甘肃省兰州市一中2025届数学高二上期末学业质量监测试题含解析

甘肃省兰州市一中2025届数学高二上期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（）A. B.C. D.2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当时，，且f(-1)=0，则不等式的解集是（）A. B.C. D.3．在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A.6 B.12C.56 D.784．观察：则第行的值为（）A. B.C. D.5．椭圆的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，6．如图①所示，将一边长为1的正方形沿对角线折起，形成三棱锥，其主视图与俯视图如图②所示，则左视图的面积为（）A. B.C. D.7．函数的导函数为，若已知图象如图，则下列说法正确的是（）A.存在极大值点 B.在单调递增C.一定有最小值 D.不等式一定有解8．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B.0C.6 D.89．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则与的关系是（）A. B.C. D.10．已知直线和互相平行，则实数的取值为（）A或3 B.C. D.1或11．双曲线：的渐近线与圆：在第一、二象限分别交于点、，若点满足(其中为坐标原点)，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.12．已知向量，则（）A.5 B.6C.7 D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．千年一遇对称日，万事圆满在今朝，年月日又是一个难得的“世界完全对称日”（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把这样的对称自然数叫回文数，两位数的回文数共有个（），其中末位是奇数的又叫做回文奇数，则在内的回文奇数的个数为___14．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________15．如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为______.16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，r，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件表示“第k次取单恰好是从1号店取单（）”，是事件发生的概率，显然，，则______，与的关系式为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在正四棱柱中，是上的点，满足为等边三角形.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点坐标为，且经过点；（2）焦点在坐标轴上，经过点.20．（12分）设：实数满足，：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.21．（12分）（1）已知：函数有零点；：所有的非负整数都是自然数.若为假，求实数的取值范围；（2）已知：；：.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.22．（10分）如图，三棱锥中，两两垂直，，且分别为线段的中点.（1）若点是线段的中点，求证：直线平面；（2）求证：平面平面.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此时的的值.【详解】设为第一象限的交点，、，则、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，，即，当且仅当，即，时等号成立，此时故选：D2、D【解析】根据题意可知，当时，，即函数在上单调递增，再结合函数f(x)的奇偶性得到函数的奇偶性，并根据奇偶性得到单调性，进而解得答案.【详解】由题意，当时，，则函数在上单调递增，而f(x)是定义在R上的偶函数，容易判断是定义在上的奇函数，于是在上单调递增，而f(-1)=0，则.于是当时，.故选：D.3、D【解析】由等比数列的性质直接求得.【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：由，解得：；由可得：，所以.故选：D4、B【解析】根据数阵可知第行为，利用等差数列求和，即可得到答案；【详解】根据数阵可知第行为，，故选：B5、A【解析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求【详解】由题得方程可化为，所以所以焦点为故选：A.6、A【解析】由视图确定该几何体的特征，即可得解.【详解】由主视图可以看出，A点在面上的投影为的中点，由俯视图可以看出C点在面上的投影为的中点，所以其左视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边长为，于是左视图的面积为故选：A.7、C【解析】根据图象可得的符号，从而可得的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.【详解】由所给的图象，可得当时，，当时，，当时，，当时，，可得在递减，递增；在递减，在递增，B错误，且知，所以存在极小值和，无极大值，A错误，同时无论是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.故选：C.8、C【解析】画出可行域，利用几何意义求出目标函数最大值.【详解】画出图形，如图所示：阴影部分即为可行域，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值.故选：C9、D【解析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解.【详解】设等比数列的公比为，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故选：D10、B【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故选B【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，，则，11、B【解析】由，得点为三角形的重心，可得，即可求解.【详解】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由，得点为三角形的重心，可得，即，，即，解得.故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，三角形的重心的向量表示，属于中档题.12、A【解析】利用空间向量的模公式求解.【详解】因向量，所以，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据分类加法计数原理，结合题中定义、组合的定义进行求解即可.【详解】两位数的回文奇数有，共个，三位数的回文奇数有，四位数的回文奇数有，所以在内的回文奇数的个数为，故答案为：14、【解析】由题意设所求双曲线的方程为，∵点在双曲线上，∴，∴所求的双曲线方程为，即答案：15、【解析】根据直观图和平面图的关系可求出，进而利用面积公式可得三角形的面积【详解】由已知可得则故答案为：.16、①.②.【解析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】根据题意，事件表示“第3次取单恰好是从1号店取单”，因此；同理故答案为：；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】(1)根据题意证明，，然后根据线面垂直的判定定理证明问题；(2)以，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，求法向量的夹角，根据二面角的余弦值与法向量的夹角的余弦的关系确定二面角的余弦值.【小问1详解】由题意，，等边三角形，，∵平面ABCD，∴，则，即为中点.连接，∵平面，平面，∴，易得，则，又，于是，即，同理，即，又，平面平面.【小问2详解】由题意直线平面，四边形为正方形，故以，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.设面的法向量为，同理可得面的法向量，∴二面角的余弦值为18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果.【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，，，，，∴，.∵三棱锥和的体积比为，∴，∴，∴.设平面的法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.（2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.【小问1详解】因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，则有，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，所以所求双曲线的标准方程为.【小问2详解】依题意，设双曲线的方程为：，于是得，解得：，所以所求双曲线的标准方程为.20、（1）（2）【解析】（1）首先分别求出、为真时参数的取值范围，再由为真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依题意是的必要不充分条件，则可推出，而不能推出，即可得到不等式组，解得即可；【小问1详解】解：当时，，即，解得，即为真时，实数的取值范围为实数满足，即，解得：，即为真时，实数的取值范围为因，所以，即；【小问2详解】解：由，即，所以，因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，则可推出，而不能推出，则，解得；21、（1）；（2）.【解析】(1)易知为真命题，根据且命题的真假可知为假命题，结合函数零点与对应方程的根之间的关系得出，解不等式即可；(2)根据一元二次不等式的解法可得和，结合必要不充分条件的概念可得，利用集合与集合之间的关系即可得出答案.【详解】解：（1）对于：所有的非负整数都是自然数，显然正确.因为为假，所以为假.所以“函数没有零点”为真，所以，解得.所以实数的取值范围是.