人教版九年级数学上册重难考点05二次函数图像与各系数关系通关专练特训(原卷版+解析)

微专题05二次函数图像与各系数关系通关专练一、单选题1．（2022秋·河北沧州·九年级校考阶段练习）二次函数y=A．a<0，b＜0，C．a>0，b>0，2．（2022·山东泰安·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−1,0，顶点坐标1,n，与y轴的交点在0,2，0,3之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②−1≤a≤−23；③对于任意实数m，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023·山东·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图，图象过点−1，0，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③当x<0时，y的值随x值的增大而增大；④A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．（2022秋·河南三门峡·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A−1,0，B3,0，与yA．a>0 B．抛物线的对称轴为直线x=1C．b:c=3:2 D．当a=335．（2022春·江苏盐城·九年级阶段练习）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－b2aA．只有① B．①② C．①③ D．①②③6．（2022秋·九年级单元测试）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2022秋·天津和平·九年级天津市汇文中学校考阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，与A．ac>0 B．关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．b=2a8．（2022秋·黑龙江大庆·九年级大庆市第六十九中学校考阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论：①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝0；④a+b≥m(am+b)，其中正确的有（

）个A．4 B．3 C．2 D．19．（2022秋·云南大理·九年级统考期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象．下列结论：①abc＜0；②a-b+c＜0；③ax2+bx+c＝0有两个实数根；④2a-b=0．其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．110．（2022·河北保定·统考一模）点A（2，6）与点B（4，6）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，则下列说法正确的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．6a+b＝0 D．a+6b＝011．（2022·贵州遵义·校考三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），对称轴l如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝2a﹣b，P＝a+c，则M，N，P中，值小于0的数有（）个．A．2 B．1 C．0 D．312．（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，有以下结论：①abc>0；②−a+c<0；③若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；④当图象经过点1,3时，方程ax2A．1 B．2 C．3 D．413．（2022秋·安徽·九年级校联考期中）已知实数a、b、c满足a>0，4a−2b+c>0，a+b+c<0，则（）A．b2≤4ac且a>b B．b2≥4ac且a<b C．b2<4ac且14．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+ca>0的顶点为D，对称轴为x=1，点A的横坐标分别为−1，与y轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②b2−4ac<2a；③9a+c>3b；④8a+b+2c>0；⑤Mx1,y1A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤15．（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点(﹣2，0)，对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥13；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．其中正确结论的序号是（

A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤二、填空题16．（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，其对称轴为直线x＝1，下面结论中正确的有_____个．①abc＞0，②2a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④9a+3b+c＝017．（2023·山东泰安·东平县实验中学校考二模）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴负半轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，对称轴为直线x=−2，且OB=OC，则下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③c>1；④关于x的方程y=ax2+bx+c18．（2022秋·九年级单元测试）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc>0；②3a−c>0；③若−1<m<n<1，则m+n<−19．（2022秋·全国·九年级阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+①b2②3a③当y>0时，x的取值范围是-1≤④当x<0时，y随x其中结论正确有___________．20．（2022秋·贵州黔东南·九年级校考阶段练习）二次函数y=x21．（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考开学考试）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式_______．22．（2022·江苏苏州·统考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中，正确结论的个数是_________个.23．