数学同步优化训练：平面向量基本定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3平面向量的基本定理及坐标表示2。3.1平面向量基本定理5分钟训练（预习类训练，可用于课前)1。已知AM是△ABC的BC边上的中线，若=a,=b,则等于()A.（a—b)B。(b-a)C.（a+b）D。(a+b）答案：C2。如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么（)A。若实数λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0B。空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2，这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内D。对平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、λ2有无数对解析:平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式,而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的。答案:A3。如图2—3—1，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点,且=a，=①=a—b；②=a+b；③=a+b;④=0。其中正确命题的序号为_______________________。图2-3-1解析：如图所示，=—b+=—ba,=a+b，=-b—a,+=b+（—b-a)=ba,=—ba+a+b+ba=0.所以应填①②③④。答案：①②③④4.如图2-3-2，ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，用a、b表示、、和。图2解：在ABCD中，∵=a+b,=a-b,∴=—AC=-(a+b）=—a-b，==（a-b)=a—b,==a+b，=—a+b。10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。向量，，的终点A，B,C在一条直线上，且=-3.设=p,=q，=r，则下列等式成立的是(）A.r=p+qB.r=—p+2qC.r=pqD.r=—q+2p解析：由，得,即.∴=+，即r=p+q.答案：A2.设一直线上三点A,B,P满足=λ（λ≠1），O是空间一点,则用，表示为（）A。=+λB.=λ+(1-λ)C。=D.=+解析:由=λ（λ≠1），得=λ(）,即=。答案:C3.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上（不包括端点A，C)，则等于（）A。λ（），λ∈（0，1)B。λ（)，λ∈(0,）C.λ（)，λ∈(0,1)D。λ（),λ∈（0,）解析：∵点P在对角线AC上，∴与共线。又,∴=λ(）.当P与A重合时，λ=0;当P与C重合时，λ=1。答案：A4。（2006高考安徽卷，理14）在ABCD中，=a，=b，,M为BC的中点，则=_________________（用a、b表示).解析：=+=+（)=b+[—b+(-a）］=（b-a)。答案:(b—a）5。如图2-3—3所示,四边形ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰直角三角形，F为ED中点,=e1,=e2,以e1、e2为基底，表示向量、、及.图2解:∵=e1,=e2,∴=e2—e1。依题意有：AD=2AB=DE,且F为ED中点,∴四边形ABDF为平行四边形.∴=e2-e1，=e2.∴=e2-e1+e2=2e2-e1。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后）1。在△ABC中，设=m,=n，D、E是边BC上的三等分点,则=_______________，=_____________________.解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,BE=，转化为已知向量即可。答案:m+nm+n2。平面直角坐标系中，O为坐标原点,已知两点A(3，1），B(-1,3）,若点C满足=α+β，其中，α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为________________________________.解析：将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程.答案：x+2y-5=03。如图2—3—4所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c,=d，试用c,d表示和.图2-3-4解:设=a,=b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得=b，=a.从△ABN和△ADM中可得解之,得即=（2d-c)，=(2c—d）.4.如图2—3—图2-3-5证明：M为AB中点，MH∥AF，则=x.设=a,=b，=+x,=a+2x.又E为CM的中点,==.=，==。又=(a+2x）—（）.由，(a+2x)-(）+（)=b,+x+=b,3x=b—a,x=（b-a）.=(b—a)，而=(b-a）(b-a）=(b—a）.∴.5。如图2—3—6所示的△OAB中，=a,=b，M、N分别是边、上的点,且=a,=b,设与相交于点P，用向量a、b表示。图2-3解：，.设，，则=a+m（ba）=(1—m)a+mb,=b+n（ab)=(1—n)b+na。∵a，b不共线，∴∴=a+b。6.如图2—3-图2—3—7证明：∵E是对角线AC和BD的交点，∴，。在△OAE中,,同理，，,以上各式相加，得.7.证明三角形的三条中线交于一点。证明：如图，令=a，=b为基底,则=b—a，=a+b，=b-a.设AD与BE交于点G1，并设=λ,=μ,则有=a+b-b=a+b,=a-b-μa+b=(1—μ）a+b,∴解之,得λ=μ=.∴=。设AD与CF交于点G2，