专题06向量压轴题型全

专题06向量压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"13"\h\u【典型例题】 1【考点一向量中基本概念的识别】 1【考点二向量中有关模的计算】 2【考点三三角形中有关向量的线性表示】 2【考点四四边形中有关向量的线性表示】 3【考点五平面向量中有关分向量的作图】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一向量中基本概念的识别】【例题1】下列等式中不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性计算，逐一进行判断即可．【详解】解：A.，原式错误；B.，正确；C.，正确；D.，正确；故选：A．【点睛】本题考查向量的线性计算．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【变式1】下列关于向量的等式中，正确的是（

） B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的模的定义，以及零向量的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；

B.，故该选项正确，符合题意；

C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了向量的模的定义，以及零向量的定义，熟练掌握平面向量的相关定义是解题的关键．【变式2】已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．B、，计算正确，故本选项符合题意．C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【考点二向量中有关模的计算】【例题2】在矩形中，，则向量的长度为（） B． C． D．【答案】A【分析】在矩形中，，，，则，，由勾股定理求得，由即可得到答案.【详解】解：如图，在矩形中，，，，，，，，向量的长度为，故选：A【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是熟练掌握矩形的性质和三角形法则.【变式】．已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（

） B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的性质得到，，从而得到．【详解】解：根据题意知，，，则，，则，观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．【考点三三角形中有关向量的线性表示】【例题3】如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（

） B． C． D．【答案】D【分析】由，求得的值，然后结合平面向量的三角形法则求得的值．【详解】解：∵，∴．∵，∴．又，∴．故选：D．【点睛】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应用．【变式1】如图，已知在中，点在边上，，，，那么．（用含向量和的式子表示）

【答案】【分析】利用三角形法则可知：，求出即可解决问题．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．【变式2】如图，已知在中，点D是边的中点，设，，用向量、表示向量，【答案】【分析】由点D为边的中点，根据即可求得；【详解】解：∵，，点D是边的中点，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了平面向量的知识，解题的关键是三角形法则的应用．

【考点四四边形中有关向量的线性表示】【例题4】如图，的对角线AC、BD相交于点O，设，，用向量、表示向量．【答案】【分析】根据平行四边形的性质和三角形法则，进行求解即可．【详解】∵四边形是平行四边形∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查向量的线性计算，熟练掌握三角形法则是解题的关键．【变式1】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O．设，，那么向量用向量、表示为．

【答案】【分析】根据平行四边形的性质和三角形法则，进行求解即可．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．【变式2】如图，已知梯形，，点在底边上，．如果设，，那么．（用向量，的式于表示）【答案】/【分析】由，，可推出四边形是平行四边形，则，再由可得，根据，即可得到答案．【详解】解：，，四边形是平行四边形，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．【考点五平面向量中有关分向量的作图】【例题5】如图，在梯形ABCD中，，E是CD的中点，且，与交于点．(1)若，，请用，来表示、；(2)请直接在图中画出在，方向上的分向量．【答案】(1)，．(2)见解析【分析】（1）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可；（2）利用平行四边形法则画出图形即可．【详解】（1），，，是的中点，，，，，，；（2）过点作交于点，，即为所求．【点睛】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．【变式1】如图，在中，AD与CE分别是BC和AB边上的中线，AD与CE交于点G，已知，．(1)试用、的线性组合表示向量．(2)求作；向量分别在、方向上的分向量．【答案】(1)(2)详见解析【分析】(1)利用三角形法则解决问题即可；(2)利用平行四边形法则解决问题即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵AD与CE分别是BC和AB边上的中线，∴，∴．（2）解：如图，连接DE，作交AC于点N，即为向量分别在、方向上的分向量．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则和平行四边形法则．【变式2】如图，已知在△ABC中，，，点D是边BC上的一点，．(1)试用和表示，即=______；(2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示．（写出结论，不要求写作法）．【答案】(1)(2)见解析，，．【分析】（1）利用三角形法则求出，再结合已知可得答案；（2）作，，则、即为所求；易证四边形是平行四边形，可得，，然后根据平行线分线段成比例求出，，进而可得答案．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵，∴，∴，故答案为：；（2）解：如图，作，，则、即为所求，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，．【点睛】本题考查了向量的运算，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握三角形法则是解题的关键．【变式3】如图，已知：在中，点E、F在对角线上，且．(1)在图中画出向量的差向量并填空：__________；(2)图中与平行的向量是：__________；(3)若，，，用，，表示__________．【答案】(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则求解即可；（2）根据平行向量的定义判断即可；（3）利用三角形法则求解即可．【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，，故答案为：；（2）解：图中与平行的向量是或，故答案为：或；（3）解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则．【过关检测】一．选择题1.如图，梯形中，为对角线与的交点，那么下列结论正确的是（

