《振动力学》课程本科生考试试题标准答案

2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案

1.圆筒质量〃Z。质量惯性矩在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，求其

固有频率。（io分）

解：令x=Asin",x=Acocoscot

二加2+；〃(与

22r

=g(m+§)比2

=g("2+4)比COS?CDt

U=—^r2=—kA2sin2cot

22

/.-(/77+-4-)X2A26;2=-M2

2r2

s=

2.图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力P（1）=《sin次的作用，求质量加

稳态响应的幅值。（10分）U

M_

因

in^2X2

解：设，篦的位移为X,则冗=冗1+工2⑴

其中当为弹簧L的变形，当为弹簧网的变形

对机列运动微分方程：trix+&29=0⑵

对连接点列平衡方程：攵内=k2x2+P(t)(3)

由(3)式可以得出：%.=0")+1〉

%

将上式代入(1)式可得出：/=_*')+3

kx+k2

将上式代入(2)式可得出：〃&+9-x一一石—尸“)=0

k1+k-2K+&

mx+kx=———P(t)=sincot

ee

k,+k2k,+k2

Pk11

x=­o-2-------------------sina)t

h+k?儿i_(e>

5

41

=----------sincot

ki1-(—)2

他

3.建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。(10分)

%)=Asin69r

m-VW\^

解：对物体机列运动微分方程，有：

tnx+cx-k(x}-x)=0

BP：mxex+kx=kAsincot

kA1

其稳态响应为:X——•―jsin("一。)

kJ(12)2+(咨)2

g二c,6>=arctan^

其中，5=—,690

g14krn1-5

4.如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L,弹

性模量为E,横截面对中性轴的惯性矩为/,

梁材料密度为P。在梁的。位置作用有集中

载荷”（力。已知梁的初始条件为零。求解梁

的响应。（假定已知第i阶固有频率为例，相

应的模态函数为4（x）,i=l~8）（20分）

解：悬臂梁的运动微分方程为：

"y02y

(1)

其中:

f{x,t)=F(t)8{x-a)⑵

令:

8

），a/）=Za（x）%Q）(3)

i=i

代入运动微分方程，有:

00

）〃/+小2。4=/（X，'）(4)

上式两边乘为（x）,并沿梁长度对x进行积分，有：

ScJ：3M）"x+£*J：pSMjdx=我小

⑸

利用正交性条件，可得：

句a）+好为⑺=0⑺(6)

其中广义力为：

2/0=J：f(t)(fijdx=J：F(Z)^(x-a^dx=尸⑺内(〃)

⑺

由式(6),可得：

%⑺=——J：Qj(r)sin(o(t-v)dr=——a(a)J：sinco(t-v)d

jF(T)jT(8)

利用式(3),梁的响应为：

0gj

yCM)=Z4(x)%a)=Z4(x)—力m)JroF(z)sin叼。一二)公

o⑼

叼

5.两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。

（20分）

T叫七1

芯不

-*4­

解：杆1、杆2绕其固定点的惯性矩分别为：

.叫广，tnl2./.7,

J.=---，=—=2Fm(―)2=——mJ2

使用影响系数法计算系统刚度阵

(1)如图(1)所示，令d=1,&=0,

对杆1和杆2分别需要施加弯矩，M分卜二

21田廷

别为：'

339

Mi=^i--l-l=—k,l2鳖

"'44161

=-k.Z：./2

144161

(2)如图(2)所示，令4=0,冬=1，ayM12

对杆1和杆2分别需要施加弯矩M|2，“22*/叫起空—

分别为：

339,

M,=-k,-1-1=--U2

2144161A

...3.3..1.1.9.,21..2

Myy=k.Il^-k.-/I=—kl+—kd

2214412216t142

因此，系统刚度阵和质量阵分别为

「9,广9,,21「〃”2

—k「——kJ—0

K*=1616M=3

~939./21i-A7

---kd-k.l+-kjl0—ml2

L161642JL482

因此，系统运动方程为

「町『0[99]

3°〃+广中一«占4

21=0

0—m2l1^2J一4，+久何

48216'16'42.

