人教版九年级数学上册重难考点专题02解一元二次方程(知识串讲+9大考点)特训(原卷版+解析)

专题02解一元二次方程考点类型知识串讲（一）解一元二次方程的方法（1）解法一：直接开平方法概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得的根是，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。【注意】①若n≥0，方程有两个实数根。（若n＞0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）②若n<0，方程无解。（2）解法二：配方法概念：配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解一般步骤:①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；④求解：判断右边等式符号，开平方并求解（3）解法三：公式法（常用解法）概念：公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为一般步骤：①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;③如果b2-4ac≥0,将a、b、c的值代入求根公式：④最后求出x1，x2（4）解法三：因式分解法（仔细观察方程，灵活应用）概念：将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解。例：若a·b＝0，则a＝0或b＝0一般步骤：①将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解（二）根的判别式概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac①b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。②b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。③b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。④b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。（三）根与系数的关系①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.②使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.考点训练考点1：解一元二次方程——直接开平方典例1：（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是4m−3与2m−3【变式1】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）方程(x−2)2【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）若x2+y【变式3】（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）定义一种运算“⊕”，其规则为a⊕b=a2−考点2：解一元二次方程——配方法典例2：（2023·山东聊城·统考一模）将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b（a，b为常数）的形式，则【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）方程−x【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程x2+10x−7=0，方程可变形为x+m2=n，则【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：x2+12x-15=0解：可以把常数项移到方程的右边，得①__________________，两边同时加上62（一次项系数12一半的平方），得②________________，即③_____________．两边开平方，得④_______________，即⑤_________________．所以⑥_________________．考点3：配方法的应用典例3：（2023春·浙江·八年级专题练习）已知实数a，b满足b=a+1，则代数式a2【变式1】（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知M=5x2+6，N=4x2+4x，则M_______【变式2】（2023春·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）已知：a、b、c是ΔABC的三边，且a2-2【变式3】（2022秋·全国·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x2−5x−3=0，可以写成（x＋h）2＝k考点4：利用△判断根的情况典例4：（2023秋·上海普陀·八年级校联考期末）不解方程，判别方程3x【变式1】（2022秋·辽宁丹东·九年级校联考阶段练习）若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程a+bx【变式2】（2022秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab【变式3】（2022·浙江·九年级专题练习）方程2x考点5：根据的根的情况求字母的值或取值范围典例5：（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）若关于x的一元二次方程k−1x2−2kx+k=6【变式1】（2023春·山东青岛·八年级统考期中）若关于x的一元二次方程a−2x2−4x−1=0【变式2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知关于x的方程x2+mx+3=0有两个相等的实数根，则实数【变式3】（2023春·北京石景山·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程x2−2m+1考点6：解一元二次方程——公式法典例6：（2022秋·全国·九年级专题练习）用公式法解一元二次方程，得：x=−5±【变式1】（2023秋·福建福州·九年级校联考期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根为−2+【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）已知y1=2x2+7x−1,【变式3】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）下面是小明同学解方程x2∵a=1，b=−5∴b2∴x=5±∴x1=5+小明是从第______步开始出错．考点7：解一元二次方程——因式分解法典例7：（2023春·浙江温州·八年级瑞安市飞云中学校考期中）方程x2【变式1】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程x2【变式2】（2023·广东佛山·统考一模）一元二次方程x2【变式3】（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若x2+y考点8：解一元二次方程——用适当的方法典例8：（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考期中）用适当方法解下列方程(1)x2(2)3xx−2【变式1】（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期中）解下列方程：(1)2(2)2【变式2】（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）解下列方程：(1)x(2)x−1【变式3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）解方程：(1)3(2)4(3)x(4)2考点9：根与系数的关系典例9：（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．(2)若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b【变式1】（2023·湖北十堰·统考一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实根为x1、x2，且x1【变式2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）关于x的方程x2−2k−2x+k(1)求k的取值范围；(2)若x1+x【变式3】（2022秋·四川眉山·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范围．(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【变式4】（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【变式5】（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．同步过关一、单选题1．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）关于x的一元二次方程（k＋1）x2＋2x＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（

