广东中山市高中数学必修5全册导学案

广东中山市高中数学

必修5全册导学案

§1.1.1正弦定理

类似可推出，当A48C是钝角三角形时，以上关系

式仍然成立.请你试试导.

1.掌握正弦定理的内容；

2.掌握正弦定理的证明方法；

3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.

新知：正弦定理

学习过程在一个三角形中，各边和它所对角的的比

一、课前准备相等，即

试验：固定△ABC的边a_b_c

C8及N8,使边4c绕着sinAsinBsinC

顶点C转动.

试试：

思考：ZC的大小与它的对边AB的长度之间有怎(1)在AABC中，一定成立的等式是().

样的数量关系？A.asinA=Z>sinBB.acosA=bcosB

C.asin8=2sinAD.acosB=hcosA

(2)已知△ABC中，a=4,b=8,ZA=30°,贝U

ZB等于.

显然，边AB的长度随着其对角ZC的大小的增大

［理解定理］

而.能否用一个等式把这种关系精确地表

(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的

示出来？

正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数

k使a=ksin4,,c-ksinC；

(2)等价于____________,

二、新课导学sinAsinBsinC

c_ba_c

X学习探究----=，----—-•

探究1：在初中，我们已学sinCsin3sinAsinC

过如何解直角三角形，下面(3)正弦定理的基本作用为：

就首先来探讨直角三角形①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，

中，角与边的等式关系.如

图，在RtAABC中，设

BC=a,AC=b,AB=c,②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以

根据锐角三角函数中正弦函数的定义,求其他角的正弦值，

有3=sinA,--sinB,又sinC=1=£,如sin4=-sinB；sinC=______________.

b

(4)•般地，已知三角形的某些边和角，求其它

从而在直角三角形ABC中，，—=

sinAsinBsinC的边和角的过程叫作解三角形.

X典型例题

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否例1.在AABC中，已知A=45°,8=60°,a=42cm,

仍然成立？解三角形.

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当AA8C是锐角三角形时，设边A8上的高是

CD,根据任意角三角函数的定义，

有CD=asinB-bsinA,则一--=—--,

sinAsinB

同理可得」一=—

sinCsinB

b

从而‘一

sinAsinBsinC

变式：在A48c中，已知8=45°,C=60°,※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

a=12cm,解三角形.A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.在A48c中，若上乂=2,则乙48（7是（）.

cosBa

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

2.已知△ABC中，A：B：C=\：1：4,

则a：b：c等于（）.

A.1：1：4B.1：1：2

C.1：1：百D.2：2：V3

3.在△ABC中，若sinA>sinB,则A与B的大小

关系为（）.

例2.在AABC中，。=后,4=45°,°=2,求。和8,<7.

X.A>BB.A<B

C.A>BD.A、B的大小关系不能确定

4.已知△ABC中，sinA:sinB:sinC=1:2:3,则

a.b,.c=.

5.已知A4BC中，NA=60。，a=JL则

sinA+sinB+sinC

*端课后作业

1.已知△48C中，AB=6,/4=30°,/B=120°,

解此三角形.

变式：在A4BC中，/?=退,8=60",。=1,求。和41.

三、总结提升

X学习小结2.已知△ABC中，sinA：sinS：sinC=k：（fc+1）：

2k（kNO）,求实数k的取值范围为.

1.正弦定理：—

sinAsinBsinC

2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义,

还有②等积法，③外接圆法，④向量法.

3.应用正弦定理解三角形：

①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角.

X知识拓展

—=—=^-=27?,其中2R为外接圆直径.

sinAsinBsinC§1.1.2余弦定理

2学习评价

0学习目标余弦定理的特例.

(2)余弦定理及其推论的基本作用为：

1.掌握余弦定理的两种表示形式；

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求

2.证明余弦定理的向量方法；出第二边.

3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.②已知三篇形的三条边就可以求出其它角.

2学习过程试试：

一、课前准备(1)△ABC中，a=3日c=2,8=150,求b.

复习1：在一个三角形中，各和它所对角

的—的—相等，即==.

复习2：在△A8C中，已知c=10,A=45°,C=30。,

解此三角形.

(2)/\ABC中，a=2,b=6,c=G+1,求A.

思考•：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

X典型例题

例1.在△ABC中，已知a=G，b=g,8=45",

求4,C和c.

