数学同步训练：指数函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.1.2指数函数5分钟训练1.下列关于自变量x的函数中,是指数函数的是(）A.y=(a+1)x(a＞-1且a≠0）B.y=(-3）xC.y=-（-3）xD。y=3x+1答案：A解析：∵a＞-1且a≠0，∴a+1＞0且a+1≠1,∴y=(a+1）x(a＞—1且a≠0）为指数函数。2.函数y=a|x|(a＞1)的图象是（）答案:B解析：函数f(｜x|）是偶函数,应先画出x≥0时f（x)的图象,然后沿y轴翻折过去,得到x＜0时函数的图象。当x≥0时，y=a|x|=ax的图象过（0，1）点,在第一象限,图象下凸，是增函数，故选B。3.已知f（x）=3-ax+1的图象恒过定点P，则点P的坐标为(）A。（0，3）B.(-1，2）C。（-1，3)D.（3，—1）答案:B解析：由y=ax的图象恒过（0，1)点，可知当本题中的x+1=0即x=—1时，y=2,与a的取值无关.由x=—1时，y=3-a0=2得定点P(—1,2），故选B。4。函数y=2x的图象与函数y=0。5x的图象关于____________对称;函数y=2x的图象与函数y=—2x的图象关于____________对称.答案：y轴x轴10分钟训练1。已知镭经过100年剩留原来质量的95.76％,设质量为1的镭经过x年后剩余量为y，则x、y之间的函数关系式是()A.y=0。9576xB.y=0。9576x—1C.y=D。y=答案：C解析：依题意有：100年后质量为1的镭剩余量y1=1×95.76%，200年后质量为1的镭剩余量为y2=1×95.76％×95.76％,…,∴x年后，y=，故选C。2。函数f(x)=ax—b的图象如图所示，其中a、b为常数,则下列结论正确的是(）A.a＞1,b＜0B。a＞1,b＞0C。0＜a＜1，b＞0D。0＜a＜1,b＜0答案:D解析：由题图可知,函数f（x）=ax-b是单调递减的，∴0＜a＜1.又由于函数图象与y轴的交点在点（0，1）的下方,即函数f（x)=ax—b的图象是由函数f（x)=ax的图象向左平移得到的，∴—b＞0,即b＜0.3.函数y=的定义域是（）A。［0，+∞)B.（-∞，0］C。[1，+∞）D.(-∞，+∞)答案：B解析：要使函数有意义,必须1—3x≥0,即3x≤1,3x≤30，∴x≤0,∴函数的定义域是（-∞,0］。4.（2007山东日照实验高中《函数》过关测试，12）下列说法不正确的是（）A.函数y=（a＞0，a≠1）是奇函数B。函数f(x)=（a＞0，a≠1)是偶函数C。若f（x)=3x，则f(x+y）=f(x）f(y）D。若f(x）=ax（a＞0，a≠1），且x1≠x2，则[f（x1)+f（x2)］＜f（)答案:D解析：由函数的凹凸性可知D不成立。5。已知函数y=a2x+2ax-1（a＞0,a≠1)在区间［—1，1］上的最大值是14，则a的值为____________。答案:3或解析：y=a2x+2ax-1=(ax+1）2—2，∵函数y=a2x+2ax—1在［-1,1］上的最大值是14，∴(ax+1）2的最大值为16.当a＞1,x=1时,（a+1)2=16，得a=3;当0＜a＜1，x=—1时，（+1）2=16,得a=.6.求下列函数的单调区间和值域.(1)y=；（2)y=a2x—2ax—1（a＞0,a≠1）。解：(1)设y=3u，u=-x2—x。则y随u的增大而增大，随u的减小而减小,u的增区间即是y的增区间,u的减区间即为y的减区间.u=-x2—x=-（x+）2+在(-∞，］上递增，在（,+∞)上递减。∴y=的增区间为（—∞，］,减区间为(,+∞)。∵u=—x2-x≤,∴0＜y=≤,即函数y=的值域为(0，].