2020-2021学年北京市昌平区九年级上学期期末数学复习试卷及答案解析

2020-2021学年北京市昌平区九年级上学期期末数学复习试卷

一.选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.一个几何体由若干个相同的正方体组成,其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何

体的正方体个数最小值为（）

D.8

D.V3

4.如图，已知点A、B、C、。都在上，且,则为（）

5.如图，在平面直角坐标系，中，点A的坐标为（1,3）,点2的坐标为（2,1）,将线

段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A'的坐标为（-2,0）,则点8的对应点"

的坐标为（）

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■y

yi>）2，”大小关系正确的是（）

A.yi>y2>y3B.yi>y3>”C.D.y3>yi>”

7.如图，在正方形网格中，△"2代绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N',则旋转中心

可能是（）

II

A.点AB.点BC.点CD.点。

8.小明同学研究二次函数y=-G-，〃）2-机+1（机为常数）性质时得到如下结论：

①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；

②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；

③点A（xi，yi）与点B（X2，y2）在函数图象上，若xi<X2，内+垃>2加，则yi<”；

④当-1VxV2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m22.

其中错误结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.二次函数y=/-fov+c的图象上有两点A（3,-2）,8（-9,-2）,则此抛物线的对称

轴是直线》=.

10.如图，已知正方形。48c的边长为2,点C、A分别在x、y轴的正半轴上，AB,CB与

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反比例函数y=(的图象在第一象限的部分相交于点O、E,若BD=CE,则％=

11.如图，。。与正八边形ABCDEFGH的边AH,EF相切于点A,E.若0。的半径为4,

则劣弧屈的长为.

12.已知在△ABC中，AB=13,AC^12,ZC=90°,sinA=.

13.如图，PA,PB分别切OO于点A,B.若NP=100°,则/ACB的大小为（度）.

14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和aA'B'C是以坐标原点。为位似中心的位

似图形，且点8(3,1),B'(6,2),若点A'(5,6),则A的坐标为

15.如图，在半径为10C5的圆形铁片上切下一块高为4CTH的弓形铁片，则弓形弦48的长

为_______

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16.如图所示，四边形ABCD中，AC_LBZ）于点。，AO=CO=8,80=00=6,点P为线

段AC上的一个动点.

（1）填空：AD=CD=.

（2）过点P分别作于M点，作PHLOC于”点.连结PB,在点P运动过程

中，PM+PH+PB的最小值为.

三.解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）

17.（5分）计算：|tan30°-l|+2sin60°-tan45°.

18.（5分）探索锐角a的三角函数值之间的关系.

19.（5分）己知二次函数的解析式是y=-7+2t+3.

（1）用配方法将该二次函数化成y=a（x-h）2+后的形式，并写出顶点坐标；

（2）在图中画出该二次函数的图象（不需要列表），并写出该图象与x轴的交点;

（3）当0〈xV3时，直接写出y的取值范围.

20.（5分）如图，四边形A8C。是平行四边形，A。与圆相切，请在下图中，仅用无刻度的

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直尺按要求画图.

（1）若BC是圆的直径，画出平行四边形ABCO的边CQ上的高；

（2）若CD与圆相切，画出平行四边形A8C。的边BC上的高AE.

图①图②

21.（5分）已知AB是。。的直径，C,D,E是半圆上三点，且AC=C£>,DE=BE.

(1)如图1,求证：AB=VICE；

(2)如图2,若AC=1,BE=V2,求cos/ABE的值.

22.（5分）如图，图中数字代表正方形的面积，NACB=120°,求正方形P的面积.（提

示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

四.解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）

23.（6分）深圳某百果园店售卖赣南脐橙，已知每千克脐橙的成本价为6元，在销售脐橙

的这40天时间内，销售单价x（元/千克）与时间第八天）之间的函数关系式为x=%+16

（lWfW40,且，为整数），日销售量y（千克）与时间第r（天）之间的函数关系式为y

=-2/+200且f为整数）

（1）请你直接写出日销售利润卬（元）与时间第f（天）之间的函数关系式；

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(2)该店有多少天日销售利润不低于2400元？

(3)在实际销售中，该店决定每销售1千克脐橙，就捐赠加(m<7)元给希望工程，在

这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间/的增大而增大，求机的取值范围.

24.(6分)如图，A8为。。的直径，AC为弦，点。为定中点，过点。作DEL直线AC,

垂足为£交AB的延长线于点尸.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若EF=4,sinN尸=g,求。。的半径.

