2021届人教a版（理科数学）不等式推理与证明单元测试

专题13不等式、推理与证明

1.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是避二!.（避二!.M.618,

22

称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐

的长度之比也是史二L若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长

2

度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

答案B

方法一：如下图所示.

依题意可知：

AC_75-1AB_V5-1

~CD~2'~BC~2

①腿长为105cm得，即C£»105,

AC=避二!■CD>64.89,

2

AD=AC+CD>64.89+105=169.89,

所以A8169.89.

②头顶至脖子下端长度为26cm,

即AB<26,

Afi

BC=-i=—<42.07,

6-1

2

AC=AB+BC<6S.Q7,

Ar

CD=1—<110.15,

V5-1

2

AC+CCX68.07+110.15=178.22,

所以AD<178.22.

综上，169.89<A£X178.22.

Ai-头顶

B-咽喉

c-肚脐

DL足底

故选B.

方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为Xcm,肚脐至腿根的长为ycm,则竺=至土土=避二1,得

xy+1052

xa42.07cm,y*5.15cm.又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm,所以其身高约为

42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故选B.

名师点评本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法，利用转化思想

解题.

2.2020年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重

大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问

题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.&点是平衡点，位

于地月连线的延长线上.设地球质量为Mi,月球质量为地月距离为凡人点到月球的距离为r,

MMMr

根据牛顿运动定律和万有引力定律，「满足方程：/n\,+三=(衣+〃)得.设「=_,由于a的值

(R+r)rRR

3a34-3a4+a，

很小，因此在近似计算中——:_A-则/■的近似值为

(1+«)-

答案D

由a=二，得r=aR

R

M、M

因为M+言2=()请，

(H+r)2

M.M,“

所以^~!~7+,D，=(+a

/?2(l+a)2a'R-

a5+3a4+3a3

即土四…)一备1=«3a3,

(l+«)2

名师点评由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂

式子的变形出错.

3.若a>b,则

A.ln(«-Z>)>0B.39

C.苏田〉。D.\a\>\b\

答案C

取a=2,b=l,满足a>b，ln(a-6)=0,如A错，排除A；因为9=3">3A=3，知B错，排除B；

取4=1,力=-2,满足。>力，1=同<网=2,知D错，排除D,因为耗函数y=/是增函数，a>b,

所以故选c.

名师点评本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、募函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运

算能力素养，利用特殊值排除即可判断.

4.若羽y满足|x|Kl-%且宏-1,则3x+y的最大值为

A.-7B.1

C.5D.7

答案C

—1<y

由题意〈/।，作出可行域如图阴影部分所示.

y-1<x<l-y

设z=3x+y,y=z—3%,

当直线4：y=Z-3x经过点（2,-1）时,Z取最大值5.故选C.

名师点评本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大，注重「基础

知识、基本技能的考查.

5E,

5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足“2-如=-lgU，其

2七2

中星等为，心的星的亮度为双（上1,2）.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与

天狼星的亮度的比值为

A.1O10-1B.10.1

C.IglO.lD.10J°i

答案A

两颗星的星等-与亮度满足吗一肛=5尼务令?=-1.45,町=-26.7.

101

Ig^I-=|.(w2-/n])=|(-1.45+26.7)=10.1,^-=1O.

故选：A.

名师点评本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对

数运算.

x+y-2<0,

x—y+220,

6.〃设变量MV满足约束条件v二，则目标函数z=-4x+y的最大值为

工…一1,

y…-1,

A.2B.3

C.5D.6

答案D

已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.

目标函数的几何意义是直线y=4x+z在y轴上的截距，-

故目标函数在点A处取得最大值.

x-y+2=0,

由\得4

尤=-1

所以Zmax=-4x(-l)+l=5.

故选C.

X=-1

名师点评线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其

次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离

等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围.即：一画，二移，三求.

7.设xeR,则“炉一5%<0”是的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

化简不等式，可知0<x<5推不出卜―1|<1,

由,一1|<1能推出0<x<5,

故"X2-5X<()”是“IxT1<1"的必要不充分条件，

故选B.

名师点评本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.

x-3y+4>0

8.若实数满足约束条件(3x—y—4K0,则z=3x+2)，的最大值是

x+y20

A.-1B.1

C.10D.12

答案C

画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。

31

平移直线），=--x+-z可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.

22

x-3y+4=0x=2

联立两宜线方程可得<解得《

3x—y-4=0y=2

即点A坐标为A（2,2）,

所以Zmax=3x2+2x2=10.故选C.

名师点评解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，

也有可能在解方程组的过程中出错.

9.若。>0,/?>0,则是"出?W4”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

当a>0,b>0时，4+822必当且仅当a=〃时取等号，则当a+/?W4时，有2旅4“+644,

解得"W4,充分性成立：

当。=1,匕=4时，满足原W4,但此时。+匕=5>4,必要性不成立，综上所述，是

的充分不必要条件.

