,则［X］补=0.0101

x=-o.0101,则［X］补=10+X=10.0000-0.0101=1.1011

一般情况下，对于正数X=+0.X］X2…Xn，则有

补=

［X］0X^2，..xn

对于负数X=—0.X/2…Xn，则有

［X］补=10.00・・・0—O.XiX2・・・Xn(mod2)

注意，0的补码表示只有一种形式，即［+0］补二［一0］补=0.0000。

第三章82011-12-31

2.定点整数的补码形式

若定点整数为±XR2…Xn，它的补码形式为Xs，乂止2…Xn，其中Xs表

示符号位，则补码表示的定义为：

X0<X<2n

(mod2/z+1)

2n+1+X=2n+1-|^|-2n<X<0

式中：X表示真值，n为整数的位数。

例如，X=+0101,则［X］补=00101

X=-0101,则［X］补=2n+1+X=25+(—0101)=25-0101=100000-

0101=1,1011

采用补码表示法进行减法运算就比原码方便多了，因为不论是正数

还是负数，机器总是做加法，减法运算可转换成加法运算。但根据补码

的定义，求负数的补码要从2减去|X|。为了用加法代替减法，结果还要

在求补码时做一次减法，这显然是不方便的。下面介绍的反码表示法可

以解决负数的求补问题。

第三章92011-12-31

3.1.4反码表示法

所谓反码，就是二进制数的各位数码由o变为1,由1变为0。也就是

说，若Xj=l,则反码七二0；若X/0,则反码Xj=l。数值上面的横线表示反

码的意思。反码表示法与补码表示法有相似之处，正数的反码就等于真

值，负数的反码是把其原码除符号位以外的各位按位取反。

在计算机中用触发器寄存数码，若触发器Q端输出表示原码，则其端

输出就是反码。由此可见，反码是容易得到的。

1.定点小数的反码形式

对定点小数，反码表示的定义为：

0<x<1

-2-n)+X-1<X<0

其中n代表数的位数。

第三章102011-12-31

下面我们来证明第二个式子。SX=-0X1X2...Xn,则有［X］反O现在

将X的绝对值|X|和［X］反相加,则得

［X］反+|X|=1.11...1=10.00...0-0.00...1=2-2-n

所以

［X］反二（2-2-n）-|x|=（2-2一n）+X

一般情况下，对于正X=+0.X/2…Xn,则有

［X］反二0印2…Xn

对于负数X=-0力也…Xn,则有

1.X1X2…Xn

对于0,有［+0］反和［—0］反之分：

［+0］反=0.00...0

［―0］反=1.11...1

第三章112011-12-31

例如，X=+0.0101,则如］反=0.0101

X=-0.0101,则［X］反=(2-2-4)+X=1.1111+(一

0.0101)=1.1111-0.0101=1.1010

我们比较反码与补码的公式

［X］反=(2-2-n)+X

［X］补=2+X

可以得到

凶补=［X］反+2-n

由这个公式可知，求一个负数的补码，其方法是符号位为1,其余各位0

变1，1变0，然后在最末位(2-n)上加1。

第三章122011-12-31

2.定点整数的反码形式

对定点整数，反码表示的定义是

0<X<2n

-1)+X-2n<X<0

例如，X=+0101,则［X］反=00101

X=-0101,贝MX］反二(2n+1-l)+X=(25-1)+(-0101)