二、新课导学

派探究新知

问题：在A48c中，4B、BC、C4的长分别为c、

二卷三_______________,

AC*AC=A-----g----1B

同理可得：a2-b2+c2-2bccosA,

c2=a2+b2-2abcosC.

新知：余弦定理：三角形中任何一边的—等于其

变式：在△ABC中，若AB=下,AC=5,且cosC

他两边的的和减去这两边与它们的夹角的

o

的积的两倍.——,则BC—.

10--------

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个

量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

,b2+c2-a2

cosA=----------,,

2bc-----------------------

［理解定理］例2.在中，已知三边长”=3,b=4,

(1)若C=90°,则cosC=—,这时。2=“2+/c=J方，求三角形的最大内角.

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是

派当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.已知。=G，c=2,3=150°,则边b的长为

（）.

A.叵B,V34C.叵D,后

22

2.已知三角形的三边长分别为3、5、7,则最大角

为（）.

A.60°B.75°C.120°D.150°

3.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的

取值范围是（）.

A.V5<x<V13B.屈<x<5

C.2cxe石D.V5<x<5

4.在△ABC中，|而|=3,|衣|=2,而与衣的

夹角为60°,贝IJ|丽一衣尸.

5.在aABC中，已知三边a、b、c满足

变式：在△A8C中，若/=〃+。2+儿，求角A.h2+a2—c2—ab,则NC等于.

2课后作业

13

1.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC=—■,求

14

最大角的余弦值.

2.在△ABC中，48=5,BC=7,AC=8,求丽•品

三、总结提升的值.

X学习小结

1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同

规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的应用范围：

①已知三边，求三角；

②已知两边及它们的夹角，求第三边.

X知识拓展

在AABC中，

若/+/=/,则角C是直角；

^a2+b2<c2,则角C是钝角；

若不+62>C2,则角c是锐角.

正弦定理和余弦定理（练习）

心学习评价§1.1

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.2—学习目标

A.很好B.较好C.一•般D.较差i.进一步熟悉正、余弦定理内容；

2.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解

已知边a,b和NA

三角形时，有两解或一解或无解等情形.

一、课前准备

a<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<b

复习1：在解三角形时无解仅有一个解有两个解

已知三边求角，用定理；

试试：

已知两边和夹角，求第三边，用定理；

1.用图示分析3为直角时）解的情况?

已知两角和一边，用定理.

复习2：在△A8C中，已知A=-,。=25夜，b

6

=50母,解此三角形.2.用图示分析（A为钝角时）解的情况?

X典型例题

例1.在AA8C中，已知。=80,8=100,ZA=45°,

试判断此三角形的解的情况.

二、新课导学

派学习探究

探究：在△A8C中，已知下列条件，解三角形.

①A——,a—25,b—5042；

6

②,.=5。",h=50y/2；

63

③A—,47—50,b~50V2.

6

变式：在AABC中，若a=l,c=,，NC=40。，

2

则符合题意的b的值有个.

思考：解的个数情况为何会发生变化？

新知：用如下图示分析解的情况G4为锐角时）.

例2.在△ABC中，A=60。，6=1,c=2,求

a+"c的值.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

sinA+sinA+sinCA.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.已知。、。为△ABC的边，A、B分别是a、b的

对角，且源=2,则空2的值=（）.

sinB3b

2.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3：5：7,

那么这个三角形的最大角是（）.

A.135°B.90°C.120°D.150°

3.如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三

角形形状为（）.

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.由增加长度决定

4.在ZXABC中，sia4:sinB:sinC=4:5:6»则cosB

变式：AABC中，若a=55,8=16,且5.已知△48C中，bcosC=ccosB,试判断AABC

-a/>sinC=22073）求角C.的形状.

2

Z课后作业

1.在AABC中，a=xcm,b=2cm,ZB=45°,

如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范

围.

三、总结提升

派学习小结

1.已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；

2.已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；

2.在AABC中，其三边分别为a、b、c•，且满足

3.已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）:

-absmC^a2+b~c2,求角C.

4.已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用

正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和24

无解三种情况）.

X知识拓展

在AABC中，已知。力,A,讨论三角形解的情况：

①当4为钝角或直角时，必须a>人才能有且只有

--解；否则无解；

②当4为锐角时，

如果那么只有一解；

如果a<6,那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若a>bsin4,则有两解；

（2）若。=公足4,则只有一解；

（3）若acbsinA,则无解.§1.2应用举例一①测量距离

Z学习评价

0学习目标应用正弦定理算出A8边.