25.(6分)小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点。是我上一动点，线段BC=8C〃3点A是线段BC的中点，过点C作CF〃BQ,

交。A的延长线于点F当△OC尸为等腰三角形时，求线段3。的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经

验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整：

(1)根据点。在就上的不同位置，画出相应的图形，测量线段3。，CD,尸。的长度,

得到下表的几组对应值.

BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD1cm8.07.77.26.65.9a3.92.40

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中发现：

①''当点。为尻1的中点时，BD=5.0c/n”.则上表中a的值是；

②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.

(2)将线段8。的长度作为自变量x,CO和尸。的长度都是x的函数，分别记为ye和

yFD,并在平面直角坐标系xOy中画出了函数"o的图象，如图所示.请在同一坐标系中

画出函数约。的图象：

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(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当尸为等腰

三角形时，线段8。长度的近似值(结果保留一位小数).

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线＞=苏-4办-2a(a#0)的对称轴与x轴交

于点4,将点向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度得到点B.

(1)求抛物线的对称轴及点B的坐标；

(2)已知点C(l,-2«).若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求。的取值

范围.

五.解答题(共2小题，满分14分，每小题7分)

27.(7分)如图，O是等边三角形ABC外一点，且满足O8=3C,ZBDC=\20°,M,N

分别是AB,AC上的点，且NM£W=60°,当NMDN绕点、D旋转时,MN,BM,CN的

关系是否发生变化？请简述理由.

28.(7分)如图1,已知线段AB与点P,若在线段AB上存在点Q,满足PQWA8,则称

点户为线段A2的“限距点”.

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•---•-----------•-3--3-

AQB

-4F-4F

图1图2

(1)如图2,在平面直角坐标系xOy(2)中，若点A(-I,0),B(I,0)

①在C(0,2)2,0(-2,-2),E(l,-g)中，是线段AB的“限距点”的是；

②点P是直线y=x+l上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标XP的

取值范围.

(2)在平面直角坐标系X。)，中，点4(f,1),B(t,-1),直线y=^x+2值与x轴

交于点M,与y轴交于点N.若线段MN上存在线段AB的“限距点”，请求出t的取值

范围.

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2020-2021学年北京市昌平区九年级上学期期末数学复习试卷

参考答案与试题解析

选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个儿何

体的正方体个数最小值为（）

主视图左视图

【解答】解：由主视图、左视图可知，俯视图最多可能为3X3的长方形,

在相应位置摆放小立方体，直至最少，如图所示：

需要的小立方体的个数为5,

故选：A.

俯视图

2.2cos60°的值等于（

D.V3

【解答】解：2cos60°=2x1=l.

故选：B.

3.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）

D.

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【解答】解：根据中心对称图形的概念可得：。选项不是中心对称图形.

故选：D.

4.如图，已知点A、B、C、。都在上，且/30。=110°,贝为（）

A.110°B.115C.120D.125

【解答】解：VZA=izBOD=ixllO°=55。，

而NA+N8CO=180°,

.".ZBCD=180°-55°=125°.

故选：D.

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1,3）,点8的坐标为（2,1）,将线

段48沿某一方向平移后，若点A的对应点A'的坐标为（-2,0）,则点8的对应点夕

的坐标为（）

A.(-1,-2)B.(5,2)C.(-1,-3)D.(0,-2)

【解答】解：平移后的线段4'B'如图所示，B'（-1,-2）,

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故选：A.

6.若二次函数6无+9的图象，经过4(-1,yi),B(1,”)，C(4+VL”)三点，

yi，”，”大小关系正确的是()

A.y\>y2>yaB.y\>y3>y2C.y2>y\>y?>D・

【解答】解：•••二次函数-6x+9=(x-3)2,

对称轴为直线x=3,

3-(-1)=4,

3-1=2,

4+V2-3=1+V2,

V4>l+V2>2,

二)”>”>)明

故选:B.

7.如图，在正方形网格中，aMPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N',则旋转中心

可能是()

A.点AB.点BC.点CD.点£)

【解答】解：如图,

「△MNP绕某点旋转一定的角度，得到

，连接PP'、NN、MM',

作PP的垂直平分线，作MV■的垂直平分线，作■的垂直平分线,

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三条线段的垂直平分线正好都过B,

即旋转中心是艮

故选：B.

