2025届黑龙江省哈尔滨市第八中学数学高一上期末学业质量监测试题含解析

2025届黑龙江省哈尔滨市第八中学数学高一上期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，，，则a、b、c的大小关系是（）A. B.C. D.2．已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（）A.a的取值范围是(0,) B.的取值范围是(0,1)C. D.3．已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.4．若函数满足，则A. B.C. D.5．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形A.①④ B.①③④C.②③ D.①③6．若，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.7．已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（）A. B.C. D.8．已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A'B'C'D'（如图所示），其中A'D'=2，B'C'=4，A'B'=1，则直角梯形DC边的长度是A.5 B.2C.25 D.9．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A.x1 B.x2C.x3 D.x410．已知函数，则函数的零点所在的区间是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设，用表示不超过的最大整数.则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则的值域为___________.12．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________.13．函数的图象与轴相交于点，如图是它的部分图象，若函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，则_________.14．已知函数其中且的图象过定点，则的值为______15．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=2，∠B'A'C'=90°，则原△ABC的面积为______16．定义在上的偶函数满足：当时，，则______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知二次函数.（1）求的对称轴；（2）若，求的值及的最值.18．已知点，，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.19．若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“罗尔区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）求函数在内的“罗尔区间”；（3）若以函数在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.20．已知：，．设函数求：（1）的最小正周期；（2）的对称中心，（3）若，且，求21．设函数.求函数的单调区间，对称轴及对称中心.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】借助中间量比较即可.详解】解：根据题意，，，，所以故选：D2、D【解析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.【详解】有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解的图象如下图示，由图知：，所以，即的取值范围是(0,＋∞)由二次函数的对称性得：，因为，即，故故选：D【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.第II卷3、D【解析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：命题的否定为：.故选：D4、A【解析】，所以，选A.5、D【解析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误故选D【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.6、A【解析】根据题意，以及指数和对数的函数的单调性，来确定a，b，c的大小关系.【详解】解：是增函数，是增函数.，又，【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数和对数函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.根据题意，构造合适的对数函数和指数函数，利用指数对数函数的单调性判定的范围是关键.7、C【解析】先判断出是直角三角形，直接求出圆心和半径，即可求解.【详解】因为三个顶点的坐标分别为，，，所以，所以，所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，所以圆心坐标为，半径故所求圆的标准方程为故选：C8、B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了45°方向的线段，且长度是原高的一半，∴原高为AB=2而横向长度不变，且梯形ABCD是直角梯形，∴DC=故选B9、C【解析】观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.10、A【解析】根据初等函数的性质得到函数的单调性，再由得答案【详解】∵函数和在上均为增函数，∴在上为单调增函数，∵，，∴函数的零点所在的区间是，故选A【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查了初等函数的性质，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】对进行分类讨论，结合高斯函数的知识求得的值域.【详解】当为整数时，，当不是整数，且时，，当不是整数，且时，，所以的值域为.故答案为：12、30°【解析】∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角).∵OC⊂平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又AO⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角度数为30°.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角13、【解析】根据图象可得，由题意得出，即可求出，再代入即可求出，进而得出所求.【详解】由函数图象可得，相邻的两条对称轴之间的距离为，，则，，，又，即，，或，根据“五点法”画图可判断，，.故答案为：.14、1【解析】根据指数函数的图象过定点，即可求出【详解】函数其中且的图象过定点，，，则，故答案为1【点睛】本题考查了指数函数图象恒过定点的应用，属于基础题.15、8【解析】根据“斜二测画法”原理还原出△ABC，利用边长对应关系计算原△ABC的面积即可详解】根据“斜二测画法”原理，还原出△ABC，如图所示；由B′O′＝C′O′＝2，∠B'A'C'＝90°，∴O′A′B′C′＝2，∴原△ABC的面积为SBC×OA4×4＝8故答案为8【点睛】本题考查了斜二测画法中原图和直观图面积的计算问题，是基础题16、12【解析】根据偶函数定义，结合时的函数解析式，代值计算即可.【详解】因为是定义在上的偶函数，故可得，又当时，，故可得，综上所述：.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）的值是，最小值是，无最大值【解析】（1）根据二次函数的对称轴公式，即可得到结果；（2）由，可求出的值，再根据二次函数的开口和对称轴，即可求出最值.【小问1详解】解：因为二次函数，所以对称轴【小问2详解】解：因为，所以.所以.所以.因为，所以开口向上，又对称轴为，所以最小值为，无最大值.18、（1）（2）【解析】（1）利用列方程，化简求得.（2）利用列方程，结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角差的余弦公式求得正确答案.【小问1详解】，，，，由于，所以.【小问2详解】若，则，，当时，上式不符合，所以，，所以，由两边平方并化简得，，所以，所以，.19、（1）；（2）；（3）存在，.【解析】（1）根据为上的奇函数，得到，再由时，，设时，则代入求解.（2）设，易知在上单调递减，则，则，是方程的两个不等正根求解（3）设为的一个“罗尔区间”，且，同号，若，由（2）可得，若，同理可求，得到，再根据集合恰含有2个元素，转化为与的图象有两个交点，即方程在内恰有一个实数根，方程，在内恰有一个实数根求解..【详解】（1）因为为上的奇函数，∴，又当时，，所以当时，，所以,所以.（2）设，∵在上单调递减，∴，即，是方程的两个不等正根，∵，∴，∴在内的“罗尔区间”为.（3）设为的一个“罗尔区间”，则，∴，同号.当时，同理可求在内的“罗尔区间”为，∴，依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，所以应当使方程在内恰有一个实数根，且使方程，在内恰有一个实数根，由方程，即在内恰有一根，令，则，解得；由方程，即在内恰有一根，令，则，解得.综上可知，实数的取值集合为.【点睛】关键点点睛：本题关键是对“罗尔区间”的理解，特别是根据在上单调递减，得到，转化为，是方程的两个不等正根求解20、（1）；（2）（k∈Z）；（3）或.【解析】（1）解：由题意，，（1）函数的最小正周期为；（2），得，所以对称中心