2025届高三数学一轮总复习 第四章 第二讲 等差数列及其前n项和配套课件

第二讲等差数列及其前n项和2025年高考一轮总复习第四章

数列1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.a＋b

2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 3.等差中项如果A＝2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的前n项和公式5.等差数列的前n项和公式与函数的关系(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*).6.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn

存在最小值.

考点一等差数列基本量的运算1.已知{an}是等差数列，且满足S10＝10，S30＝18，则S20＝()A.14B.15C.16D.17

解析：∵{an}是等差数列，且满足S10＝10，S30＝18，由等差数列的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴10，S20－10，18－S20成等差数列，∴2(S20－10)＝10＋18－S20，解得S20＝16.故选C.答案：C2.(2023年全国甲卷文科)记Sn

为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝( A.25 C.20

) B.22D.15答案：C3.(2023年广州市校级期中)若前n项和为Sn

的等差数列{an}满足a5＋a7＝12－a9，则S13－2＝()A.46B.48C.50D.52答案：C4.(2022年全国乙卷文科)记Sn

为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.解析：∵2S3＝3S2＋6，答案：2∴2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，∵{an}为等差数列，∴6a2＝3a1＋3a2＋6，∴3(a2－a1)＝3d＝6，解得d＝2.【题后反思】解决等差数列运算问题的思想方法

(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn

五个量，可“知三求二”.(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、简化解题过程.考点二等差数列的判定与证明方法解读适合题型定义法若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列【题后反思】等差数列的判定与证明的方法【变式训练】n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn

的最小值.(1)证明：由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n，①把n＋1代入①式，得2Sn＋1＋(n＋1)2＝2(n＋1)·an＋1＋n＋1，②②－①可得2an＋1＝2(n＋1)an＋1－2nan－2n，整理得an＋1＝an＋1，由等差数列定义有{an}为等差数列.

考点三等差数列性质的应用考向1等差中项的性质[例2](1)(2022年淄博市模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9＝(

)A.72B.36C.18D.9答案：BA.4B.6C.8D.10答案：C考向2等差数列前n项和的性质[例3](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A.35B.42C.49D.63

解析：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10

成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42.故选B.

答案：B答案：A【题后反思】利用等差数列的性质解题的两个关注点

(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m. (3)用待定系数法时，Sn

应设为关于n的、没有常数项的二次函数.【考法全练】1.(考向1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()A.20B.22C.24D.8

解析：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故选C.

答案：C2.(考向2)Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S14－S9＝8，则S23

的值为____________.⊙等差数列的前n

项和及其最值[例4](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＜0，a4＋a9＞0，则使得不等式Sn＜0成立的最大的n的值为()A.9B.10C.11D.12答案：C【规律方法】求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.

(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn

的最值.【高分训练】