8.小明同学研究二次函数y=-（x-m）2-机+1（枕为常数）性质时得到如下结论：

①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1±；

②存在一个机的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；

③点A（xi，y\）与点8（%2，>'2）在函数图象上，若xi<x2，x\+x2>2m,则yi<”；

④当时，y随x的增大而增大，则，〃的取值范围为m22.

其中错误结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：二次函数y=-2-m+l⑺为常数）

①,顶点坐标为（〃?，-w+1）且当x=，w时，y--m+\

.••这个函数图象的顶点始终在直线、=-x+1上

故结论①正确；

②假设存在一个胆的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形

令y=0,得-（x-相）2-m+1=0,其中znWl

解得：Jfi=???—V—m+1,X2=m+y/—m+1

•顶点坐标为（〃3-/M+1）,且顶点与X轴的两个交点构成等腰直角三角形

-m+\\—\m-（.m—yj—m+1）|

解得：/〃=0或1.

当初=1时，二次函数、=-（x-1）2,此时顶点为（1,0）,与x轴的交点也为（1,0）,

不构成三角形，舍去；

.•.存在〃?=0,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形

故结论②正确；

③''x\+x2>lm

,二次函数y=-（.x-w）2-机+1（〃7为常数）的对称轴为直线

二点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离

,.,xi〈x2，且

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故结论③错误；

④当-l<x<2时，y随x的增大而增大，且。=-1<0

'.m的取值范围为

故结论④正确.

故选：A.

二.填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)

9.二次函数y=/-6x+c的图象上有两点A(3,-2),8(-9,-2),则此抛物线的对称

轴是直线x=-3.

【解答】解：•••函数y=f-"+c的图象上有两点A(3,-2),3(-9,-2),且两点

的纵坐标相等，

•••A、B关于抛物线的对称轴对称，

对称轴为：直线*=号心=-3,

故答案为：-3

10.如图，已知正方形OABC的边长为2,点C、A分别在x、y轴的正半轴上，AB、CB与

【解答】解：；正方形OA8C的边长为2,

kk

：.B(2,2),D(-,2),E(2,

22

bb

:・CE=W30=2一全

■:BD=CE,

2—

解得k=2

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故答案为：2.

11.如图，。。与正八边形ABCQEFGH的边AH,EF相切于点A,E.若。。的半径为4,

则劣弧崩的长为3TT.

【解答】解：连接OA、0E,如图所示：

:。。与AH,EF相切于点A,E,

：.AH±OA,EF1.0E,

尸=90°,

•.,在正八边形ABCQEFGH中，ZH=ZG=ZF=(8-2)X18004-8=135°,

；./AOE=(6-2)X1800-90°-90°-3X135°=135°,

劣弧荏的长=13：*4=3k；

loU

故答案为：3Tt.

12.已知在△ABC中，AB=13,AC=12,ZC=90°,sinA=—.

—13―

【解答】解：VZC=90°,AB=13,AC=12,

:.BC=5,

则sinA=器谄

故答案为：三.

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B

13.如图，M,尸8分别切O。于点A,B.若NP=100°,则NAC8的大小为40（度）.

C.OALPA.OBVPB,

即NR10=NP80=90°,

・・・NAO3=360°-APAO-ZP-ZPBO=360°-90°-100°-90°=80°,

AZC=1ZA05=40°.

故答案为：40.

14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△4'B'C是以坐标原点O为位似中心的位

似图形，且点8(3,1),夕(6,2),若点A'(5,6),则A的坐标为(2.5,3).

【解答】解：••,点8(3,1),B'(6,2),点4'(5,6),

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的坐标为：(2.5,3).

故答案为：(2.5,3).

15.如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4a”的弓形铁片，则弓形弦AB的长

【解答】解：如图，过。作0。J_A8于C,交。。于。

；CD=4,00=10,

：.OC=6,

又：OB=10,

，RtZ\BC。中，BC=70B2-0C2=8,

.,.A8=28C=16.

故答案为：16a〃.

16.如图所示，四边形A8C£＞中，于点。，AO=CO=8,80=00=6,点P为线

段AC上的一个动点.

(1)填空：AD=CD=10.

(2)过点P分别作PM_LAD于M点，作PHLDC于H点.连结PB,在点尸运动过程

中，PM+PH+PB的最小值为15.6.

B

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【解答】解：（1）..FCLB。于点

.•.△AOD为直角三角形.

