（圆梦高考数学）专题7.5 数列的其他应用（含答案及解析）

专题7.5数列的其他应用题型一分段递推数列求通项公式题型二公共项数列题型三插项数列题型四数列中的新定义问题题型五数列的结构不良题型六递推数列的实际应用题型一 分段递推数列求通项公式例1．（2023·江西南昌·统考三模）已知数列满足，其中，则数列的前项和为______.例2．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）（多选）已知数列满足，，则（

）A．B．当为偶数时，C．D．数列的前项和为练习1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，记，求数列的通项公式．练习2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列满足，数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．练习3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知数列满足，，，令.(1)写出，，并求出数列的通项公式；(2)记，求的前10项和.练习4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足：①；②.则的通项公式______；设为的前项和，则______.（结果用指数幂表示）题型二 公共项数列例3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（

）A．167 B．168 C．169 D．170例4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足．将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．(1)证明：(2)求数列的前n项和．练习6．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.练习8．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间内的项的个数．练习9．（2023·全国·高三专题练习）记为公比不为1的等比数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．练习10．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（

）A． B． C． D．题型三 插项数列例5．（2023·全国·高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，．记，若成立，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9例6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．练习11．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为______．练习12．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.练习13．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）．练习14．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和.练习15．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列的前项和，，且.数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.题型四 数列中的新定义问题例7．（2023·全国·高三对口高考）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中(1)若数列的通项公式，求的通项公式；(2)若数列的首项是1，且满足，证明数列为等差为数列.例8．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如如何表示成两个整数的比值呢？代表了等比数列的无限项求和，可通过计算该数列的前项的和，再令获得答案.此时，当时，，即可得.则下列说法正确的是（

）A．B．为无限循环小数C．为有限小数D．数列的无限项求和是有限小数练习16．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．练习17．（2023·湖北武汉·统考三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7练习18．（2023·北京·人大附中校考三模）已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（

）①若，则为“回旋数列”；②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．A．1 B．2 C．3 D．4练习19．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）（多选）在数列中，（，为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（

）A．是等方差数列B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则C．等比数列不可能为等方差数列D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列练习20．（2023·江苏苏州·校联考三模）（多选）若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（

）A． B．C． D．题型五 数列的结构不良例9．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设__________，求数列的前项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例10．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正项数列的前项和为，在①，且；②；③，，这三个条件中任选一个，解答下列问题：(1)证明数列是等比数列，并求其通项公式；(2)设，数列的前项和为，若恒成立，求的最小值.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.练习21．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：(1)已知数列满足______，求的通项公式；(2)已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．练习22．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知数列的各项均为正数，记为的前项和.(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；①；②；③.(2)在（1）的条件下，若，求.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.练习23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在①；②这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.已知数列的前n项和是，数列的前n项和是，___________.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求.练习24．（2023秋·云南昆明·高三统考期末）已知是数列的前项和，①，，②，且，③，请从①②③中选择一个条件进行求解.注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.练习25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考期中）已知数列中，，_____，其中．从①数列的前项和，②，③且，这三个条件中一个，补充在上面的问题中并作答.注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)设数列，求数列的通项公式及前20项和．题型六 递推数列的实际应用例11．（2023·全国·高三专题练习）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列满足，其中均为正整数，且，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（

）A．第3级修正 B．第4级修正 C．第5级修正 D．第6级修正例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A． B．为偶数C． D．练习26．（2022秋·福建漳州·高三统考期末）（多选）被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．练习27．（2021秋·重庆·高三校联考阶段练习）阿司匹林（分子式，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位）；(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230.练习28．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{I}，{I}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：I+1＝1.02I﹣0.2．策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：I+1＝1.08I﹣0.46．当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．(1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？(2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？练习29．（2023·浙江·校联考三模）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为为的前项和，则___________.（结果保留成整数）（参考数据：）练习30．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面．若，则至少需要移动______次；将n个金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，至少需要移动______次．

专题7.5数列的其他应用题型一分段递推数列求通项公式题型二公共项数列题型三插项数列题型四数列中的新定义问题题型五数列的结构不良题型六递推数列的实际应用题型一 分段递推数列求通项公式例1．（2023·江西南昌·统考三模）已知数列满足，其中，则数列的前项和为______.【答案】【分析】根据递推公式将偶数项转化为奇数项，再运用递推公式求出奇数项的通项公式，再求和.【详解】由递推公式，得，即，，数列是首项为，公比等比数列，，，；故答案为：.例2．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）（多选）已知数列满足，，则（