名师点评易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断-失误；二是不能灵活的应用“赋值法”,

通过特取6的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

10.已知集合4={%卜2_%_2>0},则44=

A.1%|—1<x<21B.|x|-1<x<21

C.{x|x<-l}U{x|x>2}D.{x|xW-l}U{x|x22}

答案B

解不等式--x-2>0得x<-l或x>2,所以4={x[x<-l或x>2},所以可以求得

条4={x|—lWxW2},故选B.

11.2020年高考全国卬理数设a=k>go2（）.3,。=log,0.3,则

A.a-\-h<ab<0B.ab<a-vh<0

C.a+b<O<abD.ab<O<a+b

答案B

,:a=log（）20.3,b=log,0.3,二,=log030.2,—=log032,=log030.4,

abab

...°V，；V1,即0<v1，又•.,Q>0,bV0，・•.Qb<0，即abVa+bV0，故选B.

x+yK5,

2x-y<4,

12.设变量尤,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为

-x+y<L

y20,

A.6B.19

C.21D.45

答案C

x+y<5,

2x-y<4,“,

绘制不等式组《表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A

一1+y<L

y>0

处取得最大值，联立直线方程得可得点A的坐标为A（2,3）,据此可知目标函数的最大

值为：znux=3x+5y=3*2+5x3=21.本题选择C选项•

名师点评求线性目标函数z="x+勿3厚0）的最值，当b>0时，直线过可行域且在），轴上截距最大时,

z值最大，在y轴截距最小时，z值最小：当/7<0时，，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小,

在y轴上截距最小时，z值最大.

13.设xeR,则“|x—L|<L”是<1”的

22

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

绝对值不等式卜一3<；<=>-\<x-\<\o0<x<l,

由/<1QX<1,

据此可知卜-1|<:是/<1的充分而不必要条件.

故选A.

名师点评本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

14.设集合A={（x,y）|x—y21,奴+y>4,x—dy42},则

A.对任意实数a,（2,1）eAB.对任意实数a,（2,1）eA

3

C.当且仅当a<0时，（2,1）gAD.当且仅当二时，（2,1）任A

答案D

点（2,1）在直线x—y=1上，ax+y=4表示过定点（0,4）,斜率为-a的直线，当awO时，x—ay=2

表示过定点（2,0）,斜率为工的直线，不等式x-ay<2表示的区域包含原点，不等式ax+y>4表

a

示的区域不包含原点.宜线ax+y=4与直线1-纱=2互相垂直.显然当直线ax+y=4的斜率

一。>0时，不等式ax+y>4表示.的区域不包含点（2,1）,故排除A；点（2,1）与点（0,4）连

333

线的斜率为——，当一。<——,即—时，ax+y>4表小的区域包含点（2,1）,此时％-ayv2

33

表示的区域也包含点（2,1）,故排除B；当直线依+y=4的斜率一。二一/，即。=/时，依+y>4

表示的区域不包含点（2,1）,故排除C,故选D.

名师点评本题主要考查线性规划问题，考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及逻辑推理能力

和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.

15.设小y、z为正数，且2"=3，v=5z,贝ij

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

答案D

令2*=3'=5、=/(无>1),则x=log2女，y-log3k,z-log5k

.2x21gAlg3lg97

则2x>3y,

3ylg231gzlg8

2x21gklg51g25,,..__j,

一=—----=——<1,则2x<5z,故选D.

5zlg251g%lg32

名师点评对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的x,y,z,

通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与

I的对数表示.

2x+3y-3<0

16.设x,y满足约束条件，2x-3y+320,则z=2x+y的最小值是

y+3>0

A.-15B.-9

C.1D.9

答案A

画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：y=-2x+z,其中z表示斜率为

%=—2的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点5(-6,-3)处取得最小

值，Z*=2x(-6)+(-3)=-15,故选A.

名师点评求线性目标函数z=ax+外("#))的最值，当h>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时,

z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当〃<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小,

在)，轴上截距最小时，z值最大.

17.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位

良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知

道我的成绩.根据以上信息，则

A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

答案D

由甲的说法可知乙、丙一人优秀•人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自

己的.成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.

名师点评合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助

猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合

乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确

的前提下）.

x<3,

18.若x,y满足+则x+2）•的最大值为

,Wx,

A.1B.3

C.5D.9

答案D

如图，画出可行域，

z=x+2y表示斜率为一上的一组平行线，当z=x+2y过点C（3,3）时，目标函数取得最大值

=3+2x3=91故选D.