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）下列关于二次函数y=x2−2bx+2b2−4c（其中x是自变量）的结论：①该抛物线的对称轴为x=b；②若x<1时，y随x的增大而减小，则b=1；③若b=1，则y>2−4c的解集为x<0或x>2；④该抛物线经过不同两点24．（2022秋·云南大理·九年级校考期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）其部分图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②b2﹣4ac＜0；③方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝2；④将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得到y＝ax2＋bx＋c的图象；⑤当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3其中正确的结论是_____．（填序号）25．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＜0；③b+2a＜0；④c＜0．其中所有正确结论的序号是__________．26．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期中）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过−1,0，对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③若a+2c=0，则x=2是方程cx2+bx+a=0的一个根；④若27．（2022秋·安徽安庆·九年级校联考期中）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)的图象大致如图所示，下列说法：①2a+b=0;

②当-1≤x≤3时，y<0;③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1<x2时，y1<y2;④9a+3b+c=0.其中正确的结论是____________________________.28．（2022秋·九年级单元测试）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④若点B（－52，y1），C（－12，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y229．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象，其对称轴为x=1，过−2,0，则下列结论：①abc<0；②b+2a=0；③方程ax2+bx+c=030．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为−1,0，其部分图象如图所示，下列结论：①b2−4ac>0；②方程ax2+bx+c=0

微专题05二次函数图像与各系数关系通关专练一、单选题1．（2022秋·河北沧州·九年级校考阶段练习）二次函数y=A．a<0，b＜0，C．a>0，b>0，【答案】A【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=-b∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝2．（2022·山东泰安·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−1,0，顶点坐标1,n，与y轴的交点在0,2，0,3之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②−1≤a≤−23；③对于任意实数m，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据抛物线图像的性质得到a的范围，根据对称轴和x轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以得到①②正确，根据顶点最高可得到③正确，由数形结合可得到④错误．【详解】∵抛物线的开口向下∴a<0∵对称轴x=−b2a∴b=−2a∴3a+b=a∴3a+b<0，故①正确；∵A(−1,0)在抛物线上∴a−b+c=0∴3a+c=0∴c=−3a∵c在2,3之间∴2≤−3a≤3∴−1≤a≤−23∵顶点坐标1,n，且当x=1时，y有最大值，最大值为n∴对于任意实数m，a+b+c≥am2+bm+c∴a+b≥am2+bm，故③正确∵顶点坐标1,n∴y=ax2+bx+c与y=n只有一个交点∴y=ax2+bx+c与y=n+1没有交点，故④错误故选C【点睛】本次主要考查了二次函数图像的性质和函数平移，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．3．（2023·山东·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图，图象过点−1，0，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③当x<0时，y的值随x值的增大而增大；④A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】根据图象信息首先确定出−b2a=2，b2−4ac>0，即可变形判断①⑤；结合增减性以及x=−3的函数值，即可判断②；根据增减性直接判断③，根据x=−1时的函数值，以及−b2a【详解】解：由图象信息可知，a<0，b>0，c>0，−b2a=2∴b=−4a，4a+b=0，b2∵抛物线过点−1，0，对称轴为直线∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为5，∴当x<−1或x>5时，y<0，∵当x=−3时，y=9a−3b+c，∴9a−3b+c<0，9a+c<3b，故②错误；由图象知，当x<0时，y的值随x值的增大而增大，故③正确；当x=−1时，y=a−b+c=0，∴c=b−a=−5a，∵b=−4a，a<0，∴−4a<−5a，即b<c，故④错误，∴正确的结论有：①③⑤，有3个．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与性质、抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+ca≠0，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于0，c；抛物线与x轴交点个数由Δ决定，Δ=b2−4ac>0时，抛物线与4．（2022秋·河南三门峡·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A−1,0，B3,0，与yA．a>0 B．抛物线的对称轴为直线x=1C．b:c=3:2 D．当a=33【答案】C【分析】根据题意及图像可直接进行排除选项．