黑龙江省哈尔滨市第一中学2025届高三数学6月第一次模拟试题文含解析

PAGE27-黑龙江省哈尔滨市第一中学2025届高三数学6月第一次模拟试题文（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卡指定位置上填写学校、姓名和准考证号.3．全部答案必需写在答题卡上，写在试卷上无效.4．考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：（本大题共12个小题，在每个小题的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A={1，2，3}，B={x|x2-2x+m=0}，若A∩B={2}，则B=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据A∩B即可得出2∈B，从而可求出m=0，解方程x2-2x=0得x，从而得出B．【详解】∵A∩B={2}；∴2∈B；∴4-4+m=0；∴m=0；∴B={x|x2-2x=0}={0，2}．故选D．【点睛】本题考查交集的定义及运算，描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系，属于基础题．2.已知是虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数模的计算、复数的运算法则干脆计算即可得解.【详解】由题意.故选：D.【点睛】本题考查了复数模的计算、复数的运算，考查了运算求解实力，属于基础题.3.已知等比数列满意，且成等差数列，则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设公比为q，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q，即可得到所求值．【详解】成等差数列，得，即：，所以，＝16故选C．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算实力，属于基础题．4.已知向量，且，则m=()A.−8 B.−6C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面对量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量的值，可发觉周期为，即可得到，，，此时输出.【详解】，.，.，.，，.可发觉周期，，，.此时输出.故选：【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是是解决本题的关键，属于简洁题.6.下列关于命题的说法错误的是（）A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C.“若为的极值点，则”的逆命题为真D.命题：，的否定是，【答案】C【解析】【分析】由题意结合逆否命题的概念可推断A，由对数函数的性质结合充分条件、必要条件的概念可推断B，由逆命题的概念结合极值点的概念可推断C，由全称命题的否定可推断D，即可得解.【详解】对于A，由逆否命题的概念可得命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；对于B，若，则函数在区间上为增函数；若函数在区间上为增函数，则只需满意；所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故B正确；对于C，“若为的极值点，则”的逆命题为“若，则为的极值点”，对函数，，但不是函数的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C错误；对于D，由全称命题的否定可知命题：，的否定是，，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查了逆否命题、逆命题的改写、全称命题的否定，考查了充分条件、必要条件的推断及对数函数性质、极值点的概念，属于基础题.7.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的性质及图象的特征逐项解除即可得解.【详解】因为，所以函数为奇函数，故解除C、D；当时，，，所以，故解除B.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.8.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，易得，因此，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，详细步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特殊留意异面直线之间所成角的范围．9.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国闻名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》独创了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创建了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数，若，则在区间上可以用二次函数来近似代替，其中，，若令，请依据上述算法，估算的近似值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设函数，由题意，在区间上可以用二次函数来近似代替，取即可.【详解】函数,取故：即故选:D【点睛】本题考查了斜率公式，考查了学生阅读理解，综合分析，数学运算实力，属于较难题.10.已知是定义在上的奇函数，，且对随意，，，恒成立，则使不等式成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数图象的平移、奇函数的性质可得函数的图象的对称中心为点，进而可得，由函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由函数的单调性、对数函数的性质即可得解.【详解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到，是定义在上的奇函数，所以函数的图象的对称中心为点，因为对随意，，，恒成立，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，因为，所以，又，所以即，所以即，所以，所以使不等式成立的的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查了函数图象的变换及对数不等式的求解，属于中档题.11.