第06讲比例线段（5种题型）

第06讲比例线段（5种题型）【知识梳理】一．相似图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．二．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．②合比性质．若＝，则＝．③分比性质．若＝，则＝．④合分比性质．若＝，则＝．⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．三．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．四．黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．五．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．【考点剖析】一．相似图形（共2小题）1．（2022秋•埇桥区期中）下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个正方形 B．任意两个平行四边形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；B、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，不符合题意；C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；D、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，故选：A．【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．2．（2022秋•泗县期中）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；C、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；D、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．二．比例的性质（共8小题）3．（2023•无为市一模）若3a＝4b（ab≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项．【解答】解：∵3a＝4b（ab≠0），∴a：4＝b：3，∴，故选：A．【点评】本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟记比例的性质是解题的关键．4．（2022秋•蒙城县期末）已知，求的值．【分析】根据比例的性质化简得y＝2x，即可得出答案．【解答】解：由，得3y＝2（2y﹣x），化简，得y＝2x，∴．【点评】本题考查比例的性质，正确变形是解题的关键．5．（2022秋•宁国市期末）已知：，求的值．【分析】直接利用已知设x＝2a，y＝3a，z＝4a，进而代入得出答案．【解答】解：∵，∴设x＝2a，y＝3a，z＝4a，∴＝＝＝．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．6．（2023•合肥一模）若，那么的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】把化成1﹣＝，即可求出的值．【解答】解：∵，∴1﹣＝，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是关键．7．（2022秋•安徽期中）若＝，则＝（）A． B． C． D．【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝2+＝2+＝，故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．8．（2022秋•迎江区期中）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．【分析】（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；（2）根据比例中项的定义列式求解即可．【解答】解：（1）设＝＝＝k，则a＝3k，b＝2k，c＝6k，所以，3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，所以，a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2＝ab＝6×4＝24，∴线段x＝2．【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．9．（2022秋•金安区校级月考）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0．（1）求的值；（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答；（2）利用等比性质，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵＝＝＝2，且b+d+f≠0，∴＝2，∴的值为2；（2）∵＝＝＝2，∴＝＝＝2，∴＝2，∵b﹣2d+3f＝5，∴a﹣2c+3e＝2×5＝10，∴a﹣2c+3e的值为10．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．10．（2022秋•宣州区期末）（1）若，求的值；（2）若，且2a﹣b+3c＝21，求a：b：c．【分析】（1）设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入代数式即可解答；（2）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k值，然后相比即可．【解答】解：（1）设，∴x＝3k，y＝5k，z＝7k，∴＝5；（2）设＝k，则a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，解得k＝2，所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，所以a：b：c＝4：8：7．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b、c是解决本题的关键．三．比例线段（共7小题）11．（2023•庐阳区校级一模）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为6．【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出结果．【解答】解：设线段a和b的比例中项为c，∵a＝9，b＝4，∴＝，∴c2＝ab＝4×9＝36，解得：c＝±6，又∵线段不能是负数，∴﹣6舍去，∴c＝6，故答案为：6．【点评】考查了比例中项的概念，掌握比例中项的概念是解决问题的关键．12．（2023•定远县校级一模）已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝2cm．【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×1，解得：c＝±2（线段是正数，负值舍去）．则c＝2cm．故答案为：2．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．13．（2022秋•金安区校级月考）已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．（1）求线段a，b，c的长．（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．【分析】（1）利用a：b：c＝2：3：4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，由a+b﹣c＝3得2k+3k﹣4k＝3，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的定义得到m2＝ab，即m2＝6×9，然后根据算术平方根的定义求解．【解答】解：（1）∵a：b：c＝2：3：4，∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a+b﹣c＝3，∴2k+3k﹣4k＝3，解得k＝3，∴a＝6，b＝9，c＝12；（2）∵m是a、b的比例中项，∴m2＝ab，∴m2＝6×9，∴x＝3或x＝﹣3（舍去），即线段m的长为3．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．14．（2022秋•宣城月考）若a：b＝1：2，且b是a，c的比例中项，则b：c等于（）A．1：3 B．1：2 C．2：3 D．2：1【分析】由b是a，c的比例中项，根据比例中项的定义可得：，再结合a：b＝1：2即可解答．【解答】解：∵b是a，c的比例中项，∴，∵a：b＝1：2，∴，即b：c＝1：2，故选：B．【点评】本题主要考查了比例线段、比例中项的定义等知识点，熟记比例中项的定义及其变形是解题关键．15．（2023•亳州模拟）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB＝2，那么AP＝3﹣．【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得BP＝AB，即可得出结论．【解答】解：∵点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项，∴BP2＝AB•AP，∴BP＝AB＝＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．16．（2022秋•埇桥区期中）求证：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．【分析】过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图所示，AD即为所求，已知：△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求证：＝．证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．