=(100000-1)-0101

=11111-0101

=11010

第三章132011-12-31

3.1.5三种码制的比较与转换

1.比较

三种码制既有共同点，又有各自不同的性质，主要区别有以下几点：

（1）对于正数，它们都等于真值本身，而对于负数各自有不同的表示。

（2）最高位都表示符号位，补码和反码的符号位可作为数值的一部分看

待，和数值位一起参加运算；但原码的符号位不允许和数值位同等看待，

必须分开处理。

（3）对于真值0,原码和反码各有两种不同的表示形式，而补码只有唯

一的一种表示形式。

（4）原码、反码表示的正、负数范围相对零来说是对称的；但补码负数

表示范围较正数表示范围大，能多表示一个绝对值最大的数，其值等于一

2-n（定点整数）或一1（定点小数）。

第三章142011-12-31

表3-1给出了以4位二进制数为例，表示三种不同码制时的十进制真值。

表3-1三种不同码制时的十进制真值

二进制数原码补码反码

0000000

0001111

0010222

0011333

0100444

0101555

0110666

0111777

1000~0-8-7

1001一］一7

1010一6^5

1011-3~4

1100-4-3

1101______-3-2

1110-6-2--1

1111-7-1-0

第三章152011-12-31

2.转换

三种不同码制以及真值之间的转换关系如图3-1所示。

从图3-1可看出，真值X与补码或反码之间的转换通常是通过原码实

现的，也可以直接完成真值与补码或反码之间的转化。

若已知机器的字长，则机器数的位数应补够相应的位数，例如机器

字长为8位则：

X=1011[X]原=00001011[X]补=00001011[X]反=00001011

X=-1011[X]B=10001011[x]补二iinoioi[X]^=11110100

X=0.1011[X].原g=0.1011000[X],k=0.1011000[X]^=0.1011000

x=-o.1011[X]原=1.10110000101000[X]反二1.0100111

第三章162011-12-31

[X]补

符号位不变

当Xs=o时数值位不变

当Xs=l日寸数值位变反+1

符号+/-变成0/1

[X]真值

数值位不变

符号位不变

当Xs=0口寸数值位不变

当Xs=l时数值位变反

[X]反

图3-1三种不同码制以及真值之间的转换关系

第三章172011-12-31

3.2数的定点表示与浮点表示

在计算机中，小数点不用专门的器件表示，而是按约定的方式标出。

根据小数点的位置是否固定，在计算机中有两种数据格式：定点表示和

'4学点表示o

3.2.1定点表示法

定点数是指小数点固定在某个位置上的数值。通常有小数和整数两

种表示形式。

1.定点小数

小数点的位置固定在最高有效数位之前、符号位之后时，机器内的

数称为纯小数。记作Xs.X】X2…X。，其中表示符号位，这个数是一个纯

小数，如图3-2所示。定点小数的小数点位置是隐含约定的，小数点并不

需要真正占据一个二进制位。

第三章182011-12-31

当Xs=O、X.l、Xz=l、…、x『l时，X为最大正数，即X最大正数=(l-2n)

