数学同步优化训练：平面向量的正交分解坐标表示、平面向量的坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3.2平面向量的正交分解2。3。3坐标表示、平面向量的坐标运算5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1。若向量a=(3，2）,b=(0,—1),则向量2b—a的坐标是（)A.（3，—4）B.（—3，4）C.(3，4）D。（—3，—4)解析:2b—a=2（0，-1）—（3，2）=(0，—2)-(3，2）=(—3，-4).答案：D2。已知作用在A点的三个力F1=(3,4），F2=(2，—5），F3=（3，1)且A（1，1）,则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为__________________________.解析：F=(3，4)+(2,-5）+(3,1）=（8，0).设终点为D(x,y），则：F=，即（8,0)=（x-1，y-1)，所以所以终点为（9,1).答案：(9,1）3.已知x轴的正方向与a的方向的夹角为60°，且|a｜=4，则a的坐标为________________.解析：设a=(x，y),x=｜a|cos60°=4×=2，y=｜a｜sin60°=4×.答案：(2，）4。已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（—2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)，N(-1，—2），求平行四边形的各个顶点坐标.解：设其余三个顶点的坐标为B(x1，y1）,C（x2,y2)，D（x3，y3)。因为M是AB的中点，所以3=，0=。解得x1=8，y1=-1.设MN的中点O′（x0，y0），则x0==1，y0==-1，而O′既是AC的中点,又是BD的中点，所以x0=，y0=,即1=，-1=。解得x2=4,y2=-3。同理，x3=—6，y3=-1.所以B（8，—1），C(4，—3)，D(-6，—1）。10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1.若向量a=（1,1），b=(1，-1)，c等于（—1,2),则c等于（）A.a+bB。a-bC.abD.a+b解析：根据平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示的结论，再结合待定系数法可求。答案：B2。已知ABCD中,=(3，7)，=（—2，3）,对角线AC、BD交于点O,则的坐标为（)A。(，5)B.（，5）C.（,—5）D.（，—5)解析：如图所示,=(-2，3)+(3,7)=(1，10).∴==(，5）.∴=（,-5）.答案：C3。已知点A（，1），B（0，0），C（，0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,那么有=λ,其中λ等于()A。2B.C。—3D。—解析:∵AE为∠BAC的平分线，∴==2。∴=.∴.答案:C4.若将向量a=（，1)按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为_________________。解析：由三角函数的定义，可知a与x轴正向的夹角为，按逆时针方向旋转到OP的位置，易知|OP｜=2，∠xOP=120°。根据三角函数的定义，OA=2cos120°=-1,AP=2sin120°=，所以b=（-1，）。答案：(-1,）5.已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正向上，则向量的坐标为___________________.解析：根据题意建立坐标系如图,则A(0，0），B(1,0)，C（1，1），D（0，1).∴=（1，0)，=(0,1),=(1，1）。∴=(2,0)+(0,3)+（1，1)=(3,4）.答案：(3，4）6.已知点O(0，0），A(1，2)，B(4,5）及.求：(1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能,求出相应的t值；若不能，请说明理由。解:（1）=（1+3t，2+3t)，若P在x轴上，只需2+3t=0,所以t=;若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=-；若P在第二象限，只需∴＜t＜-.（2)因为=（1,2)，=(3-3t，3—3t),若OABP为平行四边形，则.由于无解，故四边形OABP不能构成平行四边形.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△ABC中，已知A(2，3)、B(8，—4)，G(2,—1)是中线AD上的一点，且｜｜=2｜|，则点C的坐标为()A.(—4，2)B.(—4，—2）C.（4，—2）D。（4,2)解析:设C点坐标为（x，y),由于G是△ABC的重心，则2=，∴x=—4；-1=，∴y=—2。答案:B2。已知A（—2，4)、B(3，—1)、C(—3，—4），且,试求点M、N和的坐标。解:∵A（-2，4），B（3，—1)，C（-3，—4），∴=（—2+3，4+4）=(1，8)，=（3+3,—1+4)=（6，3)。于是=3（1，8）=（3，24)，=2(6，3)=（12,6)。设M（x，y），则有=(x+3,y+4），∴解之,得即M点的坐标为（0,20）。同理,可求得N（9,2）.因此=(9-0，2—20）=（9，-18）。故所求的点M、N的坐标分别为（0,20)，（9，2），的坐标为(9，-18）.3.如图2—3-图2-3解：∵A（7，8)、B（3，5)、C(4，3），∴=(3—7，5—8）=（-4，—3)，=（4-7,3—8)=(—3，-5).又∵D是的中点，∴=（）=(，—4)。又∵M、N分别为AB、AC的中点，∴F为AD的中点.∴==(，2).4。用坐标法证明=0.证明：设A（a1，a2）,B（b2，b2），C（c1，c2),则=(b1-a1，b2—a2），=（c1-b1,c2—b2），=（a1-c1，a2-c2）.∴=（b1-a1，b2-a2)+(c1-b1，c2—b2)+(a1-c1，a2—c2）=（0，0)=0。∴=0。5。已知点A(2，3)，B(5，4),C(7，10），若(λ∈R），试求λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上?点P在第三象限内？解:设点P的坐标为(x，y），则=（x，y）-(2,3)=（x—2，y-3),+λ=（5，4）—（2,3)+λ[(7，10)—(2，3）］=(3，1)+λ(5，7）=(3，1）+(5λ，7λ)=（3+5λ，1+7λ)。∵，∴(x-2，y—3）=(3+5λ，1+7λ)。∴∴∴P点的坐标为（5+5λ，4+7λ).(1）若点P在第一、三象限的角平分线上,则5+5λ=4+7λ，∴λ=.(2）若点P在第三象限内，则∴∴λ＜—1，即只要λ＜—1时，点P便在第三象限内.6.已知向量u=(x,y）与向量v=(y，2y—x)的对应关系可用v=f（u）表示。(1）证明对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f（ma+nb）=mf(a)+nf（b)成立；（2）设a=(1，1)，b=(1，0），求向量f(a）及f(b）的坐标；(3）求使f（c)=(3,5）成立的向量c.答案：（1）证明：设向量a=（x1，y1），b=(x2，y2）,则f（mx1+nx2，my1+ny2）=(my1+ny2，2my1+2ny2—mx1-nx2)，又mf(a）=（my1，2my1-mx1），nf（b)=（ny2,2ny2—nx2),所以mf(a)+nf（b)=(my1+ny2，2my1+2ny2-mx1—nx2）.所以f（ma+nb)=mf(a)+nf(b）。(2)解：f(a)=（1,1），f(b）=（0，—1)。(3)解：由得所以c=（1，3).7.如图2-图2-3解：（1)当平行四边形为ABCD时，因为，所以（4，1）=(x+2，y—1)。所以x=2，y=2，即D（2，2)。(2）当平行四边形为ACDB时，因为，所以（-1,-2）=(3—x，4—y）。所以x=4，y=6，即D(4，6)。（3)当平行四边形为DACB时，因为，所以（—2—x，1—y）=（4，1）.所以x=-6，y=0,即D（—6,0）。8.如图2-3-10，已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°。设=a,=b，=c，且｜a｜=2，｜b｜=1，｜c｜=3，试用a和b表示c图2解：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立