：.AD^yjAO2+OD2=V82+62=10.

：ACJ_B。于点O,4O=CO,

：.CD=AD=\0.

故答案为：10;

（2）如图1所示：连接PD

,•*S^ADP+S/\CDP=S/sADC<

111111

：.-AD*PM+%DC・PH=%C・0。，即一x10义PM+之x10XPH=4x16X6.

222222

A10X（PM+PH）=16X6.

•n”nrr9648

..PM+PH=^=T，

：.当PB最短时,PM+PH+PB有最小值，

•.•由垂线段最短可知：当3PJ_AC时，P8最短.

当点P与点。重合时，PM+PH+PB有最小，最小值=等+6=学.

-78

故答案为：10,y.

三.解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）

17.（5分）计算：|tan30°-l|+2sin60°-tan45°.

【解答】解：原式=烂一1|+2X*-1

=1-^+V3-1

2月

=--

18.（5分）探索锐角a的三角函数值之间的关系.

【解答】解：如图，RtAABC,ZC=90°,/A=a,乙4、NB、/C所对的边分别为“、

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b、cf

则有，。2+/=。2,sina=cosa=tana=cota=

ccba

(7)Vsin2a+cos2a=(2)2+(g)2=』?=%=1'

/.sin2a+cos2a=l,

②Vtanaecota=x=1,

tana*cota=l；

^..sinaabacosabab

\3)•丁一==tana,=一~—=-=cota,

cosaccbsinacca

sina

/.----=tana,

cosa

cosa

----=cota,

sina

19.(5分)已知二次函数的解析式是y=-7+2x+3.

(1)用配方法将该二次函数化成y=a(x-/z)2+4的形式，并写出顶点坐标；

(2)在图中画出该二次函数的图象(不需要列表)，并写出该图象与x轴的交点;

(3)当0Wx<3时，直接写出y的取值范围.

【解答】解：(1)y=-/+2x+3=-(x-1)2+4,

所以抛物线的顶点坐标为(1,4)；

(2)当y=0时，-/+2%+3=0,解得xi=-1,X2=3,抛物线与x轴的交点坐标为(-

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1,0),(3,0),

(3)当0<x<3时，)，的取值范围为0<y<4.

20.(5分)如图，四边形ABCO是平行四功形，A。与圆相切，请在下图中，仅用无刻度的

直尺按要求画图.

(1)若BC是圆的直径，画出平行四边形ABC。的边8上的高；

(2)若CO与圆相切，画出平行四边形A8CO的边BC上的高AE.

(2)如图②所示，AE为所求的高.

21.(5分)已知43是OO的直径，C,D,E是半圆上三点，且AC=C£>,DE=BE.

(1)如图1,求证：AB=&CE；

(2)如图2,若AC=1,BE=72,求cos/ABE的值.

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\'AC=CD,ED=EB,

：.CA=CD,ED=EB,

：.CD+DE=AC+BE

：.ZCO£=90°,

：.AB=2OE=2x寺CE=V2C£.

(2)连AE、BC交于点凡则NACB=NAEB=90°,

图2

'：ZCAE=45°,/CBE=45°,

：.CF=AC=\,EF=BE=y[2,

^.AF—V2AC=y/2,

:s

.•.AB=yjAE2+BE2=V10,

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cosZAHE=器=咯.

22.（5分）如图，图中数字代表正方形的面积，NACB=120°,求正方形P的面积.（提

示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

【解答】解：如图，作A£>J_8C,交BC延长线于

VZACB=120°,

.♦.N4CO=60°,ZDAC=30°；

CD=|AC=1,

：.AD^V3,

在直角三角形AQB中，BO=BC+C£>=3+1=4,AD=®

根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2^3+16=19；

,正方形P的面积=AB2=19.

四.解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）

23.（6分）深圳某百果园店售卖赣南脐橙，已知每千克脐橙的成本价为6元，在销售脐橙

的这40天时间内，销售单价x（元/千克）与时间第M天）之间的函数关系式为x=%+16

（lWtW40,且t为整数），日销售量y（千克）与时间第r（天）之间的函数关系式为y

=-2/+200（lWtW40,且/为整数）

（1）请你直接写出日销售利润卬（元）与时间第/（天）之间的函数关系式；

（2）该店有多少天日销售利润不低于2400元？

第21页共31页

(3)在实际销售中，该店决定每销售1千克脐橙，就捐赠加(加<7)元给希望工程，在

这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间/的增大而增大，求m的取值范围.