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A∴抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1∴a=−1把点A−1,0a−b+c=0，②由①②解得：3b=2c，故C错误；∴二次函数的解析式为：y=ax当a=33时，则有：∴C0,−∴根据两点距离公式可得：AB=4,AC=2,BC=23由勾股定理逆定理可得：AB∴AC⊥BC，故D正确；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2022春·江苏盐城·九年级阶段练习）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－b2aA．只有① B．①② C．①③ D．①②③【答案】D【详解】分析：根据函数的图象的顶点的位置和经过的点的坐标确定其图象的大体位置，然后作出判断即可．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（-1，0），且顶点在第一象限，∴其图象开口向下，∴a＜0，故①正确；∵当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，故②正确；∵其对称轴在y轴右侧，∴-b2a故选D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题时根据题目提供的条件画出函数图象的草图，然后根据草图叙述更为方便．6．（2022秋·九年级单元测试）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），根据顶点坐标公式可求得b=4a，c=－5a，从而可得抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，然后根据二次函数的性质一一判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，∴a>0，∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣b2a=﹣2，4ac−b2∴b=4a，c=－5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，故选B．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据顶点坐标确定出抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a是解题的关键．7．（2022秋·天津和平·九年级天津市汇文中学校考阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，与A．ac>0 B．关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．b=2a【答案】C【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：由图象可知：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故A错误；∵对称轴为直线x=1，与x轴正半轴交点的横坐标为3，∴与x轴负半轴交点的横坐标为-1，∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x由图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故C正确；∵−b∴b=-2a，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．8．（2022秋·黑龙江大庆·九年级大庆市第六十九中学校考阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论：①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝0；④a+b≥m(am+b)，其中正确的有（

）个A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据抛物线开口确定a符号，根据对称轴结合a确定b的符号，根据抛物线与y轴交点确定c的符号，即可判断①正确；把x=-1代入抛物线解析式，结合图象即可判断②正确，根据抛物线对称轴方程即可确定③正确，根据抛物线图象得到当x=1时，抛物线有最大值，即可判断④正确．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，b＞0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；由图象得当x＝-1时，y＝a-b+c＜0，∴a+c＜b，故②正确；∵图象对称轴为直线x＝−b∴﹣b＝2a，即2a+b＝0，故③正确；∵x＝1时函数值y＝a+b+c为最大值，当x=m时，y=am2+bm+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥m（am+b）．故④正确．故选择A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，熟知二次函数的性质并根据图象灵活应用是解题关键．9．（2022秋·云南大理·九年级统考期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象．下列结论：①abc＜0；②a-b+c＜0；③ax2+bx+c＝0有两个实数根；④2a-b=0．其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据开口方向、对称轴以及抛物线与y轴的交点确定a、b、c的正负即可判定①；当x=-1时，a-b+c＞0即可判定②；根据图象可得抛物线与x轴有两个交点，即可判定③；根据对称轴可得2a和b的关系，即可判定④．【详解】解：由图象抛物线开口向下，即a＜0抛物线的对称轴为x=−b抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即c＞0所以abc＞0，即①错误；当x=-1时，由图象可得a-b+c＞0，即②错误；据图象可得抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bx+c＝0有两个实数根，故③正确；由抛物线的对称轴为x=−b故选:C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求2a与b的关系以及二次函数与方程之间的转换成为解答本题的关键．10．（2022·河北保定·统考一模）点A（2，6）与点B（4，6）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，则下列说法正确的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．6a+b＝0 D．a+6b＝0【答案】C【分析】根据题意可以得到a、b的关系式，然后根据二次函数的性质即可判断各个选项中的结论是否成立．【详解】解：∵点A（2，6）与点B（4，6）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，∴4a+2b+c=616a+4b+c=6解得，6a+b＝0，故选项C正确，选项D错误，由题目中的条件无法判断a的正负情况，故选项A、B错误，故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．