）A．k＞－1 B．k＜－1 C．k≠－1 D．k＜0且k≠－12．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）用配方法解方程x2−4x=1，变形后结果正确的是（A．x+22=5 B．x+22=2 C．3．（2023秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=0两实数根为x1、x2，则A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣14．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期中）已知m、n是关于x的方程x2−2x−2021=0的根，则代数式m2A．2022 B．2023 C．4039 D．40405．（2023秋·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）方程2x2−3x+2=0A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根6．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）关于x的方程kx2−2k+1x+k=0A．k>−14 B．k≥−14 C．k≥−14且7．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是3和－5，则x2＋px＋q可分解为(

)A．(x＋3)(x＋5) B．(x－3)(x－5)C．(x－3)(x＋5) D．(x＋3)(x－5)8．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）关于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0的根的情况是（

）．A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根9．（2023秋·九年级课时练习）方程ax2−2A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根．10．（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）用配方法解方程x2A．(x−2)2=−7 B．(x＋2)2=111．（2013·广东广州·中考真题）若5k+20<0，则关于x的一元二次方程x2A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法判断12．（2023·河南驻马店·九年级统考期末）已知方程x2﹣x﹣1＝0的两根为a、b，则代数式a2﹣2a﹣b＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．213．（广东广州·统考一模）已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）=0根的情况是（

）A．方程无实数根 B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个相等的实数根 D．无法判断14．（2023秋·全国·九年级阶段练习）下列方程中配方中有错误的是（）A．x2−4x−1=0B．x2+6x+8=0C．2x2D．3x215．（2023秋·九年级课时练习）2x(x−3)−5(x−3)因式分解结果为（）A．2B．(x−5)(2x−3)C．(2x+5)(x−3)D．(2x−5)(x−3)​二、填空题16．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）方程2x2﹣2x＝0的根为______．17．（2023秋·八年级课时练习）（1）x2-43x+_____=()2；（2）x2+px+_____=()218．（2012·山东枣庄·中考真题）已知关于x的方程x219．（2022秋·四川绵阳·九年级校考阶段练习）方程x2－8x－4=0化为(x+m)2=n的形式是_____．20．（2023秋·四川巴中·九年级阶段练习）关于x的方程3x2−2x+m=021．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）方程（x−2）2=9的解是_________.22．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x123．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．24．（2023秋·八年级单元测试）设等腰三角形的三条边长分别为a、b、c，已知a=4，b、c是关于x的方程x2−6x+m=0的两个根，则25．（2023秋·全国·九年级专题练习）x2+20x−96因式分解结果为________，方程三、解答题26．（2023秋·九年级课时练习）解方程：x2＋2x－399=0.(配方法)27．（2023秋·山东济南·九年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x（x+1）＝x+1．28．（2023·北京·一模）已知关于x的方程x2(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1（2023秋·山东潍坊·九年级校考阶段练习）解方程：（1）−4x2+4x−1=0（配方法）

（3）25(x−7)2=16(x+4)30．（2023秋·重庆黔江·九年级统考期末）关于x的一元二次方程x2(1)求k的取值范围；(2)如果x1，x2是方程的两个解，令w=x31．（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC＝8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．32．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）阅读材料：若x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，求x、y的值．解：∵x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，∴（x2－2xy＋y2）＋（y2－8y＋16）＝0∴（x－y）2＋（y－4）2＝0，∴（x－y）2＝0，（y－4）2＝0，∴y＝4，x＝4．根据你的观察，探究下面的问题：已知a、b满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0．求a、b的值.33．（2022·北京·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2（1）求m的取值范围；（2）如果m是非负整数，且该方程的根是整数，求m的值．34．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第二十二中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0有x1(1)求m的取值范围；(2)是否存在实数m，满足mx1−235．（2023春·湖北黄石·九年级统考阶段练习）阅读材料：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1，x材料2：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且解：由题知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=1，mn=−1根据上述材料解决以下问题：(1)材料理解：一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2(2)类比探究：已知实数m，n满足7m2−7m−1=0，7n2(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0