∵AD是角平分线，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠E，∴AC＝AE，又∵AD∥CE，．∴＝．【点评】此题主要考查比例线段，关键是正确画出图形，理清图中角之间的关系是解题关键．17．（2022秋•无为市期中）（1）已知，且a+b﹣2c＝6，求a的值．（2）已知线段a＝4cm，线段b＝9cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．【分析】（1）利用设k法进行计算即可解答；根据线段比例中项的概念得出a：c＝c：b，再根据a＝4cm，b＝9cm，求出c的值，注意把负值舍去．【解答】解：（1）设＝k，∴a＝6k，b＝5k，c＝4k，∵a+b﹣2c＝6，∴6k+5k﹣8k＝6，∴k＝2，∴a＝6k＝12，∴a的值为12；（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a＝4cm，b＝9cm，∴c2＝ab＝36，解得：c＝±6，又∵线段长是正数，∴c＝6cm．【点评】（1）考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．（2）考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．四．黄金分割（共7小题）18．（2023•濉溪县模拟）如图，在△ABC中，D为BC上一点，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，则AD的值为（）A． B． C． D．【分析】先证明AD＝BD，设AD＝BD＝x，则BC＝2+x．作AE⊥BC于点E，根据AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2列方程求解即可．【解答】解：∵∠ADB＝108°，∴∠CDA＝180°﹣108°＝72°．∵AB＝AC＝CD＝2，∴∠CAD＝∠CDA＝72°，∴∠B＝∠C＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAD＝∠CDA﹣∠B＝36°，∴AD＝BD．设AD＝BD＝x，则BC＝2+x．如图，作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝CD＝2，∴，∴．∵AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴，解得，（舍去）．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．19．（2022秋•安徽期中）若线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，则最短的线段MP的长为（）A．（﹣1）cm B．cm C．（3﹣）cm D．cm【分析】较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是（2﹣x）cm．根据黄金分割的定义即可列方程求解．【解答】解：较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是（2﹣x）cm．则x2＝2（2﹣x），解得x＝﹣1或﹣﹣1（舍去）．较短的线段长是2﹣（﹣1）＝3﹣（cm）故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，正确理解黄金分割的定义是关键．20．（2022秋•宣城期末）如果点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），那么下列结论正确的为（）A． B． C．BC2＝AC⋅AB D．AC2＝BC•AB【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC是BC和AB的比例中项，即，∴AC2＝AB⋅BC，∴选项A、B、C结论错误，不符合题意，选项D结论正确，符合题意，故选：D．【点评】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．21．（2022秋•埇桥区期中）若线段AB＝2cm，C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，AB＝2cm，∴BC＝AB＝×2＝（﹣1）cm，故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．22．（2023•雨山区一模）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为（12﹣4）cm．【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8cm，∴，∴AP＝cm，BP＝AB﹣AP＝12﹣4．故答案为：（12﹣4）．【点评】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．23．（2022秋•霍邱县期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB（AP＞BP）上一点，若满足，则称点P是AB的一个黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走多少米时恰好站在舞台的黄金分割点上？（结果保留根号）【分析】根据黄金分割的概念，可求出AP，BP，即可求解．【解答】解：由题意知AB＝20米，，∴米，∴米，答：主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上．【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．24．（2023•合肥一模）设点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为4﹣4cm．【分析】根据黄金比值为计算即可．【解答】解：∵点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝4﹣4（cm），故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．五．平行线分线段成比例（共8小题）25．（2023•镜湖区校级一模）如图，如图，在△ABC中，D、E分别在边AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，则EC的长度为（）A．4 B．6 C．12 D．15【分析】由DE∥BC，得，进而即可求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，∴EC＝6．故选B．【点评】本题主要考查平行线截线段成比例定理，掌握平行线截得的对应线段成比例是解题的关键．26．（2023•萧县一模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝5，则线段BC的长是（）A． B．1 C． D．3【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则，即＝2，解得：BC＝，故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．27．（2022秋•霍邱县期中）如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，DF＝10，求EF的长．【分析】根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，求解即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AB：BC＝2：3，DF＝10，∴，∴EF＝6．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．28．（2022秋•潜山市月考）如图，点F、D、E分别在△ABC的边AB、AC上，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，求AB的长．【分析】平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵FE∥CD，AF＝3，AD＝5，∴＝，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴AB＝，故AB的长为．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．29．（2022秋•长丰县校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．【解答】解：A．∵AB∥CD∥EF，∴＝≠，故本选项不符合题意；B．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项不符合题意；D．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．30．（2023•蜀山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BE与中线CD交于点F，若AC＝16，BC＝12，则的值为（）A． B． C． D．【分析】作EH⊥AB于H，延长CD到M，使DM＝CD，连接BM，由勾股定理求出AB的长，由三角形面积公式求出CE的长，由△BDM≌△ADC（SAS），得到BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，得到CE∥MB，推出△CEF∽△MBF，因此＝＝＝．【解答】解：作EH⊥AB于H，延长CD到M，使DM＝CD，连接BM，∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB＝＝20，∵BF平分∠ABC，∴EH＝EC，∵△ABC的面积＝△ABE的面积+△BCE的面积，∴AC•BC＝AB•EH+BC•CE，∴16×12＝20CE+12CE，∴CE＝6，∵AD＝BD，∠ADC＝∠BDM，∴△BDM≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，∴CE∥MB，∴△CEF∽△MBF，∴＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是通过作辅助线，构造全等三角形，相似三角形．