（2022·贵州遵义·校考三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），对称轴l如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝2a﹣b，P＝a+c，则M，N，P中，值小于0的数有（）个．A．2 B．1 C．0 D．3【答案】A【分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），和与y轴交点的位置，可以判断M的符号；由抛物线的开口方向和对称轴，可以判断N的符号；由抛物线的开口、对称轴的位置、和过（1，0）点可以判断P的符号，最后综合得出结论，做出选择．【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），∴a+b+c＝0，又∵抛物线与y轴交在y轴的正半轴，∴c＞0∴a+b﹣c＜0，故M＜0；（2）抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，﹣1的右侧，∴﹣b2a∴2a﹣b＜0，故N＜0；（3）抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，因此a、b同号，∴b＜0∵a+b+c＝0，∴a+c=-b＞0，因此P＞0综上所述：M＜0，N＜0，P＞0；故选A．【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，根据已知条件结合函数图象进行解答是解题的关键.12．（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，有以下结论：①abc>0；②−a+c<0；③若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；④当图象经过点1,3时，方程ax2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据二次函数图象开口方向判断a>0，根据对称轴位置判断b>0，根据函数图象与y轴的交点位置判断c<0，即可判断①错误，②正确；根据图象可知函数在x=−1是取到最小值y=a−b+c，则x取其它值时，恒大于等于其最小值，可判断③正确；根据函数图象经过点1,3时，方程ax2+bx+c−3=0的两根为x1，x2x1<x2，可知二次函数y=ax2【详解】解：由图可知：a>0，b>0，c<0，∴abc<0，故①错误；−a+c<0，故②正确；∵对称轴为直线x=∴当x=−1时，y有最小值，最小值为∴当x=t时，y=a∴a−b+c≤at2+bt+c∵当图象经过点1,3时，方程ax2+bx+c−3=0的两根为x∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3∵对称轴为直线x=−1∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3∴x1=−3，∴3x故②③正确，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数与一元二次方程的联系，根据函数图象的特点与二次函数与一元二次方程的联系判断出x1，x13．（2022秋·安徽·九年级校联考期中）已知实数a、b、c满足a>0，4a−2b+c>0，a+b+c<0，则（）A．b2≤4ac且a>b B．b2≥4ac且a<b C．b2<4ac且【答案】D【分析】构造一个二次函数背景，利用二次函数图象与系数的关系求解：把a、b、c看作二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数、一次项系数和常数项，由于a>0，抛物线开口向上，由于4a−2b+c>0，自变量为−2时，函数值大于0，说明抛物线的顶点在x轴上下，根据二次函数图象与系数的关系即可得到b2−4ac>0【详解】解：可把a、b、c看作二次函数y=ax∵a>0，∴抛物线开口向上，∵4a−2b+c>0，即x=−2时，y>0，a+b+c<0，即x=1时，y<0，∴抛物线与x轴有两个公共点，∴b∴b∵a+b+c<0，∴−a−b−c>0①∵4a−2b+c>0②由①+②得，∴a>b，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握和运用二次函数图象与系数的关系是解决本题的关键．14．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+ca>0的顶点为D，对称轴为x=1，点A的横坐标分别为−1，与y轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②b2−4ac<2a；③9a+c>3b；④8a+b+2c>0；⑤Mx1,y1A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤【答案】C【分析】由抛物线与x轴的交点坐标判断系数a、b、c之间的关系、二次函数图象的特点，进而对所得结论进行推断．【详解】解：①∵对称轴为直线x＝1，∴−b∴2a＋b＝0．故①正确；②∵对称轴为直线x＝1且点A的坐标为（−1，0），∴点B的坐标为（3，0），∴−ba=∴b=−2a，∴b2∴若b2−4ac<2a，即∴0<a＜1根据题目已有条件，无法推断出0<a＜1故②无法定论；③由②可知b=−2a，∴9a+c=9a+−3a=6a，又∵抛物线开口向上，∴a＞0则6a＞−6a故③正确；④由②可知b=−2a，8a+b+2c=8a+−2a故④错误；⑤由题意知：y1＝a∴y1∵b=−2a，∴y1∵a＞0，x1∴x1−x∴ax∴y1∴y1故⑤正确；综上所述，①③⑤正确，故选：C．【点睛】主要考查抛物线的顶点坐标、根与二次函数系数的关系、二次函数图象特点以及等腰三角形的定义．15．（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点(﹣2，0)，对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥13；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．其中正确结论的序号是（

A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤【答案】B【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，−b∴b<0∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b∴b=-2a，当x=-2时，y=4a-2b+c=0，∴4a+4a+c=0，∴8a+c=0，故②错误；③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x1+x2=1×2=2，∴当x=2时，y=4a+2b+c=4a-4a+c=c，故③正确；④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即4ac−b∵8a+c=0，∴c=-8a，∵b=-2a，∴4a⋅(−8a)−(−2a)解得：a≥1故④正确；⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），∴y=ax2+bx+c=a（x+2）（x-4）若方程a（x+2）（4-x）=-2，即方程a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，∵x1＜x2，∴x1＜-2＜4＜x2，故⑤错误；故选：B．