已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，则点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和最小值是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合圆的性质、抛物线的定义可得当抛物线焦点、点、点、圆的圆心四点共线时，点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和取最小值，由两点之间距离公式即可得解.【详解】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径，依据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，当在线段上时，取最小值，所以当四点共线时，点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和最小，如图：由可得点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值为，所以点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和最小值是.故选：A.【点睛】本题考查了圆的性质及抛物线定义的应用，考查了运算求解实力与转化化归思想，属于基础题.12.已知方程有4个不同的根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，得,设,对函数求导分析其单调性和图象趋势，作出大致图象，依据数形结合可得实数的取值范围.【详解】方法一：易知是方程的一个根，明显，当且时，由，得,设,则的图象与直线有3个不同的交点.当时，，因在上单调递增，所以在上单调递减，且．当且时，，令得，令，得或，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，且，且当x从左边趋近于0和从右边趋近于-3时，，当x从左边趋近于-3时，，当时，，作出函数的大致图象如下图所示，由图可知，，综上，实数a的取值范围是，故选A．方法二：易知是方程的一个根，当时，由，得，则该方程有3个不同的根，在同一坐标系内作出函数和的图象，如下图所示：当时，当与曲线的左支相切时，由得得，由图可知，当时，直线与曲线有3个不同的交点，即方程有3个不同的根，综上，实数a的取值范围是，故选A.【点睛】本题考查方程的根与函数的图象和性质,数形结合思想等综合应用,关键在于将求方程的根转化到求两个函数的图象的交点问题，属于难度题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题.把答案填写在答题纸相应位置上）13.为了了解疫情期间哈一中高三学生的心理需求，更好的开展高考前的心理健康教化工作，心理老师设计了两个问题，第一个问题是“你诞生的月份是奇数吗？”；其次个问题是“你是否须要心理疏导？”.让被调查者在保密的状况下掷一个匀称的骰子，其他人不知道掷骰子的结果，要求：当出现1点或2点时，回答第一个问题；否则回答其次个问题，由于其他人不知道他回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，你也无法知道他是否有心理问题，这种调查既爱护了他的隐私，也能反映真实状况，可以从调查结果中得到须要的估计，若调查的900名学生中有156人回答“是”，由此可估计我校高三须要心理疏导的学生所占的比例约为______．【答案】【解析】【分析】先确定骰子出现1点或2点时的概率，即回答第一个问题的概率，求出回答第一个问题的人数，再确定其中回答“是”的概率，再求出其中回答“是”的人数，则可求回答其次个问题的人数以及其中回答“是”的人数，则比例可求；【详解】解：出现1点或2点的概率为，即回答第一个问题的人数有，因为诞生的月份是奇数或偶数的可能性相同，所以其中诞生的月份是奇数的概率为，其中诞生的月份是奇数的人数有，即第一个问题回答“是”的有150人，所以其次个问题回答“是”的有6人，回答其次个问题的总共有600人，所以可估计我校高三须要心理疏导的学生所占的比例约为.故答案为：【点睛】考查古典概型的应用，基础题.14.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为__________．【答案】2【解析】函数的图象向右平移个单位，得到函数，y=g(x)在上为增函数，所以，即：ω⩽2，所以ω的最大值为：2.故答案为2.点睛：三角函数中函数图象的平移改变是常考学问点，也是易错题型.首项必需看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要留意自变量x的系数是否为1，假如x有系数，须要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.15.若圆与双曲线经过其次、四象限的渐近线交于，两点，且，则此双曲线的离心率为______．【答案】【解析】【分析】首先依据双曲线的方程写出经过其次、四象限的渐近线方程为，依据圆的方程可以得出其圆心坐标和半径长，勾股定理求得弦心距，利用点到直线的距离求得，利用双曲线中的关系，求得，进而得到其离心率.【详解】依题意可知双曲线经过其次、四象限的渐近线方程为，因为，圆的圆心为，半径为3，所以圆心到渐近线的距离为，即，解得，所以，所以双曲线的离心率为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的学问点有双曲线的渐近线方程，双曲线的离心率，利用圆的方程写出其圆心和半径，点到直线的距离公式，属于简洁题目.16.某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积是______．【答案】【解析】【分析】由三视图画出四棱锥，取的中点，的中点，连接，，由平面几何学问可得为梯形的外接圆圆心，过作平面，易知该几何体外接球球心在直线上，设球心为，，球的半径为，由列方程即可得，再由球的表面积公式即可得解.【详解】由三视图画出几何体，如图所示四棱锥，取的中点，的中点，连接，，可知该四棱锥的底面为等腰梯形，，，梯形的高，棱锥的高，所以，所以为梯形的外接圆圆心，过作平面，易知该几何体外接球球心在直线上，设球心为，，球的半径为，过点作于，连接、，易得，,所以，解得，所以，所以该几何体外接球的表面积.故答案为：【点睛】本题考查了由三视图还原几何体的应用，考查了几何体外接球表面积的求解及空间思维实力，属于中档题.三．解答题：（本大题共6个小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.在中，是边的中线，,且的面积为.(1)求的大小及的值;(2)若,求的长.