专题02解一元二次方程考点类型知识串讲（一）解一元二次方程的方法（1）解法一：直接开平方法概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得的根是，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。【注意】①若n≥0，方程有两个实数根。（若n＞0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）②若n<0，方程无解。（2）解法二：配方法概念：配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解一般步骤:①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；④求解：判断右边等式符号，开平方并求解（3）解法三：公式法（常用解法）概念：公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为一般步骤：①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;③如果b2-4ac≥0,将a、b、c的值代入求根公式：④最后求出x1，x2（4）解法三：因式分解法（仔细观察方程，灵活应用）概念：将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解。例：若a·b＝0，则a＝0或b＝0一般步骤：①将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解（二）根的判别式概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac①b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。②b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。③b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。④b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。（三）根与系数的关系①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.②使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.考点训练考点1：解一元二次方程——直接开平方典例1：（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是4m−3与2m−3【答案】1【分析】根据题意，可得两根互为相反数，进而得到4m−3+2m−3=0，进行求解即可．【详解】解：∵ax∴x=±b∴方程的两个根互为相反数，∴4m−3+2m−3=0，∴m=1；故答案为：1．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开方法解一元二次方程，互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．【变式1】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）方程(x−2)2【答案】x1=6【分析】利用直接开平方法可得方程的解．【详解】解：原方程两边直接开平方可得：x−2=6或者x−2=−∴x1=6故答案为：x1=6【点睛】本题考查一元二次方程的解，根据方程特点可以利用直接开平方法求解．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）若x2+y【答案】3或7/7或3【分析】根据x2+y2−5【详解】解：∵x2∴x2∴x2+y∴x2+y故答案为：3或7．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解答本题的关键把x2+y【变式3】（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）定义一种运算“⊕”，其规则为a⊕b=a2−【答案】x1=2【分析】先根据新定义得到x2−3【详解】解：∵x⊕3=0，∴x2∴x2所以x1=2，故答案为：x1=2，【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成nx+m2考点2：解一元二次方程——配方法典例2：（2023·山东聊城·统考一模）将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b（a，b为常数）的形式，则【答案】−84【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值．【详解】解：方程x2变形得：x2配方得：x2−8x+16=21，即则a=−4，故ab=−4×21=−84，故答案为：−84．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）方程−x【答案】x=2±【分析】利用配方法解方程即可．【详解】解：−xxx−2x−2=±x=2±3故答案为：x=2±3【点睛】此题考查了利用配方法解一元二次方程，正确掌握配方的方法是解题的关键．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程x2+10x−7=0，方程可变形为x+m2=n，则【答案】534【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：x2∴x2∴x2即x+52∴m=5，n=34．故答案为：5，34【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：x2+12x-15=0解：可以把常数项移到方程的右边，得①__________________，两边同时加上62（一次项系数12一半的平方），得②________________，即③_____________．两边开平方，得④_______________，即⑤_________________．所以⑥_________________．【答案】x2+12x=15x2+12x+62=15+36（x+6）2=51x+6=±51x+6=51，或x+6=-51x1=51−6；x2=【解析】略考点3：配方法的应用典例3：（2023春·浙江·八年级专题练习）已知实数a，b满足b=a+1，则代数式a2【答案】3【分析】将b=a+1代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵b=a+1∴a2+2b−6a+5==a−2∵a−22∴a−22故答案为：3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．【变式1】（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知M=5x2+6，N=4x2+4x，则M_______【答案】>【分析】计算M−N，然后将结果配方，即可求解．【详解】解：∵M=5x∴M−N=5x∴M>N,故答案为：>．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．【变式2】（2023春·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）已知：a、b、c是ΔABC的三边，且a2-2【答案】直角三角形【分析】等式配方成a2-2a+b-2b【详解】解：∵a2∴a2∴(a∴a-1=0，b-1-1=0∴a=1，b=2，∵12∴ΔABC故答案为：直角三角形．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2【变式3】（2022秋·全国·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x2−5x−3=0，可以写成（x＋h）2＝k【答案】(x−【分析】根据配方法的一般步骤进行配方即可．【详解】解：原方程可以化为：x2移项，得x2等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2配方，得(x−5故答案是：(x−5【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，掌握配方法解一元二次方程是解答本题的关键．