）A．B．当为偶数时，C．D．数列的前项和为【答案】BCD【分析】根据已知递推出可判断A；令，由已知可得，可得，令，由已知可得，，所以可判断BC；计算出前项中的奇数项和、偶数项和可判断D.【详解】对于A，因为，，，，，故A错误；对于B，令，由已知可得，，所以，又，所以，，令，所以，当为偶数时，，故B正确；对于C，由B可知，，令，由已知可得，，所以，综上，故C正确；对于D，前项中的奇数项和，前项中的偶数项和，所以数列的前项和为，故D正确.故选：BCD.练习1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，记，求数列的通项公式．【答案】【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的表达式，根据数列的递推公式可得出数列的表达式，然后对为偶数和奇数两种情况讨论，可得出数列的通项公式.【详解】解：因为数列满足，，则，因为，所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，因为，所以，.所以，当为偶数时，设，则，所以，；当为奇数时，设，则，此时，.综上所述，.练习2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列满足，数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据数列的递推公式依次写出，即可发现规律；（2）由（1）可写出数列的表达式，根据裂项求和的方法可求出前n项和．【详解】（1）由题意知，，，，，，…，，，从而．（2）由（1），所以．练习3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知数列满足，，，令.(1)写出，，并求出数列的通项公式；(2)记，求的前10项和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由递推关系既可求得，，再由数列的通项公式代入到，可求得数列的通项公式；（2）将数列的通项公式代入到，可求得，由分组求和方法计算即可得出的前10项和【详解】（1）因为，，所以，，又，所以，，，当，时，；当，时，，当时，，即，则，，数列是以为首项，3为公比的等比数列，故.（2）由（1）可得，记的前项和为，则.练习4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分奇偶求出通项公式，再应用裂项相消法即可得前n项和，则得M的最小值.【详解】当时，，即.所以当为奇数时，是常数列.又，所以当为奇数时，，即，当为偶数时，，所以当时，.设，则故的前项和为，当趋向于无穷大时，前和趋向于.所以的最小值为.故选：C.练习5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足：①；②.则的通项公式______；设为的前项和，则______.（结果用指数幂表示）【答案】【分析】当为奇数时令可得，当为偶数时令，可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】当为奇数时，令，则，当为偶数时，令，则，则，当时，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则，当为奇数时，由，则，所以，当为偶数时，由，则，所以，所以，所以故答案为：，题型二 公共项数列例3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（