）

B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的定义与运算法则即可判断各选项．【详解】解：∵梯形中，，∴，故A不符合题意；，故B符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是向量的线性运算，熟记运算法则是解本题的关键．2．下列说法正确的是（

）A．如果为单位向量，那么 B．如果，那么C．如果都是单位向量，那么 D．如果，那么【答案】B【分析】向量有方向，大小，加减运算，根据相关的概念和运算方法即可求解．【详解】解：选项，如果为单位向量，且与的方向相同，那么，故不符合题意；选项，如果，大小相同，方向相反，那么，故符合题意；选项，如果都是单位向量，那么，方向不确定，故不符合题意；选项，如果，那么，模相等，方向不确定，故不符题意．故选：．【点睛】本题主要考查向量的基本知识，掌握向量的大小，方向，模的基础知识是解题的关键．3．下列说法中不正确的是（

）A．如果、为实数，那么B．如果或，那么C．如果，且，那么的方向与的方向相同D．长度为1的向量叫做单位向量【答案】C【分析】由平面向量的性质，即可得A与B正确，又由长度为l的向量叫做单位向量，可得D正确，向量是有方向性的，所以C错误．【详解】解∶A、根据向量的性质得，故本选项正确；B、如果或，那么，故本选项正确；C、因为向量是有方向性的，所以C错误；D、长度为l的向量叫做单位向量，故本选项正确．故选∶C．【点睛】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．4．下列命题正确的个数是（

）①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量；②如果，，那么的模是；③如果，或，那么；④如果，的方向与的方向相反．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据实数与向量的乘积结合向量的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】解：①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量，故①正确；②如果，，那么的模是，故②正确；③如果，或，那么，故③错误；④如果，的方向与的方向相反，故④错误，故选：B．【点睛】本题考查了实数与向量的乘积，熟练掌握平面向量的定义是解题关键．5．下列说法中不正确的是（

）A．B．对于非零向量、、，，，则C．若，那么或D．若、均为单位向量，那么【答案】C【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【详解】A．，说法正确，不符合题意；B．对于非零向量、、，，，则，说法正确，不符合题意；C．若，那么或，说法错误，模相等的两个向量不一定平行，符合题意；D．若、均为单位向量，那么，说法正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．下列判断正确的是（

）A．如果，那么； B．若向量与均为单位向量，那么C．如果，那么 D．对于非零向量，如果，那么【答案】D【分析】根据相等向量，平行向量的定义一一判断即可．【详解】解：A、错误，模相等的两个向量不一定相等，不符合题意；B、错误，两个单位向量，不一定相等，因为方向不一定相同，不符合题意；C、错误，应该是，不符合题意；D、正确，根据平行向量的特征判定可得，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查平面向量，平行向量，相等向量等知识，解题的关键是掌握相等向量，平行向量的定义，属于中考常考题型．二.填空题7.如图，已知梯形，，点在底边上，．如果设，，那么．（用向量，的式于表示）

【答案】/【分析】由，，可推出四边形是平行四边形，则，再由可得，根据，即可得到答案．【详解】解：，，四边形是平行四边形，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．8．如图，，、交于点，，设，，那么向量用向量、表示为．

【答案】【分析】根据，证明，根据相似三角形的性质得出，根据三角形法则得出，进而即可求解．【详解】解：∵，∴，∴∵，∴∴∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平面向量的线性运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．9．如图，已知点G是的重心，设，那么用可表示为．

