【课件】第4课时三角形全等的判定（四）课件人教版数学八年级上册

第十二章全等三角形12.2

三角形全等的判定第4课时三角形的全等的判定（四）（HL）

学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练

学习目标1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点）2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点）

新课导入复习引入

1.回顾我们已经学习过的判定三角形全等的四个定理.①边边边(SSS):三边分别相等的两个三角形全等.该判定定理的几何语言：在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.

AB=A'B'，

BC=B'C'，

CA=C'A'，

新课导入复习引入②边角边(SAS）:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）.

AB=A'B'，

∠B=∠B′，

BC=B′C′，该判定定理的几何语言：

新课导入复习引入③角边角(ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）.

∠B=∠B′，

BC=B′C′，

∠C=∠C′，该判定定理的几何语言：

新课导入复习引入④角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）.

∠A=∠A′，

∠B=∠B′，

BC=B′C′，

该判定定理的几何语言：

新课导入复习引入

2.我们已经总结过的找相等边的方法.

③等边加（减）同边，其和（差）还是等边.

①公共边.②正多边形的边相等.④等边减等边，其差还是等边.

新课导入复习引入3.我们已经总结过的找相等角的方法.①利用平行线找同位角或内错角.②对顶角.③等角加（减）同角，其和（差）还是等角.④等角的补（余）角相等.⑤正多边形的内角相等.

新知探究

知识点

“HL”证全等

思考

对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？结合刚才复习的判定三角形全等的方法想一想吧！

新知探究C′ABCB′A′┐┐1.对于两个直角三角形中，满足一直角边及其相对的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定根据是什么？全等，根据“AAS”.

知识点

“HL”证全等

新知探究C′ABCB′A′┐┐2.对于两个直角三角形中，满足一直角边及其相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定根据是什么？全等，根据“ASA”.

知识点

“HL”证全等

新知探究C′ABCB′A′┐┐3.对于两个直角三角形中，满足两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定根据是什么？全等，根据“SAS”.

知识点

“HL”证全等

新知探究C′ABCB′A′┐┐4.对于两个直角三角形中，满足斜边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定根据是什么？全等，根据“AAS”.

知识点

“HL”证全等

新知探究C′ABCB′A′┐┐我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.那么满足该条件的直角三角形是不是就不全等呢？

知识点

“HL”证全等对于两个直角三角形中，满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

新知探究

探究

任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放在Rt△ABC上，它们全等吗？动手试一试

知识点

“HL”证全等ABC

新知探究作法：（1）画∠MC′N=90°；M

C′NABC（2）在射线C′M上截取B′C′=BC；B′

知识点

“HL”证全等

新知探究作法：（3）以点B′为圆心，AB长为半径画弧，交射线C′N于点A′；（4）连接A′B′.M

C′NABCB′A′

知识点

“HL”证全等

新知探究思考

①

△A′B′C′

与△ABC全等吗？②这两个三角形全等满足的是哪三个条件？全等直角、斜边和一条直角边M

C′NABCB′A′

知识点

“HL”证全等

新知探究斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.该基本事实可以用来判定两个直角三角形全等

知识点

“HL”证全等

新知探究在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）.

AC=A′C′，

BC=B′C′，

该判定定理的几何语言：用“HL”证明两个直角三角形全等的注意事项：C′ABCB′A′┐┐①应用“HL”的前提条件是在直角三角形中；②书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”;③书写条件时，先写斜边（H），再写直角边（L）.

知识点

“HL”证全等

新知探究

知识点

“HL”证全等已知条件需寻找的条件判定方法一锐角对应相等直角与已知锐角的夹边对应相等与锐角（或直角）的对边对应相等斜边对应相等一直角边对应相等一锐角对应相等一直角边对应相等斜边对应相等已知边相邻的锐角对应相等已知边所对的锐角对应相等ASAAASHLAASHLASAAAS

新知探究例

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证：BC=AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.∴BC=AD.DABC

知识点

“HL”证全等跟踪训练

新知探究如图，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）

DABCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS

课堂小结三角形的全等的判定（四）（HL）斜边、直角边（HL）内容斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等前提条件是在直角三角形中；书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”；书写条件时，先写斜边（H），再写直角边（L）.注意事项根据已知条件选择适合证明两个直角三角形全等的方法隐含条件：两直角相等

课堂训练1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,以下结论:(1)△ABD≌△ACD;(2)BD=CD;(3)∠B=∠C;(4)AD是△ABC的一条角平分线.其中正确的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

D

课堂训练2.（2021•上海二模）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（）A．BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′ C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°C【解析】∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴A.由BC＝B′C′可根据“SSS”判定；B.由∠A＝∠A′可根据“SAS”判定；C.由∠C＝∠C′不可判定，因为没有“SSA”；D.由∠B＝∠B′＝90°可根据“HL”判定．故选C．

课堂训练3.（2021•北京一模）如图，在△ABC和△ADC中，AB⊥BC，AD⊥DC，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是

．（写出一个即可）【解析】∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°．∵AC＝AC（公共边），∴当添加CB＝CD或AB＝AD时，则可根据“HL”判断；当添加∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC时，则可根据“AAS”判断．故答案为CB＝CD或AB＝AD或∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC（选择其中一个条件即可）．

课堂训练4.（2021•西安模拟）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，分别过点A，C向EF作垂线，垂足分别为点G，H，且AG＝CH．求证：AB∥CD．证明：∵AG⊥GH，CH⊥GH，∴∠G＝∠H＝90°.在Rt△AGE和Rt△CHF中，

∴Rt△AGE≌Rt△CHF（HL）.,,

课堂训练4.（2021•西安模拟）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，分别过点A，C向EF作垂线，垂足分别为点G，H，且AG＝CH．求证：AB∥CD．∴∠AEG＝∠CFH.∵∠AEG＝∠BEF，∴∠BEF＝∠CFH.∴AB∥CD．

课堂训练5.（2021•佛山一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M，N，且BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°.在Rt△AMB和Rt△CNA中，

∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；,,

课堂训练5.（2021•佛山一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M，N，且BM＝AN．（2）求证∠BAC＝90°．解：由（1），知Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN.∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°.∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．

课堂训练6.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADB=∠AFB=90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中，

AD＝AF，

AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.

课堂训练6.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.在Rt△ABD和Rt△ABF中，

AD＝AF，

AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF,即BC＝BE.

课堂训练7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD,CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，求CH的长.证明：∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠AEH=∠CEB=∠CDH=90°.又∠AHE=∠CHD，∴∠EAH=∠ECB.在△EAH和△ECB中，

∠EAH=∠BCE，

∠AEH=∠CEB,

EH＝EB，

课堂训练7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD,CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，求CH的长.∴△EAH≌△ECB(AAS)．∴AE＝CE,则CE=4.∴CH=C