2024-2025学年高中数学第二章数列2.4.1等比数列同步作业含解析新人教A版必修51

PAGE等比数列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则a3等于 ()A.16 B.16或-16C.32 D.32或-32【解析】选C.由a4=a1q3得q3=8,即q=2,所以a3=QUOTE=32.2.已知等比数列QUOTE的公比q=-QUOTE,则QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.4【解析】选D.由题意可QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4.3.(2024·哈尔滨高一检测)数列{an}满意:an+1=λan-1(n∈N*,λ≠0,λ∈R),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值是 ()A.1 B.2 C.QUOTE D.-1【解析】选B.数列{an-1}为等比数列⇒QUOTE=QUOTE=q,即:λan-2=qan-q,恒成立,可知:QUOTE⇒λ=2.4.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于 ()A.4 B.8 C.16 【解析】选C.因为QUOTE=a2·a6,所以a2·a6=16.5.(2024·新乡高二检测)在正项等比数列{an}中,a4,a46为方程x2-100x+9=0的两根,则a10·a25·a40= ()A.9 B.27 C.64 【解析】选B.由已知得a4·a46=9=QUOTE,因为{an}是正项等比数列,所以a25=3,所以a10·a25·a40=QUOTE=27.6.已知数列{an}满意a1=1,an+1=QUOTEan,n∈N*,则an= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为an+1=QUOTEan,所以q=QUOTE=QUOTE.所以an=a1qn-1=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在等比数列{an}中,a2=2,a4=4,则a6=________.

【解析】设公比为q,由条件知QUOTE解得q2=2,故a6=a1q5=a1q·q4=2×22=8.答案:88.若a1,a2,a3,a4成等比数列,公比为2,则QUOTE的值为________.

【解析】由题意q=2,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2.求证:{an}是等比数列.【证明】当n=1时,S1=a1=22-2=2,当n≥2时,Sn-1=2n-2,所以Sn-Sn-1=an=2n+1-2n=2n,n=1时满意an=2n.又QUOTE=QUOTE=2,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列.10.已知{an}是递增的等比数列,a2+a3=4,a1a4求数列{an}的通项公式.【解析】方法一:设等比数列{an}的公比为q,因为a2+a3=4,a1a4所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE因为{an}是递增的等比数列,所以a1=QUOTE,q=3.所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.方法二:设等比数列{an}的公比为q,因为a2+a3=4,a1a4=a2a所以a2,a3是方程x2-4x+3=0的两个根.解得QUOTE或QUOTE因为{an}是递增的等比数列,所以a2=1,a3=3,则q=3.所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设等比数列{an}满意a1+a2=-1,a1-a3=-QUOTE,则公比q= ()A.2 B.-2 C.QUOTE D.-QUOTE【解题指南】依据已知条件,找出等比数列的首项a1和公比q所满意的等量关系式,两式相除,消元求公比q的值.【解析】选C.明显q≠1,由已知,a1+a2=a1+a1q=-1,a1-a3=a1-a1q2=-QUOTE,两式相除得QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,解得q=QUOTE.2.各项不为零的等差数列{an}中,4a3-QUOTE+4a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= ()A.4 B.8 C.16 【解析】选D.由等差数列性质可得:4a3-QUOTE+4a11=4(a3+a11)-QUOTE=8a7-QUOTE=0.又{an}各项不为零,所以a7=8,即b7=8.由等比数列性质可得:b6b8=QUOTE=64.3.已知QUOTE为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10= ()A.7 B.5 C.-5 【解析】选D.由题意得所以QUOTE或QUOTE所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.4.已知数列QUOTE是等比数列,a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a2+a3+a4= ()A.7 B.12 C.14 【解题指南】先依据已知条件解出公比,再依据等比数列通项公式求结果.【解析】选C.因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a3又因为a1=1所以4q=4+q2,解得q=2,所以a2+a3+a4=2+22+23=14.5.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0,a∈R),那么数列{an} ()A.肯定是等差数列B.肯定是等比数列C.要么是等差数列,要么是等比数列D.既不行能是等差数列,也不行能是等比数列【解析】选C.当a=1时,该数列的各项为0,此时为等差数列,但不是等比数列;当a≠1时,由Sn=an-1得,an=Sn-Sn-1=an-1-an-1+1=(a-1)an-1(n≥2),此式对n=1也成立,所以QUOTE=QUOTE=a(n≥2),此时{an}是等比数列,但不是等差数列.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2024·成都高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则该数列的通项公式an=________.

【解析】由Sn=2an-1得:Sn+1=2an+1-1,所以an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an又S1=2a1-1,则a1=1.由此可得,数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列则an=2n-1.答案:2n-17.在等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lgan}的通项公式为________.

【解析】因为a5=a4q,所以q=2,a1=QUOTE=QUOTE,所以an=QUOTE·QUOTE=QUOTE,lgan=(n-3)lg2.答案:lgan=(n-3)lg28.在正项等比数列{an}中,若3a1,QUOTEa3,2a2成等差数列,则QUOTE=________.

【解析】设正项等比数列{an}的公比为q>0,因为3a1,QUOTEa3,2a2成等差数列,所以2×QUOTEa3=3a1+2a2,即a1q2=3a1+2a1q,所以q2-2q-3=0,又因为q>0,解得q=3,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE9.某计算机病毒开机时占据2M内存,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________秒,该病毒占据64G内存(1【解析】由已知,每3秒病毒占据的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64G内存时共复制了n次,则2×2n=64×210=216,所以n=15,即开机45秒,该病毒占据64G答案:45三、解答题(每小题10分,共30分)10.设{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=4,a3=9.(1)求{an}的通项公式.(2)lga1+lga2+…+lgan.【解析】(1)数列{an}是各项均为正数的等比等列,且a1+a2=4,a3=9.设首项为a1,公比为q,则:QUOTE,整理得:4q2-9q-9=0,解得:q=3或-QUOTE(负值舍去),故:a1=1,所以:an=1·3n-1=3n-1.(2)由于an=3n-1,则:lga1+lga2+…+lgan=lg(1·31·32…·3n-1)=lg31+2+…+(n-1)=QUOTElg3.11.已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,S5=35,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)求数列QUOTE的前n项和Tn.【解析】(1)因为S5=5a3=35,所以a3=7,设{an}公差为d,因为a1,a4,a13成等比数列,所以QUOTE=a1a13,即(7+d)2=(7-2d)(7+10d),解得d=0(舍)或2,因为a3=a1+2d=7,所以a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)知Sn=QUOTE=n(n+2),所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以Tn=QUOTE(QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE)=QUOTE=QUOTE-QUOTE.12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=QUOTE,n∈N*.(1)若数列{an+t}是等比数列,求t的值.(2)求数列{an}的通项公式.(3)记bn=QUOTE+QUOTE,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)①当n=1时,由a1=QUOTE=QUOTE,得a1=1;②当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7,由已知a1+t,a2+t,a3+t成等比数列,所以(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,当t=1时,an+1=2(an-1+1),n≥2,即{an+1}为等比数列成立,所以实数t的值为1.(2)由(1)知,当n≥2时,an+1=2(an-1+1),又