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

一些有关测量距离的实际问题

£&学习过程

一、课前准备

复习1：在△ABC中，ZC=60°,a+b=2也+2,

c=2>/2,则为.

新知1：基线

在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.

复习2：在△ABC中，sinA=sinB+sinC,判断三例2.如图，4、8两点都在河的对岸（不可到达）,

cos8+cosC设计一种测量A、B两点间距离的方法.

角形的形状.

分析：这是例1的变式题，研究的

是两个的点之间的距离

测量问题.

首先需要构造三角形，所以需要

确定C、D两点.

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与

一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和8C,

再利用余弦定理可以计算出AB的距离.

二、新课导学

X典型例题

例1.如图，设4、8两点在河的两岸，要测量两点

之间的距离，测量者在4的同侧，在所在的河岸边

选定一点C,测出AC的距离是55m,ZBAC=510,

NAC8=75。.求4、B两点的距离（精确到0.1m）.

B

提问1：AABC中，根据已知的边和对应角，运用

哪个定理比较适当？

变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得

N804=60°,NACQ=30°,NCDB=45°,ABDA

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢?=60°.

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个

不可到达的点之间的距离的问题

题目条件告诉了边AB的对角，4C为已知边，

再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a

知角算出4C的对角，加;，灯塔A在观察站C的北偏东30°,灯塔B在

观察站C南偏东60°,则A、8之间的距离为多少？40千米处，8城后处于危险区内的时间为（）.

A.0.5小时B.1小时

C.1.5小时D.2小时

3.在AABC中,已知

（a2+/）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+8）,

则A48C的形状（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

4.在AABC中，已知”=4,b=6,C=120°,则sinA

的值是.

5.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处

看到一个灯塔8在北偏东60。，行驶4h后，船到

达C处，看到这个灯塔在北偏东15。，这时船与灯

塔的距离为km.

7课后作业

1.隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选

三、总结提升取相距百珈的C、。两点，并测得/AC8=75°,

派学习小结ZBCD=450,ZADC=30°,NAOB=45°,A、

1.解斜三角形应用题的•般步骤：B、C、。在同一个平面，求两目标A、3间的距离.

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示

意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量

与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解

斜三角形的数学模型；

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出

三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义,

从而得出实际问题的解.

2.基线的选取：

测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，

使测量具有较高的精确度.

2.某船在海面4处测得灯塔C与A相距10G海里,

且在北偏东30。方向；测得灯塔8与A相距15#海

一学习同价一里，且在北偏西75。方向.船由4向正北方向航行

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.到。处，测得灯塔B在南偏西60。方向.这时灯塔

A.很好B.较好C.一般D.较差C与。相距多少海里？

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.水平地面上有•个球，现用如下方法测量球的大

小，用锐角45。的等腰直角三角板的斜边紧靠球

面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使

三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm,则球的

半径等于().

A.5cm

B.5y[lcin

C.5(^2+\)cm

D.6cm

2.台风中心从4地以§1.2应用举例一②测量高度

每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中

心30千米内的地区为危险区，城市5在4的正东

0学习目标

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；

2.测量中的有关名称.

2学习过程

一、课前准备

复习1：在AA8C中，丝1=2=2,贝IJA4BC1的

cosBa3

形状是怎样？

X典型例题

例1.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A

复习2：在z\A8C中，a、b、c分别为NA、NB、的俯角。=54。40',在塔底C处测得A处的俯角

NC的对■边，若a:b:c=l:l:6，求A;B;C的值.夕=50。1'.已知铁塔8C部分的高为27.3m,求出

山高C£）（精确到1m）

二、新课导学

X学习探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角一从指北方向顺时针转到目标方向线的水

平转角；

坡度一沿余坡向上的方向与水平方向的夹角：

仰角与俯角一视线与水平线的夹角当视线在水平

线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称

为俯角.

探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为

建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度4B的

方法.

分析：选择基线，G,使，、G、B三点共线,

要求AB,先求AE

在AACE中，可测得角,关键求AC例2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东

在AACD中，可测得角,线段,又有a行驶，到4处时测得公路南侧远处一山顶。在东偏

故可求得AC“南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山

”箕上遍

顶在东偏南25°的方向匕仰角为8”,求此山的高X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

度CD.1.在AABC中，下列关系中一定成立的是（）.