名师点评本题主要考查简单的线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将

目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求.常见的目标函数类型有:

(1)截距型：形如Z=◎+勿.求这类目标函数的最值时常将函数Z=⑪+切转化为直线的斜截式：

H77

y=--x+-,通过求直线的截距三的最值间接求出z的最值：(2)距离型：形如

'bbb

z=(x—a)2+(y—媾；⑶斜率型：形如z=£^,而本题属于截距形式.

X—CL

2x+y>0,

x+2y—2>0,

19.设变量满足约束条件〈八则目标函数z=x+>的最大值为

x<0,

y«3,

2

A.—B.1

3

3

C.-D.3

2

答案D

作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由2=%+>得y=-x+z,作出直线〉=-X,平移

使之经过可行域，观察可知，最优解在5(0,3)处取得，故Zmax=0+3=3,选D.

名师点评线性规划问题有三类：①简单的线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有

时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数的取值范围:

③线性规划的实际应用.

x>0

20.若x,y满足约束条件,x+y—3N0,则z=x+2y的取值范围是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]

C.16,+oo)D.[4,+oo)

答案D

如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4,无最大值，选D.

名师点评本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应.的可行域，作图时，可将不等式

Ax+By+CNO转化为y〈履+人(或yN"+匕)，“W”取下方，“之”取上方，并明确可行域对应的

是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、

两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、

值域范围.

21.2020年高考山东理数若a>b>0,且制?=1,则下列不等式成立的是

1bb

A.a+—<一<log2(o+Z?)B.log2(«+/?)<a+—

brT

1b1b

log(a+/7)

C.Q4—<log2(<7+/?)<—2<a+—<一

bTbT

答案B

因为a>匕>0,且劭=1,所以a>l,0<b<l,；.，<l,log2(a+8)>log22«^=l,

“+■!■11

2">〃+—>a+0=>〃+—>log2(a+。)，所以选B.

hb

名师点评比较幕或对数值的大小,若幕的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单

调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用

指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.

22.已知奇函数/(%)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若。=g(—log25.1),b=g(2。",c=g⑶，则a,b,

c的大小关系为

A.a<b<cB.c<b<a

C.h<a<cD.b<c<a

答案c

因为/(X)是奇函数且在R上是增函数，所以当x>0时，/W>o,

08

从而g(x)=对(x)是R上的偶函数,且在［0,+8)上是增函数，。=g(-log25.1)=g(log25.1),2-<2，

又4<5.1<8,则2<log25.1<3,

所•以0<208<log,5.1<3,g(2°$)<g(k)g25.1)<g(3),

所以Z?<a<c,故选C.

名师点评比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助

指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行.大小比较，要特别关注灵活利用函数

的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式.

23.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但

南北朝时期的官员独孤信的卬信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多

边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有

顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱

长为.(本题第一空2分，第二空3分.)

答案26,V2-1

由图可知第一层(包括上底面)与第三层(包括下底面)各有9个面，计18个面，第二层共有8个面,

所以该半正多面体共有18+8=26个面.

如图，设该半正多面体的棱长为％,则43=3E=x,延为CB与EE交于点G,延长交正方体棱

于H，由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，

BG=GE=CH=—x,:.GH=2x^x+x=^+l)x=I.

22

1

X--j=——=A/2-1,

V2+1

即该半正多面体棱长为血-1.

名师点评本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简

单，稳中求胜是关键.立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形.

24.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元

/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达

至U120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当尸10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则%的最大值为

答案①130；②15.

（1）x=10.顾客一次购买草寿和西瓜各一盒，需要支付（60+80）—10=130元.

（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，

y<120元时，李明得到的金额为yx80%，符合要求.

y>120元时，有（j-x）x80%>yx70%恒成立，即8（y—x）N7y,x4卷即｛=15元.

8\0/min

所以X的最大值为15.

名师点评本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，以实际生

活为背景，创设问题情境，考查学生身功的数学，考查学生的数学建模素养.

(x+l)(2y+l)

25.设尤>0,y>0,x+2y=5,则而的最小值为.

答案4百

(x+l)(2y+1)_2孙+2y+x+l_2肛+6

方法一:

\fxyy[xyy[xy

因为x>O,y>0,x+2y=5,

所以x+2y=5N2y/x・2y,

即J而42,0<肛〈竺，当且仅当x=2y=3时取等号成立.

282

又因为2而+—5=222而・二=46，当且仅当2而=搭，即9=3时取等号，结合

g\y/xyE

25(x+l)(2y+l)

孙《不可知，孙可以取至U3,故----笈----的最小值为46.

方法二：；x>0,y>0,x+2y=5,

.3〉0,生毕他=皿第左1=半^2而+名上2/=4技

yjxygV-ryg

当且仅当取=3时等号成立，

(x+l)(2y+l),广

故~Sxy的最小值为4V5.

