专题13.8命题（拓展提高）

专题13.8命题（拓展提高）一、单选题1．下列命题为真命题的是（）A．如果，那么且B．两边分别相等的两个直角三角形全等C．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等D．如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等【答案】D【分析】分清“或”与“且”的区别，可判断A，利用全等三角形的判定方法可判断B，利用角平分线的性质可判断C，利用平行线间的距离处处相等性质可判断D．【详解】A．∵，∴m=0或n=0，如果，那么且不是真命题，故选项A不正确B.∵有两边对应相等的两个直角三角形全等，∴两边分别相等的两个直角三角形全等不是真命题，故选项B不正确；C.∵三角形的三条角平分线相交于以点，这点到三边的距离相等，∴三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等不是真命题，故选项C不正确；D.如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等是真命题，故选项D正确．故选择D．【点睛】本题考查真命题，由正确的题设能推出结论正确，是真命题，否则是假命题是解题关键．2．下列说法中正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．平移不改变图形的形状和大小C．平行线间的距离是夹在两平行线间的线段的长度D．相等的角是对顶角【答案】B【分析】根据平行线的性质对进行判断；根据平移的性质对进行判断；根据平行线间的距离的定义对进行判断；根据对顶角的定义对进行判断．【详解】解：、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以选项不符合题意；、平移不改变图形的形状和大小，所以选项符合题意；、平行线间的距离是从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度，所以选项不符合题意；、相等的角不一定对顶角，所以选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质、平行线的性质、平行线间的距离和对顶角，解题的关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．3．下列命题是真命题的是（）A．同旁内角互补 B．邻补角相等C．两个锐角的和是锐角 D．垂线段最短【答案】D【分析】根据平行线的性质，邻补角的概念，锐角的概念以及垂线段最短逐项判断即可．【详解】A．两直线平行，同旁内角互补，故该选项为假命题，不符合题意；B．邻补角互补，不一定相等，故该选项为假命题，不符合题意；C．两个锐角的和不一定是锐角，例如，为钝角，故该选项为假命题，不符合题意；D．垂线段最短，是真命题，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查判断命题的真假．正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．掌握平行线的性质，邻补角的概念，锐角的概念以及垂线段最短是解答本题的关键．4．下列命题中假命题有（）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行③点到直线的垂线段叫做点到直线的距离④过一点有且只有一条直线与已知直线平行⑤若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】根据平行线的性质和判定，点到直线距离定义一一判断即可．【详解】解：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等，错误，缺少平行的条件；②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确；③点到直线的垂线段叫做点到直线的距离，错误，应该是垂线段的长度；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，应该是过直线外一点；⑤若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行，错误，条件是同一平面内．故选B．【点睛】本题主要考查命题与定理，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的性质和判定，点到直线距离定义．5．下列说法正确的是（）A．若AB＝BC，则点B为线段AC的中点 B．射线AB和射线BA是同一条射线C．两点之间的线段长度就是两点之间的距离 D．同角的补角不一定相等【答案】C【分析】根据线段中点的概念、射线的表示方法、两点间的距离的定义、补角的概念判断即可．【详解】解：A、当点在线段上，，则点为线段的中点，错误，不符合题意；B、射线和射线不是同一条射线，错误，不符合题意；C、两点之间的线度长度就是两点之间的距离，正确，符合题意；D、同角的补角一定相等，错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了线段中点的概念、射线的表示方法、两点间的距离的定义、补角的概念，解题的关键是掌握相关的概念．6．已知下列命题：①同旁内角互补；②若a＝b，则a2＝b2；③有一个内角是直角的三角形是直角三角形；④若a＞0，b＞0，则a+b＞0，其中逆命题属于假命题的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到各命题的逆命题，然后分别根据同旁内角的定义、平方的定义、直角三角形的定义和有理数的性质判断四个逆命题的真假．【详解】解：①同旁内角互补的逆命题为互补的角为同旁内角，此逆命题为假命题；②若a＝b，则a2＝b2，它的逆命题为若a2＝b2，则a＝b，此逆命题为假命题；③有一个内角是直角的三角形是直角三角形，它的逆命题为直角三角形有一个内角为直角，此逆命题为真命题；④若a＞0，b＞0，则a+b＞0，它的逆命题为若a+b＞0，则a＞0，b＞0，此逆命题为假命题．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题7．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？（1）作，（）（2）两个锐角互余．（）（3）直线a与b有可能垂直．（）（4）作射线．（）（5）作直线．（）（6）整数一定是有理数．（）【答案】（1）不是，（2）是，（3）不是，（4）不是，（5）不是，（6）是【分析】判断一件事情的语句叫命题，根据定义解答．