【解答】解：(1)由题意可得，

11,

w=(x-6)y=(-7+16-6)(-2f+200)=一・»+30K2000,

42

即日销售利润w(元)与时间第，(天)之间的函数关系式是卬=一与2+30/+2000；

(2)令一

解得，20W/W40,

40-20+1=21,

答：该店有21天日销售利润不低于2400元；

(3)由题意可得，

w=(x-6-m)y=(^+16-6-m)(-2f+200)=-1?+(30+2w)f+2000-200m,

•.•在这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间f的增大而增大，

.30+2m_

••i-

2x(4)

解得，机>4.75,

又,：m<7,

.,.4.75<m<7,

即m的取值范围为4.75<w<7.

24.(6分)如图，AB为。。的直径，AC为弦，点。为命中点，过点。作。直线AC,

垂足为E,交AB的延长线于点尸.

(1)求证：EF是的切线；

(2)若EF=4,sinNF=S，求00的半径.

【解答】(1)证明：如图，连接BC,OD,

：AB是0。的直径，

第22页共31页

AZACB=90°,

又：EF_LAE,

：.BC//EF,

•.•点。为元中点，

：.ODLBC,

J.ODLEF,

又是。。的半径，

是。。的切线；

Q

(2)解：在RtZ\AEF中，ZAEF=90°,EF=4,sinZF=1,

：.AE=3,A尸=5,

9：0D//AE,

JXODFsXAEF,

.ODOF

AEAF

设OO的半径为八则OO=r,OF=AF-AO=5-r,

.r5-r

35

解得后?，

15

二。。的半径为

8

25.（6分）小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点。是比上一动点，线段BC=8c〃3点A是线段BC的中点，过点C作CF//BD,

交D4的延长线于点F.当△£＞（7/为等腰三角形时，求线段BD的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经

验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整：

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（1）根据点。在船上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD,CD,尸。的长度,

得到下表的几组对应值.

BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD!cm8.07.77.26.65.9a3.92.40

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中发现：

①“当点。为元的中点时，BD=5.0cm".则上表中a的值是5；

②“线段CF的长度无需测量即可得到请简要说明理由.

（2）将线段3。的长度作为自变量x,和尸。的长度都是x的函数，分别记为ycD和

yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数ye的图象，如图所示.请在同一坐标系中

画出函数yen的图象；

（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△OCF为等腰

三角形时，线段8。长度的近似值（结果保留一位小数）.

【解答】解：（1）,••点。为我的中点,

：.BD=CD,

：.BD=CD=a=5cm,

故答案为：5；

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(2)•••点A是线段BC的中点,

：.AB=AC,

'：CF//BD,

:.NF=NBDA,

又；/&4。=/04尸，

.'.△BAD且ACAF(AAS),

:"BD=CF,

...线段CF的长度无需测量即可得到;

(3)山题意可得：

(4)山题意画出函数yer的图象;

由图象可得：B£>=3.8a”或5c/w或6.2cm时，ZXOCF为等腰三角形.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线)，=苏-4«x-2a(a#0)的对称轴与x轴交

于点A,将点A向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度得到点B.

(1)求抛物线的对称轴及点B的坐标；

(2)已知点C(l,-2a).若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求〃的取值

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范围.

【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线尸-者=2,

.•.点A的坐标为（2,0）.

•；将点A向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到点B,

.•.点8的坐标为（2+2,0+3）,即（4,3）.

（2）分“>0和”<0两种情况考虑：

①当a>0时，

；点C（l,-2a）,抛物线与y轴的交点为（0,-2a）,

.•.抛物线与8c为交点；

②当“<0时，，如图所示.

16a-16a-2aW3,

综上所述：”的取值范围为-5式“<0；

五.解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）

27.（7分）如图，£）是等边三角形ABC外一点，且满足£）B=£）C,/BZ）C=120°,M,N

分别是A8,AC上的点，且/A/CW=60°,当绕点。旋转时，MN,BM,CN的

关系是否发生变化？请简述理由.

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A

【解答】解：不变化，理由如下：

•：DB=DC,且NBOC=120°,

AZBCD=ZDBC=30°,

VAABC是等边三角形，

AZABC=ZBAC=ZBCA=60°,

AZDBA=ZDCA=90",

延长AB至尸，使BF=CN,连接。尺

在ABDF和△CNO中，