2024-2025学年陕西省西安八十五中高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安八十五中高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x∈Z|x≤2}，B={x|−2≤x≤3}，则A∩B=A.{x|0≤x≤3} B.{x|−2≤x≤4}

C.{0,1,2,3} D.{−2,−1,0,1,2,3,4}2.已知复数a+i1−i=1+2i(i为虚数单位)，则实数a的值为(

)A.−1 B.1 C.2 D.33.设点A(3,−3)，B(−2,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(

)A.k≥1或k≤−4 B.k≥1或k≤−2 C.−4≤k≤1 D.−2≤k≤14.如图，在△ABC中，AN=12NC，P是BN上的一点，若AP=(m+13)A.19 B.29 C.235.已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有PQ=−2PA+5PB+mCPA.0 B.2 C.−1 D.−26.已知△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a=bcosC，则△ABC形状一定是(

)A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形7.已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，A1A.12 B.1 C.2 D.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则点C到平面A.22B.322

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间中三点A0,1,0，B2,2,0，C−1,3,1，则下列说法正确的是A.AB与AC是共线向量

B.与AB同向的单位向量是255,55,0

C.AB和BC10.下面四个结论正确的是(

)A.已知向量a=(9,4,−4)，b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(1,2,2)

B.若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面

C.11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3AAA.AA1⊥平面ABC

B.异面直线B1C与AA1所成角的大小是π6

C.球O的表面积是20π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知|a|=3,|b|=5,a⋅b13.已知向量a=(−2,1,3)，b=(−1,2,1)，若a⊥(a−λb)14.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2bcosC=a+2ccosB,b=2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC，点E为AD的中点，设OA=a，OB=b，OC=c．

(1)试用向量a，b，c表示向量OE；

(2)16.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且cosC=2a−c2b．

(1)求角B的大小；

(2)若b=3，sinC=3317.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，CD⊥AD，AD=CD=2BC=2，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD．

(1)求证：CD⊥PA；

(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值；

(3)在棱PB上是否存在点M，使得DM⊥平面PAB？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由．18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB(cosB+bcosC)+12a=0．

(1)求角B的大小；

(2)若b=7，a+c=8，a<c，求sin(2A+C)的值；

(3)设D是边AC上一点，BD为角平分线且AD=2DC，求19.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB=BC，AC=2，AA1=2．

(1)求证：B1C/​/平面A1BM；

(2)求证：AC1⊥

参考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.B

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.ABC

11.ACD

12.122513.2

14.3415.解：(1)∵2BD=DC，所以BD=13BC=13(OC−OB)，

∴OD=OB+BD=OB+116.解：(1)在△ABC中，cosC=2a−c2b，

∴由正弦定理得cosC=2sinA−sinC2sinB，∴2sinA=sinC+2sinBcosC，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，∴sinC=2cosBsinC，

∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，∴cosB=12，

∵B∈(0,π)，∴B=π3；

(2)在△ABC中，B=π3，b=3，sinC=33，

∴由正弦定理得bsinB=c17.(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

且CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，可得CD⊥平面PAD，

因为PA⊂平面PAD，

所以CD⊥PA；

(2)解：取AD中点O，连接OP，OB，

因为PA=PD，则PO⊥AD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

可得PO⊥平面ABCD，

由OA，OB⊂平面ABCD，可得PO⊥OA，PO⊥OB，

因为CD⊥AD，BC/​/AD，AD=2BC，则BC/​/OD，BC=OD，

可知四边形OBCD是平行四边形，则OB⊥AD，

如图，以O为坐标原点，OA，OB，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz，

则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(−1,2,0)，D(−1,0,0)，P(0,0,1)，可得AP=(−1,0,1),PB=(0,2,−1),CB=(1,0,0)，

设平面APB的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AP=−x+z=0n⋅PB=2y−z=0，

令y=1，可得n=(2,1,2)；

设平面PBC的法向量为m=(a,b,c)，

则m⋅CB=a=0m⋅PB=2b−c=0，

令b=1，可得m=(0,1,2)；

所以n⋅m=2×0+1×1+2×2=5，|n|=22+12+22=3，|m|=02+1218.解：(1)由题意及正弦定理可得：cosB(sinCcosB+sinBcosC)+12sinA=0，

可得cosBsin(B+C)+12sinA=0，

在△ABC中，sinA>0，所以cosB=−12，

因为B∈(0,π)，

所以B=23π；

(2)因为b=7，a+c=8，a<c，

由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=a2+c2−492ac=−12，

所以(a+c)2−ac=49，即ac=15，

所以a=3，c=5，

由正弦定理可得：asinA=bsinB，

可得sinA=asinBb=37sin23π=3314，

因为a<c，则A<C，则A∈(0,π3)，

可得cosA=1−sin2A=1−(319.证明：(1)连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，

在△B1AC中M，O分别为AC，AB1的中点，

所以OM/​/B1C，又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，

所以B1C/​/平面A1BM；

(2)因为AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM，

又M为棱AC的中点，AB=BC，所以BM⊥AC，

因为AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面AC