当X§=0、X]=0、…、Xn_j=0>X01时,X为最小正数，即X最小正数=2华

当Xs=l时，表示X为负数，此时情况比较复杂，因为在计算机中带符号

的数可以用补码表示，也可以用原码表示。如前所述，原码与补码所表示

的绝对值最大的负数是不同的，所以原码和补码的表示范围有一些差别。

设机器字长有n位，贝I」：

原码定点小数表示位的范围为：一(1—2-n)〜(1—2-n)。

补码定点小数表示位的范围为：一1〜(1—2-n)o

图3-2定点小数格式

第三章192011-12-31

2.定点整数

小数点的位置隐含固定在最低有效数位之后时，机器内的数称为纯

整数。记作XsX]X2…Xn，这是一个纯整数，如图3-3所示。

图3-3定点整数格式

n

原码定点整数表示位的范围为：一(2n—1)〜(2—1)O

11n

补码定点整数表示位的范围为：-2〜(2—1)o

X最小正数二1

第三章202011-12-31

在定点表示法中，参加运算的数以及运算的结果都必须保证在该

定点数所能表示的数值范围内。如遇到绝对值小于最小正数的数，被

当作机器0处理，称为“下溢”；而大于最大正数和小于绝对值最大的

负数的数，统称为“溢出”。这时计算机将暂时中断运算操作，去进

行溢出处理。

只能处理定点数的计算机称为定点计算机。由于小数点的位置固

定不变，因此当机器处理的数不是纯小数或纯整数时，必须设定一个

比例因子，把原始的数缩小成定点小数或扩大成定点整数后再进行处

理，所得到的运算结果还必须根据比例因子还原成实际的数值。选择

合适的比例因子非常重要，必须保证参加运算的初始数据、中间结果

和最后结果都在定点数的表示范围之内，否则将会产生“溢出”。

第三章212011-12-31

322浮点表示法

i.浮点数的表示形式

使用定点表示法能表示以o为中心的一定范围的正、负的整数或小数。

实际上计算机中处理的数不一定是纯小数或纯整数，而且有些数据的数

值范围相差很大，它们都不能直接用定点数表示，但均可用浮点数表示。

浮点数即小数点的位置可以浮动的数，如

325.78=3.2578X102=3257.8XIO-1=0.32578X103

显然，这里小数点的位置是变化的，但因为分别乘上了不同的10的

方幕，因此值不变。通常浮点数可表示成

N=MXrE

式中M为尾数（可正可负），E为阶码（可正可负），r是基数（或基

值）。在大多数计算机中，尾数为纯小数，常用原码或补码表示；阶码

为定点整数，常用补码表示；基数可取2、4、6、8、16等，通常厂2。

第三章222011-12-31

浮点数在机器中的形式如图3-4所示。采用这种数据格式的机器称

为浮点机。浮点数的基数是隐含的，在整个机器数中不出现。阶码的符

号位为es，阶码的大小反映了在数N中小数点的实际位置；尾数的符号位

为叫，它也是整个浮点数的符号位，表示了该浮点数的正、负。

可见，浮点数有阶码和尾数两部分组成。浮点数的表示范围主要由

阶码决定，有效数字的精度主要由尾数就决定。

1位<k位>1位<n位

m

0

阶码E尾数M

图3・4浮点数的一般格式

第三章232011-12-31

2.浮点数的表示范围

设某浮点数的格式如图3-4所示，k和n分别表示阶码和尾数的位数

（不包括符号位），尾数和阶码均用补码表示。

当es=O,ms=0,阶码和尾数的数值位各位都为1（即阶码和尾数都为

最大正数）时，该浮点数为最大正数：

X最大正数=（1-2»2

当e§=l,ms=0,尾数的最低位irin=l,其余各位为0（即阶码为绝对

值最大的负数，尾数为最小正数）时，该浮点数为最小正数：

ck

X最小正数=2、2-2

当es=0,阶码的数值位全为1;ms=l,尾数的数值位全为0（即阶码

为绝对值最大的正数，尾数为绝对值最大的负数）时，该浮点数为绝对

值最大负数：

V—_]*?2T

八绝对值最大的负数一n

第三章242011-12-31

3.浮点数的规格化

为了提高浮点数的精度，必须充分利用尾数的有效位数，通常采取

浮点数规格化形式，即规定尾数的最高位数必须是一个有效数值。如果

不是规格化数，就要通过修改阶码并同时左右移尾数的方法，使其变成

规格化数。将非规格化数转换成规格化数的过程叫做规格化。对于基数

不同的浮点数，因其规格化数的形式不同规格化过程也不同。

一个浮点数的表示形式不是唯一的。例如二进制数0.0001011可表

示为0.001011X2T、0.01011X2-2>0.1011X2—3…，而其中只有

0.10HX2-3是规格化数。

在尾数用原码表示时，规格化浮点数的尾数的最高数位总等于1。

第三章252011-12-31

3.2.3浮点数阶码的移码表示法

浮点数的阶码是带符号的定点整数，因此它可以用前面介绍的任何

一种机器数的表示方法来表示。但在大多数计算机中，多采用补码表示

法或另外一种编码方法——移码表示法。

设定点整数的移码形式为X0X］X2…Xn，字长为n+1位，则移码的定义为