31．（2022秋•固镇县校级期中）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝4、GD＝2、DF＝8，求BC：CE的值．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AG＝4，GD＝2，DF＝8，∴＝＝．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．32．（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．（1）DQ＝10米时，求△APQ的面积．（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．【分析】（1）由DC∥AP，得到＝，代入数据求得AP＝90，于是得到结论；（2）设DQ＝x米，则AQ＝x+20，根据平行线分线段成比例定理得到＝，得到方程＝，求出AP＝，解一元二次方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝90，∴S△APQ＝AQ•AP＝1350米2；（2）设DQ＝x米，则AQ＝x+20，∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝，由题意得××（x+20）＝1600，化简得3x2﹣200x+1200＝0，解x＝60或．经检验：x＝60或是原方程的根，∴DQ的长应设计为60或米．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·安徽六安·九年级统考期末）生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（

）．A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米【答案】D【分析】根据线段比例的定义列出a，b的比例关系，再代入b的值求a即可；【详解】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，∴，∵b为2米，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24（米）；故选：D．【点睛】此题考查了线段的比例：若a∶b=k，说明a是b的k倍；掌握线段比例的概念是解题关键．2．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）已知，则（

）A．−3 B．3 C． D．【答案】C【分析】由，可得，再代入计算即可．【详解】解：∵∴，∴；故选C．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟练地把比例式化为等积式是解本题的关键．3．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）若，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，，故将等式两边都除以，得：，故选：A．【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．4．（2023·安徽蚌埠·校联考一模）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP长为x），则x满足的方程是（）A． B．C． D．以上都不对【答案】A【分析】点P是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解．【详解】解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，，则，，，．故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．5．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期中）若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据黄金分割的定义即可解答．【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，∴，故选：D．【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．6．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，设则，根据平行线分线段成比例得，代入计算即可．【详解】解：∵，设则，，∴，故选：D．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是找到对应线段成比例．7．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．【详解】解：A．∵，∴，故本选项不符合题意；B．∵，∴，故本选项不符合题意；C．∵，∴，故本选项不符合题意；D．∵，∴，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．8．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）下列各组线段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm【答案】D【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．【详解】解：A、∵，∴选项A不成比例；B、∵，∴选项B不成比例；C、∵，∴选项C不成比例；D、∵，∴选项D成比例．故选：D．【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是掌握判断四条线段是否成比例的方法．9．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，直线，若等于，则线段的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】已知直线，根据平行线分线段成比例定理，可得到一个含有与已知线段的比例式，从而可求得的长．【详解】解：∵直线，，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．10．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线所截线段成比例可知，则有，然后问题可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴；故选A．【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．二、填空题11．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期中）若a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项是______cm．【答案】6【分析】根据比例中项的定义可求得c的值．【详解】解：设线段a，b的比例中项是xcm，∵a＝4cm，b＝9cm，∴，∴x=6cm．故答案为：6【点睛】本题主要考查比例中项的定义，掌握若c为a、b的比例中项，则有是解题的关键．12．（2023·安徽滁州·校考一模）已知三条线段、、，其中，，是、的比例中项，则_____．【答案】【分析】由是、的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段的长，注意线段不能为负．【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，∴，解得：或（线段长度是正数，负值舍去），∴．故答案为：．【点睛】本题考查比例线段，注意线段长度不能是负数．理解比例中项的概念是解题的关键．13．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）若线段、、、成比例，其中，，，则____．【答案】4cm【分析】根据成比例线段的概念，得．再根据比例的基本性质，求得的值．【详解】解：∵四条线段成比例，，，，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了比例线段的定义，注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．14．（2023春·安徽淮北·九年级淮北一中校联考阶段练习）若，则________．【答案】【分析】根据比例性质把竖式化为等积式，恒等变形，得到a与b的关系式，再把等积式化为比例式即可．【详解】∵，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了比例性质，熟练掌握比例性质是解本题的关键．15．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）若，则________．【答案】5【分析】先求出，再根据比例的性质即可得．【详解】解：，，，故答案为：5．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．16．（2023·安徽安庆·统考二模）如图，在中，平分，交于点，若，，则为__________．

【答案】【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质得到，再根据平行线分线段成比例得到即可解答．【详解】解：∵平分，∴，∵交于点，∴，∴，∵交于点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．17．（2023·安徽合肥·校考一模）设点C是长度为8cm的线段的黄金分割点（），则的长为___________cm．【答案】【分析】根据黄金分割点的定义，进行计算即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查黄金分割点．熟练掌握黄金分割点的定义，是解题的关键．18．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么_____．【答案】/【分析】根据黄金分割的定义结合已知条