【详解】解：（1）作，不是命题；故答案为：不是．（2）两个锐角互余，是命题；故答案为：是．（3）直线a与b有可能垂直，不是命题；故答案为：不是．（4）作射线，不是命题；故答案为：不是．（5）作直线，不是命题；故答案为：不是．（6）整数一定是有理数，是命题；故答案为：是．【点睛】此题考查命题的定义，熟记定义是解题的关键．8．“锐角与钝角是互为补角”是________命题．（填写“真”或“假”）【答案】假【分析】利用互补的定义进行判断即可．【详解】解：30°的锐角和100°的钝角的和为130°，不是互为补角，所以“锐角与钝角是互为补角”是假命题．故答案为：假．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够举出反例．9．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号）【答案】①②⑤②⑤【分析】判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，根据定义依次分析解答．【详解】解：①同旁内角相等是命题，是假命题；②如果，那么是命题，是真命题；③对顶角相等吗？不是命题；④画线段不是命题；⑤两点确定一条直线是命题，是真命题．故答案为：①②⑤，②⑤．【点睛】此题考查命题的定义，真命题的定义，熟记定义是解题的关键．10．下列命题中：①带根号的数都是无理数；②直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④已知三条直线，，，若，，则．真命题有______（填序号）．【答案】②④【分析】由无理数的定义、垂线段最短的性质、平行公理、平行线的推论分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：是有理数，带根号的数都是无理数是错误的；则①错误；直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短；②正确；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；则③错误；已知三条直线，，，若，，则；④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了无理数的定义、垂线段最短的性质、平行公理、平行线的推论，解题的关键是熟记所学的知识进行判断．11．用一组的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是___________．（按的顺序填写）【答案】2，1，1（答案不唯一）【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【详解】解：当a＝2，b＝1，c＝﹣1时，2＞1，而2×（﹣1）＜1×（﹣1），∴命题“若a＞b，则ac＞bc”是错误的，故答案为：2，1，1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了命题与定理，不等式的性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．用一组a，b的值说明“若a>b，则a2>b2”是假命题，若小亮取a=3，则b=________．【答案】4（答案不唯一）【分析】找出一个小于3的值，使a2＜b2即可得答案．【详解】当b=4时，∵3＞4，32＜42，∴“若a>b，则a2>b2”是假命题，故答案为：4【点睛】本题考查命题，正确找出反例是解题关键．13．下列命题中，属于真命题的有______（填序号）：①互补的角是邻补角；②无理数是无限不循环小数；③同位角相等；④两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直；⑤如果，那么．【答案】②④⑤【分析】根据邻补角、无理数、平行线的性质和平方根进行判断即可．【详解】解：①邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角，故错误，是假命题；②无理数是无限不循环小数，正确，是真命题；③两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；④如图所示，直线a，b被直线c所截，且a//b，直线AB平分∠CAE，直线CD平分∠ACF，AB，CD相交于点G．求证：AB⊥CD．证明：∵a//b，∴∠CAE+∠ACF=180°．又AB平分∠CAE，CD平分∠ACF，所以∠1=∠CAE，∠2=∠ACF．所以∠1+∠2=∠CAE+∠ACF=(∠CAE+∠ACF)=×180°=90°．又∵△ACG的内角和为180°，∴∠AGC=180°(∠1+∠2)=180°90°=90°，∴AB⊥CD．∴两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直，正确，是真命题；⑤如果，那么，正确，是真命题．故答案为：②④⑤．【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．14．下列命题：①对顶角相等；②为了了解某校七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指600名学生的体重；③已知正实数的平方根是和，若，则；④若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5；其中真命题是：______．（请填序号）【答案】①②③【分析】由对顶角的性质判断①，由总体的含义判断②，由平方根的含义及利用平方根解方程可判断③，利用数轴及绝对值的含义可判断④，从而可得答案.【详解】解：①对顶角相等是对顶角的性质，是真命题；②为了了解某校七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指600名学生的体重；符合总体的含义，是真命题；③由题可知，，，，则正实数；是真命题，④不等式可以看作在数轴上，其中点所表示的数是，则数对应的点到数对应的点与对应的到数4对应的点的距离之和，如图，距离之和的最小值是，，则的最大值是3.故是假命题，综上：真命题有：①②③故答案为：①②③【点睛】本题考查的是对顶角的性质，总体的概念，平方根的含义，利用平方根解方程，数轴，真假命题的判断，掌握以上知识是解题的关键.三、解答题15．说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果，那么．【答案】（1）多边形是四边形，真，假；（2）同旁内角互补，两直线平行，真，真；（3）如果a=0，b=0，则ab=0，假，真．