考点4：利用△判断根的情况典例4：（2023秋·上海普陀·八年级校联考期末）不解方程，判别方程3x【答案】方程无实数根【分析】先化为一般式，再根据根的判别式解答即可．【详解】解：∵3x∴3x∴a=3,b=4,c=2，∴b2∴方程无实数根．故答案为：方程无实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当【变式1】（2022秋·辽宁丹东·九年级校联考阶段练习）若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程a+bx【答案】没有实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵a，b，c是△ABC的三边，∴a+b>c，即a+b2由a+bx2−2cx+a+b=0∴关于x的方程a+bx故答案为没有实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【变式2】（2022秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab【答案】有两个不相等的实数根【分析】根据运算“☆”的定义将方程1☆x【详解】解：∵1☆x∴1×x∴x2∴Δ=-1∴方程1☆x故答案为：有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a【变式3】（2022·浙江·九年级专题练习）方程2x【答案】有两个相等的实数根．【分析】先把一元二次方程化为一般式，确定a=2，b=−26【详解】解：把方程2x2+3=2∵a=2，∴Δ方程有两个相等的实数根．故答案为：有两个相等的实数根．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的一般式，实数混合计算，掌握一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的一般式，实数混合计算，当判别式△＞0，方程有两个不等实根，△=0，方程有两个相等的实根，△＜0，方程没有实根是解题关键．考点5：根据的根的情况求字母的值或取值范围典例5：（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）若关于x的一元二次方程k−1x2−2kx+k=6【答案】k≥0且k≠1【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【详解】解：∵关于x的方程k−1x∴Δ解得：k≥0，∵k−1≠0，∴k≠1，∴k的取值范围为k≥0且k≠1，故答案为：k≥0且k≠1．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，列出关于k【变式1】（2023春·山东青岛·八年级统考期中）若关于x的一元二次方程a−2x2−4x−1=0【答案】a<−2【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a−2≠0且Δ<0【详解】解：根据题意得a−2≠0且Δ=解得：a<−2．故答案为：a<−2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac【变式2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知关于x的方程x2+mx+3=0有两个相等的实数根，则实数【答案】±2【分析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【详解】∵方程x2∴△=b解得：m=±23故答案为：±2【点睛】考查一元二次方程ax2+bx+c=0当Δ=当Δ=当Δ=【变式3】（2023春·北京石景山·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程x2−2m+1【答案】m≥−【分析】根据一元二次方程的判别式，得出关于m的不等式，解出即可得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=解得：m≥−1∴m的取值范围是m≥−1故答案为：m≥−1【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、解不等式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解本题的关键．考点6：解一元二次方程——公式法典例6：（2022秋·全国·九年级专题练习）用公式法解一元二次方程，得：x=−5±【答案】3【分析】根据求根公式x=−b±【详解】解：根据题意得：a=3，b=5，c=1，则该一元二次方程是3x故答案为：3x【点睛】本题考查的是利用公式法额一元二次方程方程，掌握求根公式：x=−b±【变式1】（2023秋·福建福州·九年级校联考期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根为−2+【答案】−5【分析】由题意知，a＝1，b＝2，c＝﹣4，再代入计算即可．【详解】解：由题意知，a＝1，b＝2，c＝﹣4，∴4ac−=故答案为：−5．【点睛】本题考查的是一元二次方程的求根公式的理解，掌握“求根公式：x=−b±【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）已知y1=2x2+7x−1,【答案】1或−【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：当y12x解得x=1或x=−3故答案为：1或−【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【变式3】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）下面是小明同学解方程x2∵a=1，b=−5∴b2∴x=5±∴x1=5+小明是从第______步开始出错．【答案】一【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答．【详解】解：原方程化为：x2∴a=1，故答案为：一．【点睛】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键．考点7：解一元二次方程——因式分解法典例7：（2023春·浙江温州·八年级瑞安市飞云中学校考期中）方程x2【答案】x1=0【分析】利用因式分解法解答即可．【详解】解：x2∴xx−6∴x=0或x−6=0，解得：x1=0，【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因数分解法解一元二次方程是解题的关键．【变式1】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程x2【答案】14【分析】先利用因式分解法求出方程的两根，再结合构成三角形的条件求出第三边的长即可得到答案．【详解】解：∵x2∴x−2x−6∴x−2=0或x−6=0，解得x=2或x=6，当x=6时，三角形三边长为3，5，6，能构成三角形，则三角形周长为3+5+6=14；当x=2时，三角形三边长为3，5，2，不能构成三角形；综上所述，该三角形的周长为14，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了解一元二次方，构成三角形的条件，正确求出方程的两个根是解题的关键．【变式2】（2023·广东佛山·统考一模）一元二次方程x2【答案】x【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵x2∴x2∴xx−2023∴x=0或x−2023=0，解得x1故答案为：x1【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式3】（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若x2+y【答案】8【分析】将x2+y2看作一个整体，令x2+y【详解】解：令x2∵x2∴mm−3解得：m1=8，∴x2故答案为：8．