6.如图所示量自由度系统。（1）求系统固有频率和模态矩阵，并画出各阶主振型图形；（2）

当系统存在初始条件*（°）=°和%，（0）=°时，试采用模态叠加法求解系统响

上⑼」卜2（。）_|L°J

应。（20分）

解答:

运动微分方程为:

令主振动为“必

sin3+e），或直接采用（K-G2M）0=0,有:

的

2k-mg2-k"O-

2k-mco2夕20

m

设na=工02，有七:

2-a-1必0

2—aa0

2,—ex—1

由=0»得出:

-12-a

因此，有：

先将4=1代入，有:

弘一我=0

V

+我=0

令心=1,则有4=1,因此第一阶模态为：

秒=

同样将。2=3代入，令a=1，有次=-1，因此第二阶模态为:

所以，模态矩阵为：

-1-1

①二

11

令X=%,原微分方程变为:

-0

2m02k0尸PI

02山p206山p20

模态空间的初始条件为：

,r1/21/2101[x,J2\.

Xp(0)=O'X(0)==°,X/,(O)=0-X(O)=

<1/，JL/乙人c人n乙

因此可解得:

=Jr。](0)cos卯=

=xp2(0)cos6>2r=

所以，有:

7.如图所示等截面梁，长度为/,弹性模量为从横截面对中性轴的啧性矩为/,梁材料密

度为P。集中质量m,卷簧刚度与，直线弹簧刚度网。写出系统的动能和势能表达式，系

质量阵：M=

M^pS^dxeR-M=〃皿(%)]7回(儿)]€上

势能："TH吟舞1小+为华咛

)2\ox)2

=](K0+K+KJg

刚度阵：K=K+K+K2

«=匕"@泗(2)€胪〃

2007年振动力学期末考试解答

第一题（20分）

1、物块”质量为皿。滑轮A与滚子8的半径相等，可

看作质量均为加2、半径均为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的

轴线均与水平面夹角为b,弹簧的刚度系数为匕又如g＞，m

gsinb,滚子8作纯滚动。试用能量法求：（1）系统的微分

方程；（2）系统的振动周期。

2、在图示系统中，质量为如、半径为R的匀质圆盘，可沿水平

面作纯滚动。质量不计的水平直杆用较链48分别与圆盘优、

A、匀质直杆连接。杆BC长为Z,质量为加2,在8连接一＜7

刚度系数为k的水平弹簧。在图示的系统平衡位置时，弹簧具

有原长。试用能量法求：（1）系统的微振动的运动微分方程；（2）

系统的微振动周期。

解1：

系统可以简化成单自由度振动系统，以滚子B的轮心位移x作为系统的广义坐标，在静平

衡位置时x=0,此时系统的势能为零。系统动能和势能为：

22222

T=\mxx+：（：加2产乂步＞+[l/nox+^（^/n,r）（-）]=+lm2）x

222r222r2

V=-kx2

2

在理想约束的情况下，作用在系统上的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，则有:

11

+22

2m2）x+—=E

上式两边对t求导整理得动力学方程为：

x+-----------x=0

ml+2m2

振动周期为:

解2：

系统可以简化成单自由度振动系统，以匀质轮轮心A的位移x作为系统的广义坐标，在静

平衡位置时x=0,此时系统的势能为零。系统动能和势能为：

T=--mL2(-)2+--w,/?2(-)2=-(-w,+-m)x2

232L221R22132

1x1

V=--m2gL[\-cos(—)]+—

在理想约束的情况下，作用在系统上的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，则有:

T+V=g('叫+；加2)兑2-g加2gL[l-8S(])]+g"2=E

上式两边对，求导，得：

311r

+—w2)x--m2gLsin(y)+Ax=0

sin(—)=-

取LL,则系统的微分方程为:

,1

2g

元+1~~—x=()

—m.+-

2132

固有频率为:

,1

广非2g

振动周期为:

2n

=I

g

第二题(20分)

在图示振动系统中，已知：物块的质量为“，两弹簧的刚度系

数分别为高、k2,有关尺寸L、〃已知，不计杆重。试求：

(1)建立物块自由振动微分方程；

(2)求初始条件"。=°、%=°下系统的振动运动方

程。

解：

系统可以简化成单自由度振动系统，以物块的位移x作为系统

的广义坐标，在静平衡位置时x=0,此时系统的势能为零。

m

假定在质量机上作用有单位力1。则〜产生的变形量为:

通过对0点区力矩平衡，可得在单位力1作用下A点的变形量为:

_、6=2=-^-

由可得杆的微小角度bb・k?,因此可以得出由于”而引起的弹簧1位置

上的变形量可：

1}

3；=9L

Vk2

因此质量m在单位力作用下的总的变形量为:

5=司+口=

k[k2b

则由1I一-勺“°x,可得等效刚度为:

1Ck、+b2k2

系统的运动微分方程为:

nit+kcqx=0

固有频率为:

k\h

%=也

2

m(l}kx+hk2)