）A．167 B．168 C．169 D．170【答案】C【分析】利用列举法可知，将集合中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为，可知数列为等差数列，求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论.【详解】由题意可知，数列、、、、、、、、、、，数列、、、、、、、、、、，将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列、、、，易知数列是首项为，公差为的等差数列，则，由，可得，因此，集合中元素的个数为.故选：C.例4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足．将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．(1)证明：(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出，得到，的通项公式，进而判断出是数列{}的项，即可证明；（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）由，得，由，得，解得，因为数列{}的公差为3，数列{}的公比为2，所以不是数列{}的项，是数列{}的第1项．设，则所以不是数列{}的项．因为，所以是数列{}的项．所以（2）由（1）可知，．=所以所以．练习6．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．【答案】【分析】找到数列与的公共项，组成数列，可得数列是首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列的前n项和公式即可求得答案.【详解】由题意令，即2不是数列与的公共项；令，即4是数列与的公共项；令，即8不是数列与的公共项；令，即16是数列与的公共项；依次类推，可得数列：，即是首项为4，公比为4的等比数列，故数列的前n项的和为，故答案为：练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.【答案】【分析】分析可知是正奇数列，根据题意求得，然后利用裂项相消法可求得的值.【详解】因为数列是正奇数列，对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；当为偶数时，设，则为奇数，所以，，则，因此，.故答案为：.练习8．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间内的项的个数．【答案】(1)(2)22【分析】（1）根据等差数列通项公式和前项和公式列式计算即可；（2）计算得出的通项公式，分析可得表示全体正奇数的平方从小到大组成的数列，据此推断出数列落在区间内的项的个数.【详解】（1）设等差数列的公差为．由可得得解得所以．（2）因为，所以表示所有正整数的完全平方数从小到大组成的数列，而表示全体正奇数从小到大组成的数列，所以表示全体正奇数的平方从小到大组成的数列，因为，所以落在区间内的项的个数为22项．练习9．（2023·全国·高三专题练习）记为公比不为1的等比数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）设等比数列的公比为，由求出，再由等比数列求和公式求出，即可得解；（2）由（1）可得，即可得到数列的特征，令，求出的取值，即可得到为以为首项，为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得.【详解】（1）解：设等比数列的公比为，因为，即，即，所以，又，即，解得，所以.（2）解：由（1）可得，则数列为、、、、，偶数组成的数列，又，令，则为正偶数，所以，，，，，所以为以为首项，为公比的等比数列，所以.练习10．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意数列、都是等差数列，从而得到数列是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.【详解】根据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列，，数列是首项为2，公差为5的等差数列，，数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，.对于A，，，，错误对于B，，，，正确.对于C，，，，，错误.对于D，，，，，错误.故选：B.题型三 插项数列例5．（2023·全国·高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，．记，若成立，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据规律确定的关系式，进而可得，即有的通项公式，求解即可得结果．【详解】由，，，，，则，则，则，当时，．当时，．故选：C．例6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1），当时，，两式相减可得，，故等比数列的公比为，，，故数列的通项公式为．（2）由得：，，故，即，，，得：，故．练习11．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为______．【答案】370【分析】依题意，确定前60项所包含数列的项，以及中间插入4的数量即可求和.【详解】因为与之间插入个4，，，，，，其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，，之间插入32个4，由于，，故数列的前60项含有的前5项和55个4，故.故答案为：370.练习12．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件证明数列为等比数列，利用累加法求数列的通项公式；（2）数列中在之前共有项，由此确定前项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案.【详解】（1）因为，所以，又，所以数列为首项为1，公比为的等比数列，所以，所以当时，，所以，所以当时，，又也满足该关系，所以数列的通项公式为；（2）数列中在之前共有项，当时，，当时练习13．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，求得，结合时，求得，进而得到数列的通项公式；（2）根据题意，得到新数列的前100项，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）解：由数列的前n项和为，且，当时，，所以，当时，，不符合上式，所以数列的通项公式为．（2）解：保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，则新数列的前100项为3，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，，，，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，则．练习14．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列、等比数列的性质计算基本量即可得通项公式；（2）根据等差数列的性质计算得，利用错位相减法计算和式即可.【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①，因为，，成等差数列，则，即②，因为，所以由②式可得，解得或（舍），代入①式可得，（2）由题可得，即，所以，则，所以①，则②，故①－②得：所以.练习15．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列的前项和，，且.数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据与的关系，可得出，变形可得.然后根据等比数列的通项公式，即可得出.由已知可得，累乘法即可得出；（2）设100项中，来自于数列中的有项.根据已知可推得，然后根据等差数列以及等比数列的前项和公式，即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，当时，有，，两式相减得：.又因为，所以，，满足上式.所以，.又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，即.又，所以，所以.又，所以，当时，有，，，，，两边同时相乘可得，，所以，.（2）设100项中，来自于数列中的有项.若第100项来自于，则应有，整理可得，，该方程没有正整数解，不满足题意；若第100项来自于，则应有，整理可得，.当时，有不满足，，故，所以，数列中含有10项数列中的项，含有90项数列中的项.所以，.题型四 数列中的新定义问题例7．（2023·全国·高三对口高考）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中(1)若数列的通项公式，求的通项公式；(2)若数列的首项是1，且满足，证明数列为等差为数列.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据及的通项公式直接计算可得；（2）依题意可得，再结合等差数列的定义证明即可.【详解】（1）依题意，且，（2）因为，所以，所以．，且，故是首项为，公差为的等差数列.例8．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如如何表示成两个整数的比值呢？代表了等比数列的无限项求和，可通过计算该数列的前项的和，再令获得答案.此时，当时，，即可得.则下列说法正确的是（

）A．B．为无限循环小数C．为有限小数D．数列的无限项求和是有限小数【答案】AD【分析】按照题中所给方法求解可判断A；取验证可判断BC；利用等比数列求和公式求和，然后可得的无限项求和，可判断D.【详解】对于选项A，，代表了等比数列的无限项求和，该数列的前项的和为，，，所以，故选项A成立；对于选项B：令与条件矛盾，故选项B不成立；对于选项C：令与条件矛盾，故选项C不成立；对于选项D：数列的前项和为时，，所以数列的无限项求和为，是有限小数，故选项D成立.故选：AD练习16．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明(2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可.【详解】（1）点在函数的图象上，，是“平方递推数列”．