【点睛】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是将x2+y考点8：解一元二次方程——用适当的方法典例8：（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考期中）用适当方法解下列方程(1)x2(2)3xx−2【答案】(1)x(2)x【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：x2∵a=1,b=4,c=−3，Δ=∴x=−b±∴x1（2）解：3xx−2∴3x−1x−2即3x−1=0或x−2=0，解得：x1【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【变式1】（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期中）解下列方程：(1)2(2)2【答案】(1)x1=(2)y1=−2【分析】（1）整理后，利用公式法求解即可；（2）整理后，利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：2x整理得：2xa=2，∵Δ=−92−4×2×8∴x=9±∴x1=9+（2）解：2y整理得2yy+2∴y+22y−1∴y+2=0或2y−1=0，解得y1=−2，【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．【变式2】（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）解下列方程：(1)x(2)x−1【答案】(1)x1=2+(2)x1=1【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：x2x2x2x−22x−2=±6∴x1=2+6（2）x−12x−12x−12x−1x−1+3x−1x+2∴x−1=0或x+2=0，∴x1=1，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．【变式3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）解方程：(1)3(2)4(3)x(4)2【答案】(1)x1=(2)x1=(3)x1=−2(4)x1=1【分析】（1）根据公式法求解即可；（2）根据因式分解法求解即可；（3）根据因式分解法求解即可；（4）根据因式分解法求解即可；【详解】（1）解：3x3x∴a=3，∴Δ=∴x=−b±∴x1=2+（2）解：4x−34x−35x−12x−3∴5x−12=0或x−3=0，∴x1=12（3）解：xx−3xx−3xx−3x+2x−3∴x+2=0或x−3=0，∴x1=−2，（4）解：2x2x−1x−3∴2x−1=0或x−3=0∴x1=1【点睛】本题考查解一元二次方程．根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题关键．考点9：根与系数的关系典例9：（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．(2)若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b【答案】(1)见详解(2)m=1或m=−3【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式证明即可；（2）先根据根与系数的关系得到a+b=m+2，ab=m−1，再根据完全平方公式变形得到关于m的一元二次方程，最后求解即可．【详解】（1）证明：对于关于x的一元二次方程x2可知Δ=∵m2∴m2∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：若a和b是该一元二次方程的两个根，则有a+b=m+2，ab=m−1，又∵a2∴a2即m2解得m=1或m=−3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式1】（2023·湖北十堰·统考一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实根为x1、x2，且x1【答案】(1)见解析(2)m=5或m=−2【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；（2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入计算即可求出m的值．【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程x2∵m−1∴Δ=m=m=m−1则方程有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系可得：x1+x∵x∴x1+整理得：m2−3m−10=0，即∴m−5=0或m+2=0，解得：m=5或m=−2．【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．【变式2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）关于x的方程x2−2k−2x+k(1)求k的取值范围；(2)若x1+x【答案】(1)k<1(2)k的值为−1−【分析】（1）由要保证一元二次方程总有两个不相等的实数根，就必须使其根的判别式Δ>0恒成立，即得出关于k的不等式，解出k（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得出关于k的一元二次方程，再解这个方程即可．【详解】（1）解：∵关于x的方程为x2∴a=1，b=−2k−2，c=∵该方程有两个不相等的实数根，∴Δ=解得：k<1；（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1、x∴x1+x∵x1∴2k−2整理，得：k2解得：k1=−1−6∴k的值为−1−6【点睛】本题考查由一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2−4ac，且当Δ>0时，该方程有两个不相等的实数根；当【变式3】（2022秋·四川眉山·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范围．(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)k<1且(2)不存在，见解析【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式即可求解；（2）用含k的式子表示出方程的两个实数根的倒数和等于0，计算出k的值，再结合题意进行判断即可．【详解】（1）∵一元二次方程kx∴Δ=解得k<1且k≠0（2）假设存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0设方程kx2+(k−2)x+x∴1即k−2=0，且k≠0解得k=2又∵k<1∴不存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，两根之和，两根之积是解题的关键．【变式4】（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)1<m<2【分析】（1）表示出Δ，根据Δ的数值判断即可；（2）利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可．【详解】（1）解：依题意，得∵Δ∴方程总有两个实数根；（2）解：方程x由（1）得Δ∴x=−(−2m)±42×1=m±1，∴∵方程的一根大于2，一根小于1，m+1>m−1∴m+1>2∴1<m<2．∴m的取值范围是1<m<2．【点睛】本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知识点是解题关键．【变式5】（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．【答案】(1)见解析(2)m=1【分析】（1）证明Δ≥0（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【详解】（1）解：证明：∵Δ==(m−4)∵(m−4)∴方程总有两个实数根．（2）解方程x2可得(x−2)(x−m+2)=0，解得x1=2，若方程有一个根为负数，则m−2<0，故m<2，∴正整数m=1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）同步过关一、单选题1．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）关于x的一元二次方程（k＋1）x2＋2x＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（