［X］移=2n+X-2n<X<2n

式中：［X］移表示移码，X为真值。

根据定义可知，移码就是真值X加一个常数2%相当于X在数轴上向

正方向平移了2n个单位，由此而得“移码”之称。移码也可称为增码或

偏码，常数2n称为偏置量或偏置值。

将移码的定义和补码的定义相比较，可以找出移码和补码之间的关系：

X0<X<2n

因为

2n+,+X=2n+,-IXI-2"<X<0

第三章262011-12-31

表3-2给出了移码、补码和真值之间的关系。

表3・2移码、补码和真值之间的关系

真值X（十进制）真值X（二进制）[X]补[X]移

-128-100000001000000000000000

-127-11111111000000100000001

••••••••••••

-1-00000011111111101111111

000000000000000010000000

100000010000000110000001

••••••••••••

12711111110111111111111111

第三章272011-12-31

从表3-2中，可看出移码具有以下特点：

(1)在移码中，最高位为“0”表示负数，最高位为“1”表示正数，这

与原码、补码、反码的符号位取值相反；

(2)移码全为0时，它所对应的真值最小；全为1时所对应的真值最大。

因此移码的大小直观地反映了真值得大小，有助于两个浮点数进行阶码

的大小比较；

(3)真值0在移码中的表示形式也是唯一的，即［+0］补二［-0］补

=100...0；

(4)移码把真值映射到一个正数域，所以可将移码视为无符号数，直

接按无符号数规则比较大小；

(5)同一数值的移码和补码除最高位相反外，其他各位相同。

(6)移码的偏置量并不唯一，根据所要表示的移码值范围来选择不同

的偏置量，需要注意的是IEEE754的标准中8位二进制的偏移量的取值为

127。

第三章282011-12-31

3.2.4实用浮点数举例

在现代计算机中，浮点数一般采用国际标准IEEE754,这种标准的

形式如图3-5所不。

ms阶码（含阶符）尾数

数符小数点位置

图3-5IEEE754标准的浮点数形式

第三章292011-12-31

按照IEEE754标准，常用的浮点数有三种，它们具体的格式见表3-3。

表3・3IEEE754标准中的三种浮点数

类型数符阶码尾数总位数偏置值

r^3

短浮点数18327FH

长浮点数11152643FFH

临时浮点数11564r^o3FFFH

下面以32位的短浮点数为例，讨论浮点代码与真值之间的关系。最高

位为数符位；其后是8位阶码，以2为底，阶码的偏置值为127；其余23位

是尾数。为了使尾数部分能表示多一位的有效值，IEEE754标准采用隐含

尾数最高数位1的方法（即这一位1不表示出来），因此尾数实际上是24位。

需要注意的是，隐含的1是一位整数（即位权为2。）。在浮点格式中表示

出来的23位尾数是纯小数，并用原码表示。

第三章302011-12-31

例3-3：将(56.25)I。转换成短浮点数。

解：(1)把十进制数转换成二进制数

(56.25)10二(111000.01)2

(2)规格化二进制数

111000.01=1.1100001X25

(3)算出移码(阶码真值+偏置值)

101+01111111-10000100

(4)短浮点数格式存储该数

因为

符号位二0

阶码二10000100

尾数二11000010000000000000000

所以短浮点数代码为：0;10000100;11000010000000000000000

表示为十六进制的代码为：42610000Ho

第三章312011-12-31

例3-4：把短浮点数C1C90000H转换成十进制数。

(1)把十六进制数转换成二进制数，并分离出符号位、阶码和尾数

因为C1C90000H二11000001110010010000000000000000

所以，符号位二1

阶码二10000011

尾数二10010010000000000000000

(2)计算出阶码真值(移码一偏置值)

10000011-01111111=100

(3)以规格化二进制数形式写出此数

1.1001001X24

(4)写成非规格化二进制数形式

11001.001

(5)转换成十进制数，并加上符号位

(11001.001)2二(25.125)10

所以，该浮点数为-25.125

第三章322011-12-31

3.3数值运算

3.3.1定点四则运算

定点四则运算包括加、减、乘、除运算。

1.补码加法运算

上一节我们介绍了数的补码表示法，负数用补码表示后，就可以和

正数一样来处理。这样，运算器里只需要一个加法器就可以了，不必为

了负数的加法运算，再配一个加法器。

补码加法的公式是：

[X]补+[Y]补=[X+Y]补(mod2)