问题1：A.a>hsinAB.a=bsinA

欲求出CO,思考在哪C.a<Z?sinAD.a>bsinA

个三角形中研究比较2.在AA8C中，AB=3,BC=A，AC=4,贝边AC

适合呢？上的高为（）.

A.述B.迈C.之D,3也

问题2：

222

在△BCD中，已知8。或BC都可求出CD,根据

3.D、C、8在地面同一直线上，0c=100米，从。、

条件，易计算出哪条边的长？

C两地测得A的仰角分别为30和45",则A点离地

面的高AB等于（）米.

A.100B.5073

C.50（73-1）D.50（73+1）

4.在地面上C点，测得一塔塔顶A和塔基B的仰角

分别是60。和30。，己知塔基8高出地面20m,则

塔身AB的高为m.

5.在AABC中，b=2五,a=2,且三角形有两

解，则A的取值范围是.

变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的2课后作业

A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°,俯角1.为测某塔A8的高度，在一幢与塔AB相距20加

是60°,测得目标B在南偏东78°,俯角是45°,的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基

试求山高.B的俯角为45°,则塔48的高度为多少〃?？

2.在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山

的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A

侧山顶的仰角是30°,求山高.

三、总结提升

X学习小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审

题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料

中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.

X知识拓展

在湖面上高九处，测得云之仰角为a,湖中云之

影的俯角为夕，则云高为〃sm（a+^）

sin（a一,）§1.2应用举例一③测量角度

♦学习评价

及自我评价你完成本节导学案的情况为（）.2学习目标

A.很好B.较好C.一般D.较差能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

一些有关计算角度的实际问题.

一、课前准备

jr

复习1：在△48C中，已知c=2,C=-,且

3

—absinC=V3,求。，b.

例2.某巡逻艇在4处发现北偏东45相距9海里

的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10

海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14

海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该

沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私

复习2：设AABC的内角A,8,C的对边分别为a,

b,c,且A=60,c=3,求3的值.

c

二、新课导学

X典型例题

例1.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75。的

方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,

沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后达到海岛C.

如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎

样的方向航行，需要航行多少距离?（角度精确到

0.T,距离精确到O.Olnmile）

分析：

首先由三角形的内角和定理求出角ZABC,

然后用余弦定理算出AC边，

再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角NCAB.

X动手试试

练1.甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时

10（6+1火机的速度向正东航行，乙船以每小时

20k机的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、

乙两船分别到达A、C两点，求4、C两点的距离,

以及在4点观察C点的方向角.A.a>[]B.a=/3

C.a+夕=90。D.a+尸=180°

2.已知两线段〃=2,b=2\/2,若以〃、b为边作

三角形，则边。所对的角A的取值范围是().

A.B.(0刍

636

jrTT

c.(0,-)D.(0,-]

3.关于x的方程sinAx2+2sinBx+sinC=0有相

等实根，且A、3、C是△的三个内角，则三角形

的三边〃、b、c满足().

A.b=acB.a=be

C.c=abD.b~=ac

练2.某渔轮在4处测得在北45°的C处有一鱼群,

4.△ABC中，已知a:b:c=(Ji+l)M,

离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以

则此三角形中最大角的度数为.

每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14

海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方5.在三角形中，已知:A,a,〃给出下列说法：

向，需几小时才能追上鱼群？(1)若4290°,且aWb,则此三角形不存在

(2)若，290°,则此三角形最多有一解

(3)若A<90°,且所bsinA,则此三角形为直角三

角形，且8=90°

(4)当4<90°,。幼时三角形一定存在

(5)当4<90°,且戾inA<a幼时，三角形有两解

其中正确说法的序号是.

一与之J果后作业„

1.我舰在敌岛A南偏西50。相距12海里的8处，

发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小

时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航

行才能用2小时追上敌舰？

三、总结提升

派学习小结

1.已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次

利用正弦定理或余弦定理解之.；

2.已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时

需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其

余的三角形中求出问题的解.

2.

X知识拓展

已知AA8C的三边长均为有理数，A=36,B=2O,

则cos59是有理数，还是无理数？

因为C=)-5e,由余弦定理知

cosC=-~2二J为有理数，

2ab

所以cos56=-cos(乃一5