(2)y=(ax—1)2-2（a＞0，a≠1）,设u=ax。∵y=（u-1)2—2在u∈[1，+∞）时是关于u的增函数,在u∈（—∞,1）时是关于u的减函数，∴当ax≥1时,原函数的单调性与u=ax的单调性相同；当ax＜1时,原函数的单调性与u=ax的单调性相反.若a＞1,ax≥1x≥0,ax＜1x＜0，∴在［0，+∞)上,函数y=a2x-2ax—1是增函数；在(-∞，0）上,函数y=a2x—2ax-1是减函数。∵ax＞0，∴函数值域是［-2，+∞）。30分钟训练1。已知＜（)b＜（)a＜1，则(）A。a＞b＞1B.0＜b＜a＜1C。b＞a＞1D.0＜a＜b＜1答案：D解析：不等式＜（）b＜(）a＜1即为＜(）b＜(）a＜（)0，根据指数函数的单调性即可得指数a、b、0、1的大小关系.根据指数函数y=()x在R上是减函数，得0＜a＜b＜1。选D.2。若函数y=ax—（b+1)（a＞0,a≠1)的图象在第一、三、四象限，则有（)A。a＞1且b＜1B。a＞1且b＞0C.0＜a＜1且b＞0D.0＜a＜1且b＜0答案:B解析：指数函数y=ax的图象如图所示。由图象可以看出a＞1，-(b+1）＜-1（向下平移一个单位)，即b＞0。故选B.3.函数y=（0＜a＜1)的图象的大致形状是（）答案:D解析:y=4.一种单细胞生物以一分为二的方式进行繁殖,每三分钟分裂一次，假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中,恰好一小时这种细胞充满容器，假设开始将两个细胞放入容器,同样充满容器时间是（）A.27分钟B。30分钟C.45分钟D。57分钟答案:D解析:设要经过时间为x,由2×=220，得x=57.5。若函数f(x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A。(1，+∞）B。(1，8）C。(4，8）D。［4，8)答案：D解析:由f(x)在R上是单调递增函数知a＞1，4—＞0，a1≥4-+2同时成立，解不等式组得a∈［4，8)。6.（探究题）指数函数①f（x）=mx，②g(x）=nx满足不等式0＜m＜n＜1,则它们的图象是（）答案：C解析：令x=1,①②对应的函数值分别为m和n，由0＜m＜n＜1,可知应选C。7。若x1、x2为方程2x=的两个实数解,则x1+x2=_______________。答案：-1解析：由题意得2x=,即x=,化简得x2+x—1=0.由韦达定理可知x1+x2=-1。8。已知集合An={x|2n＜x＜2n+1，且x=7m+1,m、n∈N*｝,则A6中各元素之和为_______________。答案:891解析：当n=6时，64＜x＜128,A6中的各元素为:71，78,85，92,99,106，113,120,127，其和为891。9。（创新题）已知f(x）=x（+)。(1)求函数的定义域;(2)判断函数f(x）的奇偶性；（3)求证:f(x）>0.答案:（1）解:由2x-1≠0,得x≠0，∴函数定义域为{x|x∈R,且x≠0}.(2）解：在定义域内任取x，则-x在定义域内,则有f（—x)==，而f（x）=,∴f（—x）=f（x）.∴函数f（x）为偶函数。(3)证明：当x＜0时,由指数函数的性质知0＜2x＜1,-1＜2x—1＜0。∴＜-1。∴。又x＜0,∴f(x)=（+)x＞0.由f（x）为偶函数，当x＞0时，f(x)＞0。总之，x∈R且x≠0时，函数f（x)＞0。10.设函数f（x)是定义在R上的增函数,且f（x）≠0,对于任意x1、x2∈R，都有f(x1+x2）=f（x1）·f（x2).（1）求证:f(x1-x2)=；（2）若f（1）=2，解不等式f（3x）〉4f（x）。答案:（1)证明：∵f（x1）=f（x1-x2+x2)=f（x1—x2)·f(x2