【分析】（1）交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，根据四边形与多边形的定义判断两命题的真假；（2）交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，根据平行线的性质和判定方法判断两命题的真假；（3）交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，根据有理数的性质判断两命题的真假．【详解】解：（1）四边形是多边形为真命题，其逆命题为多边形是四边形，此逆命题为假命题；（2）两直线平行，同旁内角互补为真命题，其逆命题为同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0为假命题，其逆命题为如果a=0，b=0，则ab=0，此逆命题为真命题．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．16．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式．（1）两直线平行，内错角相等；（2）同角的补角相等；（3）三条边对应相等的两个三角形全等；（4）等腰三角形的两个底角相等．【答案】（1）如果两直线平行，那么内错角相等；（2）如果两个角是同角的补角，那么在两个角相等；（3）如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（4）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等．【分析】根据如果后面是题设，那么后面是结论把各个命题写成“如果…那么…”的形式．【详解】解：（1）如果两直线平行，那么内错角相等；（2）如果两个角是同角的补角，那么在两个角相等；（3）如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（4）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等．【点睛】本题考查将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到相应的条件和结论．17．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等；（3）全等三角形的对应边相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补．成立；（2）如果两个角相等，那么这两个角是直角．不成立；（3）三条边对应相等的三角形全等．成立；（4）如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．不成立【分析】首先写出各自的逆命题，再根据所学知识进行判断：（1）逆命题：两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定定理，命题成立；（2）逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角；两个相等的角不一定是直角，命题不成立；（3）逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立；（4）逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等；如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立．【详解】（1）两直线平行，同旁内角互补，成立；（2）如果两个角相等，那么它们是直角；不成立；（3）如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；成立；（4）如果两个实数的平方相等，那么它们相等；不成立．【点睛】本题主要考查命题与逆命题，解此题的关键在于准确写出逆命题，且熟练掌握各个基本知识点.18．如图，有如下四个论断：①，②，③平分，④平分．（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）如果①②③，那么④，正确；如果①②④，那么③，正确；如果①③④，那么②，正确；如果②③④，那么①，正确；（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．证明：∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2=∠5，∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED．【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．19．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；（2）内错角相等；（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．【答案】（1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，反例见解析；（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．【分析】（1）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平角的定义可得该命题是真命题；（2）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是假命题；利用相交直线被第三条直线所截，内错角不相等可举反例；（3）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是真命题；．【详解】（1）题设：如果两个角的和等于平角，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．【点睛】本题考查了命题与定理的相关知识．将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．20．（概念学习）定义：对于一个三位的自然数，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数为“好数”．例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且，，2为整数；643不是“好数”，