上述公式表明，在模2意义下，任意两个数的补码之和等于该两个

数之和的补码。这是补码加法的理论基础，其结论也适用定点整数。

补码加法有以下特点：一是符号位要作为数的一部分一起参加运算;

二是要在模2的意义下相加，即超过2的进位要舍去。

第三章332011-12-31

2.补码减法运算

负数的加法要利用补码化为加法来做，减法运算当然也要设法化为

加法来做。之所以使用这种方法而不直接使用减法，是因为它可以和常

规的加法运算使用同一个加法器电路，从而简化了计算机的设计。

补码减法运算的公式为：

［X—Y］补=［X］补一［Y］补=［X］补+［—Y］补(mod2)

因此，若机器数采用补码，当求X—Y时，只需先求LY］补(称［—

Y］补为“变补”后的减数)，就可以按照补码加法规则进行运算。而［—

Y］补由［Y］补连同符号位在内，每位取反，末位加1而得。

第三章342011-12-31

3.溢出判断

在定点小数机器中，数的表示范围为|X|VI。在运算过程中如出现

大于1的现象，称为“溢出”。在定点中，正常情况下溢出是不允许的。

两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，成为正溢。而

两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，成为负溢。如图3-

6所示，对定点正数而言，也同样存在正溢、负溢问题。

负溢＜一可表示的数一》正溢

-10+1

图3-6定点小数的溢出

第三章352011-12-31

为了保证计算的正确性，我们必须要对溢出进行检测。判断“溢出”