因为，对两边同时取对数得，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知，

由数列的通项公式得，当时，；当时，．又由，得

当且时，；

当且时，，

综上，练习17．（2023·湖北武汉·统考三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据逆序对的定义，分数列的第一个数为，数列的第二个数为，数列的第三个数为，数列的第四个数为，四种情况讨论即可.【详解】若，则，由构成的逆序对有，若数列的第一个数为，则至少有个逆序对，若数列的第二个数为，则恰有2个逆序对的数列为，若数列的第三个数为，则恰有2个逆序对的数列为或，若数列的第四个数为，则恰有2个逆序对的数列为，综上恰有2个逆序对的数列的个数为个.故选：B.练习18．（2023·北京·人大附中校考三模）已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（

）①若，则为“回旋数列”；②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合题意中的“回旋数列”，对每项进行验证或者举特练习即可【详解】①由可得，由可得，取即可，则为“回旋数列”，故①正确；②当时，，，由可得，故当时，很明显不成立，故不是“回旋数列，②错误”；③是等差数列，故，，因为数列是“回旋数列”，所以，即，其中为非负整数，所以要保证恒为整数，故为所有非负整数的公约数，且，所以，故③正确；④由①可得当时，为“回旋数列”，取，，显然不存在,使得，故④错误故选：B练习19．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）（多选）在数列中，（，为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（

