专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型（原卷版）

专题04平行线中的拐点模型之羊角模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：羊角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB图1图2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.例1．（2023·湖北·八年级校考期末）如图，，，则为（

）

A． B． C． D．例2．（2023下·广西玉林·七年级统考期中）补全下列证明过程：已知：如图，求证：．证明：如图，作射线，使，

（_______________）又（________________）（_________________）即∴（_________________）又（__________________）例3．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（

）A． B． C． D．例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，平分，，已知，则度．例5．（2023上·福建三明·八年级统考阶段练习）如图，请通过度量、观察、分析等手段，猜测图1、图2、图3中之间的大小关系，用等式表示出来，再对图3中的结论加以证明．

例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，，点E，F分别为直线上的一点．

(1)如图1，点G在直线之间，且．直接写出和之间的数量关系（用等式表示）；(2)如图2，点G在同旁．直接写出之间的数量关系（用等式表示）；(3)如图3，点G在同旁，的平分线与的平分线交于点H．用等式表示与之间的数量关系，并证明．课后专项训练1．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（

）

A．15° B．20° C．30° D．50°2．（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）如图，，，则（）

A． B． C． D．3．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图直线，，，则（

）

A． B． C． D．4．（2023上·云南昭通·八年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．5．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（

）

A． B． C． D．6．（2023下·四川泸州·七年级校考期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023下·山东威海·七年级统考期末）如图，已知，，，则°．8．（2023下·辽宁丹东·七年级统考期中）如图，若，，则．

9．（2023上·黑龙江大庆·七年级校考开学考试）如图，，，，则．

10．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）如图，，若，，则的度数为．

11．（2023下·辽宁本溪·七年级统考期中）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则．以上结论正确的是．

12．（2023上·广东·八年级专题练习）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为．

13．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，（1）若，，则；（2）与之间满足的数量关系是．

14．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）如图，，．若，试求的度数．

15．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，，，，求的度数．16．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）（1）已知：如图1，，求证：；（2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由．

17．（2023下·河南漯河·七年级统考期中）探究题：

(1)如图，若，则，你能说明理由吗？(2)若将点移至图的位置，此时、、之间有什么关系？直接写出结论．(3)若将点移至图的位置，此时、、之间有什么关系？直接写出结论．(4)在图中，，与之间有何关系？直接写出结论．18．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．(1)如图1，点P在线段上，，，求的度数．(2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．19．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期末）已知直线，直线交于点M，交于点N，平分交于点H，．（本题不允许直接使用三角形内角和定理）

(1)如图1，求的度数；(2)如图2，若平分，交于点G，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点P在上，平分，延长线交于点Q，连接，若，求的度数．20．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．(1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．21．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）【问题原型】如图①，，点M在直线AB、CD之间，请说明，【问题迁移】如图②，，点M与直线CD分别在AB的两侧，请写出、、之间有怎样的数量关系，不需要证明