是否发生，可采用两种检测方法。第一种方法是采用双符号位法，这称

为“变形补码”或“模4补码”，从而使模2补码所能表示的数的范围扩

大了一倍。采用变形补码后，任何小于1的正数，两位符号位都是“0”；

任何大于一的1负数，两个符号位都是“1”，两个数相加后，其结果的

符号出现“01”或“10”两个组合时，表示发生溢出。这是因为两个绝对

值小于1的数相加，其结果不会大于或等于2,而最高符号位永远表示结

果的正确符号。

第三章362011-12-31

我们可以得出如下结论：

(1)当以模4补码运算，运算结果的两个符号位相异时，表示溢出；

相同时，表示未溢出。所以溢出逻辑表达式为V二SfRf2，其中$门和S’2分

别表示为最高符号位和第二符号位。此逻辑表达式可用异或门实现。

(2)模4补码相加的结果，不论是否溢出，最高符号位始终表示正确

的符号。

(3)第二种溢出检测的方法是采用单符号位法。从例9和例10中可看

出，当最高有效位产生进位而符号位无进位时，产生正溢；当最高有效

位无进位而符号位有进位时，产生负溢。所以溢出逻辑表示式为V=CfC0,

其中Cf表示符号位产生的进位，C。表示最高有效位产生的进位。此逻辑

表达式也可用异或门实现。

在定点机中，当运算结果发生溢出时，机器通过逻辑电路自动检测

出这种益处，并进行中断处理。

第三章372011-12-31

4.乘法运算

与加法和减法相比，无论是用硬件还是用软件来完成。乘法都是一

个复杂的操作。各种各样的算法已用于各类计算机中。我们先介绍两个

无符号整数相乘的过程，然后再介绍实现两个补码表示数的乘法的最普

遍的技术。

(1)无符号整数乘法

由图3・7所示的手工乘法过程，可得到如下几点重要结论：

1011被乘数11

X1101乘数13

1011

0000

1011

1011

10001111

图3-7无符号二进制乘法

第三章382011-12-31

1）乘法涉及到部分积的生成，乘数的每一位对应一个部分积。然后,

部分积相加得到最后的乘积。

2）部分积是容易确定的。当乘数的位是0时，其部分积也是0；当乘

数的位是1时，其部分积是被乘数。

3）部分积通过求和而得到最后乘积。为此，后面的部分积总要比它

前面的部分积左移一个位置。

4）两个n位二进制整数的乘法导致其积的长度为2n位。

与手工演算相比，计算机能做几件事使操作更有效。首先，可以边产

生部分积边做加法，而不是等到最后再相加。这就取消了存储所有部分

积的需求；只需要少数几个寄存器。其次，我们能节省某些部分积的生

成时间，对于乘数的每个1,需要加和移位两个操作；但对于每个0,则

只需移位操作。

第三章392011-12-31

图3-8表示了一种采用此方式的实现方案。

乘数和被乘数分别装入两个寄存器（Q和M）。还需要第三个寄存

器A,初始设置为0。还需要一个1位寄存器C,初始值为0,用于保存加

法可能产生的进位。

被乘数

乘数

图3-8无符号二进制乘法实现硬件

第三章402011-12-31

乘法器的操作如下。控

制逻辑每次读乘数的一位。

若Qo是1,则被乘数与A寄存

器相加并将结果存于A寄存

器。然后，C、A和Q各寄存

器的所有位向右移一位，于

是C位进入A。/,进入Qz，

而Qo丢失。若Qo是0,则只

需进位，无需完成加法。对

原始的乘数每一位重复上述

过程。产生的2n位积存于A

和Q寄存器。这种操作的流积在A,Q中

程图如图3-9所示。

图3-9无符号二进制乘法流程图

第三章412011-12-31

(2)补码乘法

在计算机中带符号数一般都用补码表示，补码的加减法非常简单，

在以加减运算为主的通用机中，操作数都用补码表示，所以这类计算机

在做乘法时也使用补码。

最常用的补码乘法算法是Booth算法，又称比较法。

设被乘数［X］补=Xs.XRz…X/乘数［Y］补=Ys.YM…Yn。在乘数的最低位

置后增加一位附加位Ya，它初值为3增加附加位不会影响运算结果。

每次运算取决于乘数相邻两位Yj+1的值，把它们称为乘法的判断

位。这种运算是根据乘数相邻两位的比较结果(Yi+1—Yj)来确定运算操

作，因此称为比较法。