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．二、填空题16．（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，其对称轴为直线x＝1，下面结论中正确的有_____个．①abc＞0，②2a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④9a+3b+c＝0【答案】1【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故原答案错误，不符合题意；②函数的对称轴为：x＝﹣b2a③图象与x轴交于点A（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故原答案错误，不符合题意；④图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a+3b+c＝0，正确，符合题意；故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是抛物线图象及其性质，掌握抛物线图象的性质是解此题的关键．17．（2023·山东泰安·东平县实验中学校考二模）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴负半轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，对称轴为直线x=−2，且OB=OC，则下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③c>1；④关于x的方程y=ax2+bx+c【答案】①④⑤【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①②③，由OB=OC可得点B坐标为(−c,0)，将点B坐标代入解析式可判断④，由x=−2时有取最小值可判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴−b∴b=4a>0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c>0，∴abc>0，①正确．∵b=4a，∴4a−b=0，②错误．由图象可得点C在(0,1)下方，∴c<1，③错误．∵OB=OC=c，∴点B坐标为(−c,0)，∴ac等式两边同时除以ac可得c−b∵b=4a，∴c−4+1∴c=1∴点B坐标为(1a−4∵抛物线对称轴为直线x=−2，∴点A坐标为(−1a，∴方程y=ax2+bx+c(a≠0)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−2，∴x=−2时y取最小值，∴4a−2b+c≤at2+bt+c故答案为：①④⑤．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．18．（2022秋·九年级单元测试）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc>0；②3a−c>0；③若−1<m<n<1，则m+n<−【答案】②③④【分析】根据函数的开口方向以及对称轴的位置、与y轴的交点即可判断①④，根据对称轴得出4a+b>0，x=1时，a+b+c<0，即可得出3a−c>0，即可判断②；根据根与系数的关系即可判断③．【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，交y轴的正半轴，∴a>0，b<0，c>0.∴abc<0，故①错误；∵对称轴x=−b2a<2，又a>0，则−b<4a当x=1时，ax∴3a−c>0，故②正确；设抛物线与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1∵x∴m+n<−b∵1<−b∴1<(∴(b∵a>0，c>0.∴ca∴(b故答案是：②③④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．19．（2022秋·全国·九年级阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+①b2②3a③当y>0时，x的取值范围是-1≤④当x<0时，y随x其中结论正确有___________．【答案】①④/④①【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=1，得出b=-2a，再利用抛物线开口向下，得出a<0，即可对②进行判断；根据-1，0关于直线x=1的对称点为3，0，得出函数与x【详解】解：∵函数图象与x轴有2个交点，∴b2故①正确；∵抛物线y=ax∴x=-b2又∵抛物线开口向下，∴a<0∴3a故②错误；∵-1，0关于直线x=1的对称点为3，0∴函数与x轴的交点是-1，0和3，0，∴当y>0时，根据图象可知：x的取值范围为-1<故③错误；∵x<1时，y随x∴当x<0时，y随x故④正确；综上所述，结论正确有：①④．故答案为：①④【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+ca≠0，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于0，c；抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ=20．（2022秋·贵州黔东南·九年级校考阶段练习）二次函数y=x【答案】向上【分析】根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向．【详解】解：∵二次函数y=x2，∴二次函数y=x故答案是：向上．【点睛】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．21．（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考开学考试）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式_______．【答案】y=x2-1．【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为（0，-1），然后写出一个满足题意的二次函数即可．【详解】解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，-1），抛物线开口向上，故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y=x2-1．故答案为：y=x2-1．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．22．（2022·江苏苏州·统考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中，正确结论的个数是_________个.【答案】3【详解】令y=0，ax2+bx+c=0（a≠0），因为抛物线与x轴有两个交点，所以一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，所以Δ=b2－4ac＞0，①正确；抛物线开口向上，所以a＞0，对称轴位于y轴右侧，所以b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，所以abc＞0，②错误；ax2+bx+c－m=0没有实数根，即ax2+bx+c=m没有实数根，即y=ax2+bx+c（a≠0）与y=m没有交点，通过图像可得，m＜－3，③正确；由图像可得，－b2a=1，∴b=－2a，3a+b=3a－2a=a故答案为3.