【答案】【分析】根据三角形重心的性质得出D点是边的中点，求出，再由向量的加法法则求出，然后根据G是的重心即可求出．【详解】如图，D点是边的中点，G是的重心，∵，，D点是边的中点，∴，∴，∵G是的重心，∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角形的重心，向量的计算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为．

【答案】/【分析】根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解．【详解】解：如图，连接∵、分别是的两条中线，∴，是的中位线∴，∴∴∴∴，∵，，∴，，∴，故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则是解题的关键．11．如图，在中，中线、交于点，设，，那么向量用向量，表示为．【答案】【分析】根据重心的性质可得，利用三角形法则求出，进而可得结果．【详解】解：∵中线、交于点，∴，∴，∵，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．12．如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么．（结果用、表示）

【答案】【分析】由，即可证得，又由，即可求得和，再运用向量的和差即可求得．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查向量的和差、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想的应用以及明确向量是有方向的是解题的关键．13．如图，在中，点在边上，且，交于点，如果，，用向量、表示向量＝．

【答案】【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，根据已知得出，,进而根据三角形法则表示出，进而即可求解．【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，向量的线性运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．如图，在平行四边形中，为对角线，E是边的中点，连接．如果设，，那么（含的式子表示）．【答案】【分析】由，可得，由E是边的中点，可得，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∵E是边的中点，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是向量的加减法运算，理解运算法则是解本题的关键．15．如图，已知四边形中，点、、分别是对角线、和边的中点．如果设，，那么向量（用向量、表示）．【答案】【分析】先证明分别是的中位线，从而得到，，则．【详解】解：∵点、、分别是对角线、和边的中点，∴分别是的中位线，∴，∵，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，向量的运算，证明分别是的中位线是解题的关键．16．如图，已知、分别是的边、上的点，且，联结，如果，，当时，那么．（用含、的式子表示）【答案】【分析】利用平行线分线段成比例定理，向量的计算解答即可．【详解】∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，向量的计算，熟练掌握定理，向量的计算是解题的关键．三、解答题17．如图，在中，点、分别在边、上，，，，.

(1)求的长；(2)过点作交于，设，，求向量（用向量、表示）.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，，可得，即可证得，然后相似三角形的性质，即可求得的长；（2）由，可得，再由三角形法则，即可求得答案．【详解】（1）解：，，，，，又∴，；（2），∴，．

【点睛】此题考查了平行向量的知识以及相似三角形的判定和性质．注意掌握三角形法则以及平行四边形的法则的应用是解此题的关键．18．已知：如图矩形中，和相交于点，设，．

(1)填空：______；（用、的式子表示）(2)在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可．）【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）先将用，表示后，载由数量积的定义计算即可；（2）利用三角形法则画出图形即可．【详解】（1）∵，，，∴，故答案为：．（2）如图：即为所求；

作法：延长到点，使得，∵，，则．【点睛】本题考查作图，矩形的性质，平面向量等，解题的关键是掌握三角形法则，19．如图，已知在平行四边形中，点E、F分别在边上，且，，连接．

(1)写出与相等的向量______；(2)填空_____；(3)求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，请说明哪个向量是所求作的向量）【答案】(1)(2)或(3)见解析【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后求出，再根据向量的定义即可解答；（2）求出，连接，根据向量的三角形法则可得，再根据，再利用三角形法则求解即可；（3）过点A作，取，根据向量的三角形法则求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴与相等的向量是．故答案为．（2）解：如图，连接AF，

∵，，∴，∴，∵，∴，又∵∴或．故答案为：或．（3）解：如图：即为所求作的．

【点睛】本题主要考查了平面向量、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形法则与三角形法则是解题的关键．20．如图，已知，平分交于点C，平分，交于点D，交于点O，连接．

(1)设，．试用向量、表示下列向量：______，______，______，______．(2)如果，，那么______．【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）根据向量的和差并结合图形即可解答；（2）先说明为等边三角形，再解直角三角形可得，最后根据即可解答．【详解】（1）解：，，,．故答案为：，，，．（2）∵，,平分交于点C，∴,∵平分交于点C，∴,∴为等边三角形，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了向量的的运算，掌握向量的运算法则是解答本题的关键．21．如图，点在平行四边形的边的延长线上，且，与交于点．设．