当初值玉）=A,&=0时:

x=Acos(a)0t)

第三题（20分）

在图示振动系统中，己知：二物体的质量分别

为犯和加2,弹簧的刚度系数分别为%、&、

自、3、h,物块的运动阻力K计。试求:

（1）采用影响系数法写出系统的动力学方程;

）

（2假设加i=叫=6，kt=k2=,求出振动系统的固有频率和

用（0）2X（0）6

相应的振型；（3）假定系统存在初始条件匕2（°）4用⑼2」，采用模态叠加

法求系统响应。

解：

（1）系统可以简化为二自由度系统，分别以二物体的位移同、"为系统的广义坐标。

由影响系数法求广义刚度阵。

再=1,%二°,由力平衡关系可得:

a.

无h=匕+k2

%=~k.

x

b.>=0,x2=lf由力平衡关系可得:

%22=无2+%3+%4+%5

则系统自由振动方程为:

阿0$+一心0

0mx左+女0

2223+24+hX2

（2）代入参数可得:

00

+

0工20

系统振动的频率方程为:

m2（t）4-+3k2=0

解得系统得固有频率:

、k2rz

竹=一（o=3一

m2m

将它们分别代入:

2k—tnco~~~kX|0

—k2k—tnco~x2。

分别得两阶模态：

份=[02=]

0=

⑶模态矩阵写作：L11」，则有:

计算主坐标，有:

+TX2

计算主质量，主刚度:

2m00

02m6k

转化为主坐标下初始条件:

3

士,(0)=0'x(O)=x„(0)=0'x(O)=

t=o：L.

易知，主坐标解为：

,4

X!=JCOS69/+—Sin691r

g

—2.

x2=cos6y2z+——sinco2t

所以，系统响应为:

第四题（20分）

在图示振动系统中，已知：匀质杆4B,质量m=3kg,长

为L=2m,弹簧的刚度系数21=2N/m,k2=1N/mo设

杆AB铅垂时为系统的平衡位置，杆的线位移，角位移均

极微小。在质心。点作用有一水工力尸=siiwf。以质心水

图1

平位移X和转角0为广义坐标。试求：

（1）系统的动力学方程和固有频率；

（2）问卬的值等于多少时，才能使系统的强迫振动为转动而无平动？并求该强迫振

动方程。

解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统。首先由影响系数法求广义刚度阵。

a.令％=Le=°,如图所示。由力平衡关系可知:

A〕A

=&+&

的=他-幻《

b.令x==L如图所示。由力平衡关系可知:

匕2=(&-错

k2

£2

3他+外彳

图2

可得系统自由振动方程如下:

m0ryh+k(k2-kjg

iAx0

1+2

0—mto0

12产（自-匕吟（&+匕4

代入参数数值，可得:

30x3-llW_p'

+T3_|［十］o

010

3-3co--1

=0

-13-co

频率方程:

即.3d>4—12co2+8=0

26±2百

%2=--一

（2）系统微分方程

30x3-1xsinW

+

010-1300

强迫振动解：x=X|Sin.,e=K2sin.,代入方程得:

一3-3〃-1为=1

2

-13-cox2_0

解得：

3—CD~

玉-3(l-^2)(3-6y2)-l

二占1

"―3"-3(1_[)(3_02)-1

令：%二°,得：G=6rad/s,此时系统无平动，只有转动振动。强迫振动方程为:

。/sin3=-sincot

第五题(20分)

如图所示，杆长度为/,质量密度°,截面积S,杨氏模量E。推导简单边界条件的杆的轴

向振动的正交性条件。

d2u(x,t)adu(x,t)

pS-------——=—{ES------)/、

提示：杆的轴向振动方程为：%泳法,为距离原点x位置

的杆的截面在/时刻的轴向位移

Jox

解答：

杆的主振动为：

u{xyt)=0(x)asin(W+&)

代入振动方程，有：

(EStfiy=-co2pS^

杆的简单边界可写为：

(a)固定端

0")=0x=0

(b)自由端

ES"(x)=0

设A(幻和为(幻分别对应g和叼的主振型，则有:

（ES4）'=-①；pS^（3）

3峭r例j（4）

对（3）式乘以内。）并沿杆长对工积分，有：

£MESCJdx=-co-£pS泗dx（$）

利用分部积分可将上式左端写为：

py（£5^v=用成0小一（ES^'dx"）

由（1）式和（2）式可知，杆的任一端上总有0二°或者"二°成立，因此（6）中右端第

一项等于零，成为：

鼠MES"）小=JES郴,dx（7）

将上式代入（5）中，有：

£ES郴jdx=痴（pSMjdx第）

对式（4）乘以4*）并沿杆长积分，同理可得:

£ES©'礼dx=百［肉岫dx

(9)

(8)式与(9)式相减后有：

⑷2-6y:)£jdx=0

(10)

如果i*/时有外工叼由上式必有：

«pSMjdx=G（n）

式（11）就是杆的主振型关于质量的正交性。再由（7）及（9）可得:

1＞痢公。当⑴（12）

（牝3帖dx大当反j（13）

上面两式则是杆的主振型关于刚度的正交性。

当'=）时，（10）总能成立,令：

fJpS^2dx=M.

J。/n⑶（14）

£ES@）2dx=-«MESgdx=K”（⑸

常数“川和"卢分别称为第，・阶主质量和第，・阶主刚度，由（9）可得:

<y,=----

M成（16）

如果主振型中的常数按下列归一化条件确定：

t^-dx=Mpi=\,=（2

则得到的主振型称为正则振型，这时相应的第，・阶主刚度"Pi等于色［上式与（11）合写

为：

«而。必dx=B@

由（9）、（12）、（13）则得到：

£ES^dx=媛％£MES%）'dx=-说瑞

其中：

§〃i=J

2008年振动力学期末考试试题

第一题（20分）

1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量mi，匀

质杆AB的质量机2，长为L,匀质轮O的质量m3,

弹簧的刚度系数鼠当AB杆处于水平时为系统的静平

衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。

解：

系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移

y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y=0,此时

系统的势能为零。

AB转角：（p=y!L

系统动能：

1

T=-w,y•2

mi动能：2

T2

212augg吗Lb/=；(;相2心2)(])2=^(1w2)j

m2动能：22323L23

T=-J^=—(―)2=—(―rn^y2

33333

m3动能:222R22

系统势能:

/、1

丫=一机|。+帆2g（］）'）+］

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有:

T+V=-(m}+-w2+：%)：/一叫++g女(3丁尸=E

上式求导，得系统的微分方程为：

..k厂,

"----------i-------j—y=E

4Q%]+-)

固有频率和周期为:

k

①。=~11~~~

4(/n,+-w2+-/M3)

2、质量为7力的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有AO

不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为，吸的物块B

上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A,

绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用

能量法求系统的固有频率。

解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物8的位移

x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x=0,此时系统的势能为零。

2

7\=-m2x

物体B动能：2

1.1.

y=-x(0=X

轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为'2,角速度为2R,转过的角度

0=—x

为2R。轮子动能:

—tn.vj+—Jco2=—m.(—x2)+—(—m,R2X—x2)=—(-zn,x2)

2…22142214R2281

系统势能:

V=-kx；=-k(3R)2=-k(—xR)2=-x

2'222R8

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有:

T+V=—+m)x2+—x2=E

28228

上式求导得系统的运动微分方程:

x+———x=0

3g+8叫

固有频率为:

2k

5=

3根1+8加2

第二题（20分）

I、在图示振动系统中，重物质量为〃?，外壳质量为2〃?，每个

弹簧的刚度系数均为鼠设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响

系数方法：（1）以为和X2为广义坐标，建立系统的微分方程;

（2）求系统的固有频率。

解：

系统为二自由度系统。

当xl=l,x2=0时，有：kll=2k,k21=-2k

当x2=l,x2=l时，有：k22=4k,k12=-2k

因此系统刚度矩阵为：

2k-2k

-2k4k

系统质量矩阵为:

in0

02m

系统动力学方程为:

m02k-2k0

+

02mx-2k4k0

一」J42一

频率方程为:

2k-tnco1-2k

△3)==0

-2k4k-2m(o~

解出系统2个固有频率:

691~=(2—V2)—0)2=(2+V2)—

mm

2、在图示振动系统中，物体A、8的质量均为〃?，弹簧

的刚度系数均为k,刚杆AD的质量忽略不计，杆水平

时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）

以即和X2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）

系统的固有频率方程。

解：

系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅

垂方向的位移H和X2为系统的广义坐标。

当xl=l,x2=0时，AD转角为°=1/3L,两个

—kL-kLI

弹簧处的弹性力分别为攵依和2女在。对D点取户上十

D」

,14fr

K]]=——KL...kx\

力矩平衡，有：9；另外有"21=一攵七。

同理，当x2=l,x2=l时，可求得:

k”—kLkl2=—kL

因此，系统刚度矩阵为:

—kL-kL

9

-kLkL

系统质量矩阵为：

m0

0m

系统动力学方程为:

moTx,-O

0-kL0

频率方程为:

14kL、

---------tnco~-kL

9=0

-kLkL-tnco2

即；

22

9626y4_23kmLco+5kLr=0

第三题（20分）

在图示振动系统中，已知：物体的质量加、加2及弹簧的刚度系数为斯、依、心、心。（1）采

用影响系数方法建立系统的振动微分方程；

（2）若ki=k3=h=5,又22=2依，求系统固有

h

频率；（3）取心=1,m产8/9,利2=1，系统初7尢

AAAAAA

始位移条件为xi（0）=9和x2（0）=0,初始速度都

为零，采用模态叠加法求系统响应。

解：再J『"""""

（1）系统可以简化为二自由度振动系统。

当xl=l,x2=0时，有：

kll=kl+k2+k4,k21=-k2

当x2=l,x2=l时，有：k22=k2+k3,kl2=-k2。因此，系统刚度矩阵为:

系统质量矩阵为:

0

0m2

系统动力学方程为:

左］+&+%4

一k?

(2)当占=自=怎=&。，自=2勺时，运动微分方程用矩阵表示为:

0x+4ko一2。x,0

0m2x2-2ko3k。x20

频率方程为:

(4勺-町疗)(3^0-niyCO1)-=0

4

mxfn2co—(3/?2,+4帆2)自02+84：=0

求得：

可2_—©叫+4叫一q9喈-8一］啊+1)

2mlm2

a)2=-------(3町+4m2+J9tn^-Sm］m2+1)

2tnxtn2

(3)当心=1,机i=8/9,=1时，系统质量阵:

一8

-o

M=9

I01

系统刚度阵：

「4-21

K=

-23_

固有频率为：

23

例/a=6

主模态矩阵为:

主质量阵：

3

-O

M0=❿丁MG=2

03

主刚度阵：

一9

T-

=040

0

18

模态空间初始条件:

4(0)司(0)4（0）

%(0)x2(0)生（0）

模态响应:

认+说q、=0q2+(o^q2=0

即：

q、(t)=4cos%⑺=-4cos6y2r

因此有:

〜叫=办"）3cos。/+6cos的

七⑺「［%”）

4cos卯一4cosg/

第四题（20分）

一匀质杆质量为m,长度为L,两端用弹簧支承，弹簧

的刚度系数为如和k2。杆质心C上沿x方向作用有简

谐外部激励⑥口电。图示水平位置为静平衡位置。（1）

以x和夕为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振

动微分方程；（2）取参数值为m=12,L=\,ki=1,k2=3,求出系统固有频率；（2）系统参

数仍取前值，试问当外部激励的频率切为多少时，能够使得杆件只有6方向的角振动，而

无x方向的振动？

解：

（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选X、g为广义坐标，X为质心的纵向位移，q为

刚杆的角位移，如图示。

当x=l。=0时:

k、i=k、+k2,右="2-呜

当x=°、0=1时:

LU

k”=（22—占）3%22=（k[+^2）—

——

kx1kn▼k21

因此，刚度矩阵为:

（攵2-匕）亨

k}+k2

K=L

（匕+&）彳

（女2-匕）万

质量矩阵为：

tn0

M=1

0n—m

L12

系统动力学方程:

k

m0冗+2sinsf

0ml:氏-k、）g0

（2）当m=12,L=,的=1,33时,系统动力学方程为:

120]「＜[「4sineyr

+

:][:]0

频率方程为:

4-1碗1

=0

11一就

即:

1温-16tw；+3=0

求得：

4±V7

x

-sin"

（3）令1'」［0」,代入上述动力学方程，有：

-4-12^21Txirr

1l-<y2同11。一

由第二行方程，解得1-3-,代入第一行的方程，有:

’（4-126?2）-1）=-［（4-126y2）一口

9

要使得杆件只有°方向的角振动，而无“方向的振动，则需元二°,因此口=1。

第五题（20分）

如图所示等截面悬臂梁,梁长度为L,弹性模量为E,y

横截面对中性轴的惯性矩为I,梁材料密度为

在梁的。位置作用有集中载荷尸⑺。已知梁的初始,a

<------------->

条件为：y（x,。）=ZU）,义工，。）=AU）O（i）-------------

推导梁的正交性条件；（2）写出求解梁的响应义演'）的详细过程。

（假定已知第邛介固有频率为例，相应的模态函数为0（%）,i=l~8）

提示：梁的动力学方程为：dx2