名师点评使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.

x—2y—2<0

26.若x,y满足约束条件■x-y+120,则z=3x+2y的最大值为

”0

答案6

x-2y-2<0

根据题中所给的约束条件<x-y+120，画出其对应的可行域，如图所示：

y<0

当直线过点3时，z取得最大值，

x-2v-2=0

由，解得3（2,0）,此时Zmax=3X2+0=6,故答案为6.

名师点评该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可

行域，之后根据目标函数的形式，判断Z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断咖个点是

最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜

率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.

x+2y-5>0,

27.若％,y满足约束条件〈元一2y+320，则2=%+、的最大值为.

%—540,

答案9

x+2y-5>0,

不等式组卜—2y+3Z0,表示的可行域是以A（5,4）,B（1,2）,C（5,0）为顶点的三角形区域，如下图

x—540

所示，目标函数2=1+丁的最大值必在顶点处取得，易知当X=5,y=4时，Zmax=9.

名师点评线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件

求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.

x-y>Q,

28.若满足约束条件,2x+y46,则z=x+3y的最小值是,最大值是.

x+y>2,

答案28

由题可得，该约束条件表示的平面区域是以（2,2）,（1,1）,（4,-2）为顶点的三角形及其内部

区域，如图所示.由线性规划的知识可知，目标函数z=x+3y在点（2,2）处取得最大值，在点（4,

-2）处取得最小值，则最小值z而n=4—6=—2,最大值Zm”=2+6=8.

名师点评本题主要考查简单的线性规划，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心

素养是数学运算、直观想象.

29.若%,y满足x+则2y-x的最小值是.

答案3

作出可行域，如图，则直线z=2y—x过点41,2）时，z取最小值3.

名师点评线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：

一、准确无.误地作出可行域；

二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;

三、•般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

解本题时，先作出可行域，再根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.

30.已知a,0eR,且。一3万+6=0,则2"+、■的最小值为.

答案；

由a-3b+6=0可知a-3b=-6,且2a+^=2a+2~3b,

因为对于任意X，2*>0恒成立，结合基本不等式的结论可得：

2。+2-3b22X，2。乂2-3〃=2xk=不当且仅当卜-3b=6，即位=-1时等号成立.

c11

综上可得2。+诞的最小值为了

名师点评利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：

①a,0€&/+〃22而，当且仅当时取等号；

②a,b€R+，a+b>2y/ab，当且仅当a=。时取等号.解题时要注意公式的适用条件、等号成立的

条件，同时求最值时注意“1的妙用”.

31.在小、/记。中，角4,民。所对的边分别为4反0,ZABC=\20°,Z4BC的平分线交AC于点。，且比>=1,

则4a+c的最小值为.

答案9

由题意可知，S“ABC=S&ABD+SABC。,由角平分线性质和三角形面积公式得

|acsinl20°=x1xsin60°+x1xsin60°,化简得ac=Q+c.+；=1,

fl1\c4alc_4a

因此4a+c=（4a+c比+。=5+公+工25+24・工=9,

当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.

名师点评在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即

条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、”等（等号取得的条件）的条件才能应用,

否则会出现错误.

x+2y<1,

32.设x,y满足约束条件（2x+yN—l,则z=3x-2y的最小值为.

x-y<0,

答案一5

不等式组表示的可行域如图所示,

3z

由z=3x—2y得y=jx—：在y轴上的截距越大，z就越小，

所以，当直线z=3x-2y过点A时，z取得最小值，

所以z的最小值为3x(—1)—2x1=—5.

名师点评本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较

截距，要注意z前面的系数为负时，截距越大，z值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点

的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，

转化后其几何意义是点到直线的距离.

X-j>0

33.2020年高考全国HI理数若x,y满足约束条件，x+y-2<0,则z=3x-4y的最小值为.

y>0

答案—1

作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.

目标函数即y=3-士1z,易知直线y=3i在y轴上的截距最大时，目标函数z=3x-4y取得

4444

最小值，数形结合可得目标函数z=3x—4y在点4（1,1）处取得最小值，为Zmin=3xl—4xl=—l.

名师点评求线性目标函数z=or+〃y（a厚0）的最值，当6>0时，直线过可行域且在y轴上的截距最大时,

z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；当〃<0时，直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z

值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大.

a4+4/>4+1

34.若a,bwR,ab>。,则的最小值为.

ab

答案4_______

上叫12.4"力:1=4仍+_；_»242，=4,（前一个等号成立的条件是4=2〃，后一

ababab\ab

个等号成立的条件是=两个等号可以同时成立，当且仅当/=也22=立时取等号）

224

名师点评利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①。/€氏。2+82当且仅当

时取等号；②q/eR+,a+b>2y^b.当且仅当。=b时取等号.解题时要注意公式的适用

条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“I的妙用”.

35.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A,的横、纵坐标分别为第i名

工人上午的工作时间和加工的零件数，点