2025届高三数学一轮总复习 第三章 第八讲 解三角形应用举例配套课件

第八讲解三角形应用举例2025年高考一轮总复习第三章

三角函数、解三角形术语名称术语意义图形表示仰角与 俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角测量中的有关术语术语名称术语意义图形表示方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°(续表)术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：(续表)【名师点睛】易混淆方位角与方向角的概念

(1)方位角是指北方向线按顺时针旋转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.(2)“方位角”与“方向角”的范围：方位角大小的范围是[0°，360°)，方向角大小的范围是[0°，90°).

考点一距离问题

[例1](2023年厦门市期末)一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了4km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了6km到达C地，再从C地向北偏东30°方向骑行了16km到达D地，则A，D两地的距离为()

解析：如图3-8-1，由题意可得AB＝4，BC＝6，CD＝16，∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，

图3-8-1在△ACD中，由余弦定理可得故选B.答案：B

【变式训练】

(2023年种田地区校级期末)如图3-8-2，为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，则C，D间的距离为(

)图3-8-2解析：因为∠ABD＝60°，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以AB＝BD＝DA＝2，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝105°，所以∠ACB＝30°，在△ACD中，∠CAD＝105°－60°＝45°，所以CD＝2，即C，D间的距离为2km.故选B.答案：B

考点二测量高度问题

[例2](2023年开封市期末)如图3-8-3，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两图3-8-3答案：C

【变式训练】

(2023年东莞市校级月考)和谐钟塔位于江西省赣州市章贡区赣州大桥东岸引桥南侧，有四个直径达12.8米的钟面.小赵同学经过和谐钟塔时，想利用正弦定理的知识测量该钟塔的高度.如图3-8-4，他在该钟塔塔底B点的正西处的C点测得该钟塔塔顶A点的仰角为30°，然后沿着东偏南67°的方向行进了180.8m后到达D点(B，C，D三点处于同一水平面)，且B点在D点北偏东37°的方向上，则该钟塔的高度为________m.(参考数据：取sin53°≈0.8)图3-8-4解析：如图D20，图D20∠BCD＝67°，∠CDB＝90°－67°＋37°＝60°，则∠CBD＝180°－60°－67°＝53°.答案：113考点三测量角度问题

[例3]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.解：如图3-8-5，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，图3-8-5则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.【反思感悟】

(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. (2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.【变式训练】

(2023年梅州市期末)十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图3-8-6(1)所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图3-8-6(2)，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD(称为太阳高度角)，最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.(1)(2)

图3-8-6若在一次测量中，AE＝60，横档CD的长度为30，则太阳高度角的正弦值为()A.

417B.

817C.1317D.1517

解析：由题意知，AE垂直平分CD，答案：B⊙解三角形中的综合问题【反思感悟】

(1