第三章422011-12-31

Booth算法规则如下：

1）参加运算的数用补码表示；

2）符号位参加运算；

3）由于每求一次部分积要右移一位，所以乘数的最低两位Yn、Yn+1的

值决定了每次执行的操作，如表3-4所示；

4）移位按补码右移规则进行，右移前：XX］X2…X,右移后：XX

X］・・・Xn_2Xn_p

5）共需要进行n+1次累加，n次移位。

表3-4Booth乘法运算操作

判断位丫口、Y/］I

0~0原部分积右移一位

。1原部分积加［X］补后右移一位

10原部分积加［—x］补后右移一位

11原部分积右移一位

第三章432011-12-31

图3-10给出了Booth算法的框图。被乘数和乘数分别放入B和C寄存

器内。乘法的结果将出现在A和C寄存器中。A和附加位CM初始化为0。

运算过程中，控制逻辑每次扫描C寄存器中的最低两位CnG+i。若两位

相同（11或00）,则A、C寄存器的所有位向右移一位。若两位不同，当

时，则A寄存器的内容加B寄存器的内容（即被乘数）；当

CnCn+i=l。时，A寄存器的内容减去B寄存器的内容被乘数（即加上B寄

存器中内容的反），加减之后再右移。无论哪种情况，右移是这样进行

的：A的最左位，即A一位，不仅要移入A。？，而且还要保留在A-中。

这要求保留A和C中的符号。这种移位方式称为算术移位（Arithmetic

Shift）,因为它保留了符号位。

第三章442011-12-31

图3-10补码乘法的Booth算法

第三章452011-12-31

5.除法运算

除法要比乘法更复杂，但也是基于同样的通用原则。如上所述，算法

的基础是纸和笔的演算方法，而且操作涉及到重复的移位和加减法。

00001101商

除数1011)10010011被除数

1011

部分余001110

1011

001111

________1011

100余数

图3-11无符号二进制整数除法

第三章462011-12-31

图3-11表示的是一个无符号二进制整数长除的例子。首先，从左到右

检查被除数的位，直到被检查的位所表示的数大于或等于除数；这被称

为除数能去“除”此数。直到这个事件出现之前，一串0从左到右放入

商中，。当事件出现时，一个1放入商并且由此部分被除数中减去除数。

结果被称为部分余(PartialRemainder),由此开始除法呈现一种循

环样式。在每一循环中，被除数的其他位续加到部分余上，直到结果大

于或等于除数。同前，由这个数减去除数并产生新的部分余。此过程继

续下去，直到被除数的所有位都被用完。

事实上，机器的运算过程和人毕竟不同，人会心算，一看就知道够不

够减。但机器却不会心算，必须先做减法，若余数为正，才知道够减；

若余数为负，才知道不够减。不够减时必须恢复原来的余数，以便再继

续往下运算，这种方法称为恢复余数法。

第三章472011-12-31

要恢复原来的余数，只要当前的余数加上除数即可。但由于要恢复余

数，使除法进行过程的步数不固定，因此控制比较复杂。实际中常用不

恢复余数法，又称加减交替法。其特点是运算过程中如出现不够减，则

不必恢复余数，根据余数符号，可以继续往下运算，因此步数固定，控

制简单。

加减交替法的规则是：当余数为正时，商“1”，余数左移一位，减除

数；当余数为负时，商“0”，余数左移一位，加除数。

第三章482011-12-31

3.3.2浮点四则运算

1.浮点加法、减法运算

设有两个浮点数X和Y,它们分别为

X=2LxX

Y=。Yx2EY

其中Ex和Ey分别为数X和Y的阶码，Mx和％为X和Y的尾数。

两个浮点数进行加法和减法的运算规则是：

EX-EYEY

Z=X±Y=(MxX2±MY)X2EX<EY

由于浮点数尾数的小数点均固定在第一数值位前，所以尾数的加减运算

规则与定点数完全相同。但由于其阶码的大小有直接反映尾数有效值的

小数点位置，因此当浮点数阶码不等时，因两尾数小数点的实际位置不

一样，尾数部分无法直接进行加减运算，因此必须先进行“对阶”，

使两数的小数点位置对齐。

第三章492011-12-31

完成浮点数加减法运算的操作过程大体分为四个基本步骤:

