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专题三利用递推公式求数列的通项公式2025年高考一轮总复习第四章

数列题型一an＋1＝an＋f(n)型(累加法)题型二an＋1＝anf(n)(累乘法)[例2]若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝________.[例3]在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝____________.解析：an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，答案：2×3n-1－1又因为a1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，所以an＋1＝2×3n-1，an＝2×3n-1－1.【反思感悟】由递推关系求数列的通项公式的常用方法[例4](1)已知正项数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋2n+1，则an＝()A.n·2n-1

B.(n＋1)·2nC.n·2n+1

D.(n－1)·2n答案：B(2)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝(

)A.－3×2n-1

B.3×2n-1C.5n＋3×2n-1

D.5n－3×2n-1答案：D方法二，设an＋1＋k·5n+1＝2(an＋k×5n)，则an＋1＝2an－3k×5n，与题中递推公式比较得k＝－1，即an＋1－5n+1＝2(an－5n)，所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列.则an－5n＝－3×2n-1.故an＝5n－3×2n-1.故选D.题型五an＋1＝pan＋qan－1型通性通法：可化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，化简后与原式系数对比，求得x1，x2的值，得到新数列{an＋1－x1an}的性质.

通性通法：等号左右同时取倒数，视具体情况选取适当的构造法解题.【互动探究】1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝(

)A.2n－1B.2n-1＋1C.2n－1D.2(n－1)解析：方法一，∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又答案：Aa1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.故选A.方法二，∵a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝3，a3＝7，a4＝15.由a1＝1，排除D；由a3＝7，排除B；由a4＝15，排除C.故选A.

2.(2023年广州市调研)如图3-1所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….记各层球数构成数列图3-1解析：由题意可得{an＋1－an}是首项为2，公差为1的等差数列，则an＋1－an＝2＋n－1＝n＋1.可得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋上式对n＝1也

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