）A．是等方差数列B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则C．等比数列不可能为等方差数列D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列【答案】BC【分析】根据等方差数列定义判断A，由等方差数列定义及等比数列求判断B，根据等方差数列定义及等比数列的通项公式判断C，由等差数列及等方差数列定义，利用反证法判断D.【详解】设，则不为非零常数，所以不是等方差数列，故A错误；由题意，则，由是等比数列，得，解得或（舍去），当时，满足题意，故B正确；设数列为等比数列，不妨设，则，所以，若为常数，则，但此时，不满足题意，故C正确；若数列既是等差数列，又是等方差数列，不妨设，（为非零数），，所以，即，所以，即，所以为常数列，这与矛盾，故D错误.故选：BC.练习20．（2023·江苏苏州·校联考三模）（多选）若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据“数列”定义判断A、D；利用特殊值判断B是否满足要求；由的个位数上奇偶性判断C.【详解】A：由，要且，所以，只需，显然对任意的，总存在，满足“数列”.B：由，显然，不满足“数列”.C：对于任意，，个位数为均为奇数，所以必为偶数，显然不成立，不满足.D：由，，故对任意的，总存在，满足“数列”.故选：AD题型五 数列的结构不良例9．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设__________，求数列的前项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)，(2)答案见解析【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式与前项和；（2）根据所选条件得到的通项公式，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设公差为，由可得，所以，解得，所以的通项公式为，则.（2）若选①；则，所以；若选②；则，则；若选③，则，所以.例10．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正项数列的前项和为，在①，且；②；③，，这三个条件中任选一个，解答下列问题：(1)证明数列是等比数列，并求其通项公式；(2)设，数列的前项和为，若恒成立，求的最小值.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析，；(2)【分析】（1）由与的关系或等比数列的定义及通项公式求解即可；（2）由裂项相消法求出后，再由恒成立进行求解即可.【详解】（1）若选择条件①：因为，所以，又，所以，即，又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；若选择条件②：因为，所以当时，有，两式相减，得，即（），又，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；若选择条件③：由，得，即，又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；（2）由（1）知，，则，因为数列为递增数列，所以的最小值为，又恒成立，则，解得，故的最小值为.练习21．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：(1)已知数列满足______，求的通项公式；(2)已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，由已知可推得，进而得出数列是常数列，从而得出；若选②，由已知推得，进而根据与的关系，即可推得；若选③，根据等差中项的性质，可推得数列是等差数列.然后由已知求得，即可得出.（2）根据已知可求出，然后根据对数运算以及裂项化简可得，然后相加即可得出.【详解】（1）若选①且由可得.又，所以数列是常数列，且，所以.若选②由已知可得，.当时，有；当时，有，，两式作差可得，，所以.又满足，所以.若选③且，由可得，，所以，数列是等差数列.又，，所以，所以，所以.（2）由（1）知，，所以.设等比数列公比为，由已知可得，解得，所以.所以，所以.练习22．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知数列的各项均为正数，记为的前项和.(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；①；②；③.(2)在（1）的条件下，若，求.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）不管选哪个组合都可以由递推公式及等差数列的性质计算即可；（2）结合（1）的条件得出，从而求得，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）证明：若选择①②，证明③成立.由，得，故数列是等差数列，设数列的公差为，故，，所以，所以，所以，故，所以，故.若选择①③为条件，证明②成立.由，得，故数列是等差数列，设数列的公差为，，因为，即，整理可得，所以，所以，故.若选择②③为条件，证明①成立.由题意可得，所以，又，所以，所以数列是等差数列，则数列的公差为，所以，所以当时，，当时上式也成立，故数列的通项公式为.又，所以，又，所以，故.（2）解：由（1）可知，数列是首项，公差的等差数列，所以，所以，所以练习23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在①；②这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.已知数列的前n项和是，数列的前n项和是，___________.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求.【答案】(1)选条件①：故数列的通项公式为，数列的通项公式为；选条件②：数列的通项公式为，数列的通项公式为；(2)选条件①：；选条件②：所以．【分析】（1）选条件①：由，可得，根据等比数列通项公式即可求解；选条件②：由，，可得，利用迭代法可求，借助已知条件可得；（2）选条件①：利用错位相减求和法求和后即可证明；选条件②：利用裂项相消求和法求和后即可证明.【详解】（1）选条件①：由，可得，两式相减可得，所以，在中，令，可得，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，，故数列的通项公式为，数列的通项公式为；选条件②：由，可得，两式相减可得，即，所以，在中，令，可得，所以，所以由，，，，所以，从而有，所以，，故数列的通项公式为，数列的通项公式为；（2）选条件①：由（1）知，，，，两式相减可得，所以，即；选条件②：由（1）知，所以．练习24．（2023秋·云南昆明·高三统考期末）已知是数列的前项和，①，，②，且，③，请从①②③中选择一个条件进行求解.注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，的最大值为【分析】（1）对①②：根据前项和与通项之间的关系，结合等比数列分析运算；对③：根据等比数列分析运算；（2）利用裂项相消法求，根据数列单调性结合恒成立问题运算求解.【详解】（1）若选①：，，当时，则，即；当时，则，可得，整理得，故数列是以首项，公比的等比数列，则；若选②：，且，令，则，可得，两式相减得，即，注意到，故数列是以首项，公比的等比数列，则；若选③：，，即，故数列是以首项，公比的等比数列，则.（2）存在，的最大值为.由（1）可知：，则，所以，可知为递增数列，则，所以，解得，且为正整数，则的最大值为.练习25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考期中）已知数列中，，，其中．从①数列的前项和，②，③且，这三个条件中一个，补充在上面的问题中并作答.注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)设数列，求数列的通项公式及前20项和．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)，.【分析】（1）选①，利用与的关系求出即可；选②③，判断等比数列，再利用等比数列定义求出通项公式作答.（2）由（1）的结论求出，再利用等差数列定义判断作答.（3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和作答.【详解】（1）选①，当时，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式是.选②，依题意，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，所以数列的通项公式是.选③，由，，知，，则数列为等比数列，公比为，有，解得，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，显然，所以数列是以1为公差的等差数列.（3）由（2）知，，.题型六 递推数列的实际应用例11．（2023·全国·高三专题练习）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列满足，其中均为正整数，且，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（

）A．第3级修正 B．第4级修正 C．第5级修正 D．第6级修正【答案】C【分析】根据题意依次求出，再判断哪一个等于即可.【详解】因为数列满足，，，…，其中均为正整数：，，，，，，…，所以，，，，，所以“年共闰个月”为第5级修正，故选：C例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A． B．为偶数C． D．【答案】ACD【分析】根据递推关系计算出的值可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；由可得，再化简可判断选项C；由，化简整理可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，故选项A正确；对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误；对于C：由题意知：，所以，故选项C正确；对于D：，故选项D正确，故选：ACD.练习26．（2022秋·福建漳州·高三统考期末）（多选）被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据题意可得，结合数列的性质和选项计算，依次判断即可.【详解】A：一次上1个或2个台阶，则，…设爬上第个台阶的方法数为，由上观察可得，故A正确；B：，故B正确；C：结合A分析知：，故C错误；D：，，可得，故D正确.故选：ABD.练习27．（2021秋·重庆·高三校联考阶段练习）阿司匹林（分子式，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司