【答案】(1)，.(2).【解析】【详解】分析：(1)依据所给的式子，利用余弦定理可以求出，再依据三角形的面积公式即可求出的值．(2)依据,可求得，利用余弦定理可求得,中应用余弦定理即可求得AD的值．详解：(1)在中,由可得,故因为,所以,解得.所以.(2)由得在中,出余弦定理得得,由正弦定理得.∵故在中,解得.点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，结合面积公式求相应的边长和角．理清条件与所求结果间的关系，综合选择合适的方法，属于简洁题．18.某种植园在芒果接近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．（1）经计算估计这组数据的中位数；（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：全部芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）中位数为268.75；（2）应选方案．.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可得中位数在内，利用中位数两侧的频率和相等列方程即可得解；（2）由题意结合频率分布直方图求得每个芒果的平均质量，即可得方案可获得的利润；由频率分布直方图估计质量低于250克、高于或等于250克的芒果的数量，即可得方案可获得的利润；比较大小即可得解.【详解】（1）由频率分布直方图可得：前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在内,设中位数为，则有，解得,故中位数为268.75；（2）由题意方案可获得的利润：元；方案可获得利润：由题意得低于250克可获利：元；高于或等于250克可获利：元，故总获利元；由于，故方案获利更多，应选方案．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图估计总体的中位数、平均数，考查了频率分布直方图的实际应用与数据处理的实力，属于中档题.19.如图，正方形与矩形所在平面相互垂直，，点为线段上一点．（1）若点是的中点，求证：平面；（2）若直线与平面所成的线面角的大小为，求．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，由题意结合平面几何学问可得，再由线面平行的判定即可得解；（2）由题意结合面面垂直的性质、线面角的概念可得，进而可得，再由棱锥的体积公式求出、，即可得解.【详解】（1）连接，交于点，连接，如图：因为四边形为正方形，所以为线段的中点，又点是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为正方形与矩形所在平面相互垂直，所以平面，平面，所以即为直线与平面所成的线面角，所以，因为，所以，，所以，因为四边形为正方形，四边形为矩形，由可得平面，所以，所以.【点睛】本题考查了线面平行的判定、面面垂直的性质及线面角相关问题的解决，考查了几何体体积的求解及空间思维实力，属于中档题.20.已知椭圆：的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为，点的坐标为．（1）求椭圆的方程；（2）已知纵坐标不同的两点，为椭圆上的两个点，且，，三点共线，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得，求得、即可得解；（2）由题意设直线方程为，点，，，直线的斜率为，联立方程结合韦达定理可表示出点的坐标，进而可得，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）∵椭圆：的离心率为，且过点，∴，解得，，∴椭圆的方程为；（2）依题意知直线过点，且斜率不为0，故可设其方程为，由，消去得，，设点，，，直线斜率为，故，∴，∴，又点的坐标为，∴，当时，；当时，，∵，当且仅当时，等号成立，∴，∴，∴且；综上所述，直线的斜率的取值范围是．【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解及直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解实力与转化化归思想，属于中档题.21.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，探讨函数的单调性；（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）详见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数几何意义得曲线在处的切线斜率为，所以先求导f′(x)＝2x－1＋，再求斜率k=f′(1)＝2，最终由f(1)＝0，利用点斜式可得切线方程；（2）先求函数导数：f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝．再分类探讨导函数在定义区间上的零点：当a≤0时，一个零点1；当a>0时，两个零点和1；再比较两个零点大小，分三种情形.（3）本题实质探讨函数最小值.因为是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，所以）；再由得－－ln(2)，最终依据零点存在定理确定取值范围，利用导数可得在区间单调递增，即.【详解】（1）因为，所以，从而．因为f(1)＝0，f′(1)＝2，故曲线在处的切线方程y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0．（2）因为，所以，从而．当时，时，时，，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．当时，由得0＜x＜1或，由得，所以在区间(0，1)和区间上单调递增，在区间上单调递减．当时，因为（当且仅当x＝1时取等号），所以在区间上单调递增．当时，由得或x＞1，由得，所以在区间和区间上单调递增，区间上单调递减．（3）方法一：因为，所以，从而．由题意知，是方程的两个根，故．记，因为，所以，，所以，且．．因为，所以，令，．因为，所以在区间(2，＋∞)单调递增，所以，即．方法二：因为，所以，从而．由题意知，是方程的两个根．记，因为，所以，，所以，且在上为减函数．所以．因为，故．考点：导数几何意义，利用导数探讨函数单调性，利用导数证明不等式【点睛】导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式．①证明，可以构造函数，假如，则在上是减函数，同时若，由减函数定义可知，时，有，即证明白．②证明，可以构造函数，假如，则在上是增函数，同时若，由增函数的定义可知，时，有，即证明白．(2