(1)0操作数检查；

(2)比较阶码并完成对阶；

(3)尾数进行加或减运算；

⑷规格化结果并进行舍入处理。

图3・12所示为浮点数加减运算的操作流程图。

第三章502011-12-31

图3-12浮点加减运算的操作流程

第三章512011-12-31

第一步为0操作数检查，如果判知两个操作数X或Y中有一个数为0,那

么另一个数即为运算结果，而没有必要再进行后续的一系列操作，以节

省运算时间。

第二步是使两个操作数的指数相同。两个浮点数进行加减，首先要

看两个数的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。若两个数阶码相同,

表示小数点是对齐的，就可以进行尾数的加减运算。反之，若两个数阶

码不同，表示小数点位置没有对齐，此时必须使两个数阶码相同，这个

过程叫做对阶。

第三步是尾数求和运算，包括它们的符号。不论是加法还是减法，都

按加法进行操作，其方法与定点加减运算完全相同。

最后一步是规格化结果。若尾数部分得到的结果不是规格化数，必须把

它变成规格化数。对于双符号来说，规格化数的形式是001义…X或

110X...Xo

第三章522011-12-31

规格化处理的规则如下：

1）结果尾数的两个符号位值不同（01或10）,这就表明尾数运算结果

溢出，应进行右规格化处理，即将结果尾数向右移一位，并将阶码值加

lo

2）若结果尾数运算不溢出，但最高数位值与符号位的值相同，这就表

明不符合规格化规则，应进行左规格化处理，这时应将结果尾数重复左

移，每移一位阶码减1,知道出现最高数值位与符号位的值不同为止。

在对阶或向右规格化时，尾数要向右移位。这样被移位的尾数的低位

部分就会被丢掉，从而造成一定的误差，因此要进行舍入处理。简单的

舍入如处理方法有两种：一种是“0舍1入”法，即如果右移时被丢掉的

数位的最高位为0则舍去，为1则将尾数的末位加1。另一种方法是“恒

置1”法，即只要数位被移掉，就在尾数的末位恒置1。

第三章532011-12-31

在IEEE754标准中，舍入处理提供了四种可选方法：

♦就近舍入：结果被舍入成最近的可表示的数。其实质就是通常所说

的“四舍五入”。例如，尾数超出规定的23位的多余位数字是10010,

多于位的值超过规定的最低有效位值的一半，故最低有效位应增1。若

多余的5位是01111,则简单的截尾即可。对多余的5位10000这种特殊情

况：若最低有效位现在为0,则截尾；若最低有效位现为1,则向上进1

位使其变为0。

♦朝+8舍入：结果向正无穷大方向取舍。对正数来说，只要多余位不

全为0,则向最低有效位进1;对负数来说，则是简单的截尾。

♦朝一8舍入：结果向负无穷大方向取舍。对正数来说，则是简单的截

尾；对负数来说，只要多余位不全为0,则向最低有效位进1。

♦朝0舍入：结果朝0取舍。即朝数轴原点方向舍入，就是简单的截尾。

无论尾数是正数还是负数，截位都使取值的绝对总值比原值的绝对值小。

这种方法容易导致误差。

第三章542011-12-31

2.浮点乘法、除法运算

(1)浮点乘法、除法运算规则

设有两个浮点数X和Y:

可见，乘积的尾数是相乘两数的尾数之积，乘积的阶码是相乘两数的

阶码之和。当然，这里也有规格化和舍入等步骤。

设有两个浮点数X和Y:

第三章552011-12-31

(2)浮点乘法、除法运算步骤

浮点数的乘除运算大体可分为四步：第一步，0操作数检查；第二步,

阶码加/减操作；

第三步，尾数乘/除操作；第四步，结果规格化及舍入处理。

图3-13所示为浮点乘法的流程图。无论哪个操作数为0,乘积即为0。

下一步是指数相加。若指数是移码(偏移值指数)形式，指数的和将会

有双倍的偏置值，故应从和中减去一个偏置值。可能会出现指数上溢或

下溢，此时应结束算法并报告。

若积的指数在一个恰当的范围内，则下一步应是有效数相乘，包括它

们的符号一起考虑。有效数相乘与整数相乘的方法相同。积的长度将是

被乘数和乘数的长度的两倍，多余的位将在舍入期间丢失掉。

得出乘积之后，下一步则是结果的规格化和舍入处理，同加、减法所做

的一样。注意，规格化可能导致指数下溢出现。

第三章562011-12-31

图3-13浮点乘法的流程图

第三章572011-12-31

图3-14所示为浮点除除法

法流程图。第一步是测试

x=o?A阶码相减

0,若除数为0,或报告出

Y,V

加偏移

错，或认为是一个无穷大Z

的数，取决于具体的实现。

工A溢出报告

返回工酚码溢出？

若被除数是0,则结果是0。K7

下一步是被除数的指数减爸码下溢？＞报告下溢

除数的指数。这个过程把V

\r

偏置值去掉了，所以必须尾数相除I返回

▼

加上偏置值。然后对指数规格化

上溢或下溢进行测试。▼

舍入

V

返回

图3/4浮点除法流程图

第三章582011-12-31

3.4算术逻辑运算单元ALU

针对每一种算术运算，都必须有一个相应的基本硬件配置，其核心部

分是加法器和寄存器。当需要完成逻辑运算时，势必需要配置相应的逻

辑电路，而ALU电路是既能完成算术运算又能完成逻辑运算的部件

3.4.1ALU电路

图3-15是ALU框图。图中Aj和玛为输入变量；彩为控制信号，&的不同

取值可决定该电路做哪种逻辑运算；Fj是输出函数。

图3-15ALU框图

第三章592011-12-31

为了实现算术/逻辑多功能运算，则必须对全加器(F