点睛：（1）抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0；（2）若对称轴位于a右侧，那么a、b异号；若对称轴位于抛物线左侧，那么a、b同号；（3）一元二次方程实数根的情况的问题可以和函数的交点问题灵活转化.23．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）下列关于二次函数y=x2−2bx+2b2−4c（其中x是自变量）的结论：①该抛物线的对称轴为x=b；②若x<1时，y随x的增大而减小，则b=1；③若b=1，则y>2−4c的解集为x<0或x>2；④该抛物线经过不同两点【答案】①③④【分析】根据二次函数图像的性质，顶点坐标公式，二次函数图像的对称性，二次函数与一次函数的交点坐标即可求解．【详解】解：二次函数y=x2−2bx+2b2−4c，则二次项系数为结论①，该抛物线的对称轴为x=−−2b结论②，当x<1时，y随x的增大而减小，对称轴为x=b，∴b≥1，故②错误；结论③，当b=1时，抛物线解析式为y=x2−2x+2−4c，则抛物线与y轴的交点为(0,2−4c)，且对称轴为x=1，根据对称性可知，当x<0或x>2结论④，抛物线经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，由此可知，抛物线的对称轴为x=2b+c−(1−b)2=b，即点A与点B∴c+b=1，且抛物线的顶点坐标为(b,b∴抛物线的顶点坐标可以表示为(b,b∴当x=b时，函数y=−2x+1的函数值为y=−2b+1，假设顶点坐标在函数y=−2x+1上，则b2∴Δ=∴该方程b2−2b+3=0无解，该抛物线的顶点不在函数综上所述，正确的有①③④，故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，对称性，顶点坐标公式，与一次函数关系的综合，掌握二次函数图像的性质，对称性，以及与一次函数的关系是解题的关键．24．（2022秋·云南大理·九年级校考期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）其部分图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②b2﹣4ac＜0；③方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝2；④将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得到y＝ax2＋bx＋c的图象；⑤当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3其中正确的结论是_____．（填序号）【答案】①④⑤【分析】由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，得−b2a＝1，即可判断①正确；由抛物线与x轴有两个交点，可判断②不正确；根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），可判断③不正确；根据抛物线过（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）三点，可求得抛物线为y＝−x2+2x+3，a=−1，则抛物线y＝ax2为y＝−x2，将y＝−x2【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴−b2a＝1，即2a＋∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，故②不正确；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故③不正确；∵抛物线过（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）三点则a−b+c=09a+3b+c=0c=3∴抛物线y＝−∴则抛物线y＝ax2为y＝−x∴将y＝−x2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线为y=−(x−1)∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方，∴y＞0，故⑤正确，故答案为：①④⑤．【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、函数图像的变换、与一元二次方程的联系等，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．25．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＜0；③b+2a＜0；④c＜0．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①④【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①当x=1时，y=a+b+c<0，故①正确；②抛物线与x轴有两交点，所以b2﹣4ac>0，故②错误；③由抛物线的开口向上可知a>0，∵对称轴为x=−b∴2a+b>0，故③正确；④∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c<0，故④正确；∴正确结论的序号为①④．故答案为：①④．【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a26．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期中）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过−1,0，对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③若a+2c=0，则x=2是方程cx2+bx+a=0的一个根；④若【答案】②③④【分析】由抛物线y=ax2+bx+c经过−1,0，a−b+c=0，对称轴在y轴的右侧．b2a＜0，a与b异号，分a＜0与a＞0有两种不同结果可判断①不正确；抛物线y=ax2+bx+c的图象经过−1,0，对称轴在y轴的右侧．可得抛物线与x轴另一交点在x正半轴上，可得Δ=b2−4ac＞0，可判断②正确；由a+2c=0，a−b+c=0，可得出b=a+c=−2c+c=−c，当x=2时，cx2+bx+a=4c+2b+a=4c−2c−2c=0，可判断③正确；由Ax【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c∴a−b+c=0，∵对称轴在y轴的右侧．∴−∴b2a＜0，a当a＜0，b＞0，c=b−a＞∴abc＜当a＞0，b＜0，c=b−a＜∴abc>0，故①不正确；∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过−1,0∴抛物线与x轴另一交点在x正半轴上，∴抛物线与x轴由两个不同的交点，∴Δ=故②正确；∵a+2c