）A．k＞－1 B．k＜－1 C．k≠－1 D．k＜0且k≠－1【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=22-4（k+1）•0＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得k+1≠0且△=22-4（k+1）•0＞0，解得k≠-1．故选C．【点睛】本题考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题关键．2．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）用配方法解方程x2−4x=1，变形后结果正确的是（A．x+22=5 B．x+22=2 C．【答案】C【分析】根据配方法可直接进行求解．【详解】解：由方程x2−4x=1两边同时加上4可得故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键．3．（2023秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=0两实数根为x1、x2，则A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【答案】A【分析】根据根与系数的关系求解即可.【详解】∵关于x的一元二次方程x2−3x+2=0两实数根为x1∴x1故选：A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次项系数为1，常用以下关系：x1、x2是方程x2+px+q=0的两根时，4．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期中）已知m、n是关于x的方程x2−2x−2021=0的根，则代数式m2A．2022 B．2023 C．4039 D．4040【答案】D【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出m2−2m=2021，【详解】解：∵m、n是关于x的方程x2∴m2−2m=2021，m==2021−2×2+2023=4040，故选：D．【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．5．（2023秋·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）方程2x2−3x+2=0A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝−7＜0，进而可得出该方程没有实数根．【详解】2a＝2，b＝-3，c＝2，∵△＝b2−4ac＝9−4×2×2＝−7＜0，∴关于x的一元二次方程2x故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．6．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）关于x的方程kx2−2k+1x+k=0A．k>−14 B．k≥−14 C．k≥−14且【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵方程kx∴Δ=−2k+1解得：k≥−14且故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，当Δ=7．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是3和－5，则x2＋px＋q可分解为(

)A．(x＋3)(x＋5) B．(x－3)(x－5)C．(x－3)(x＋5) D．(x＋3)(x－5)【答案】C【详解】由题意知，因式分解法求方程的根可得x2＋px＋q=(x－3)(x＋5)

，选C.8．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）关于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0的根的情况是（

）．A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】解：关于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0中Δ=∴方程2x2－3x＋1=0有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．9．（2023秋·九年级课时练习）方程ax2−2A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根．【答案】B【分析】根据方程根的判别式的值等于0，得到方程有两个相等的实数根．【详解】解:∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根．故选B.【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；等于0，方程有两个相等的实数根；小于0，方程没有实数根．10．（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）用配方法解方程x2A．(x−2)2=−7 B．(x＋2)2=1【答案】D【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．【详解】解：∵x2∴x2∴x2∴(x−2)2故选：D．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．11．（2013·广东广州·中考真题）若5k+20<0，则关于x的一元二次方程x2A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法判断【答案】A【分析】先求出k的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式判断即可解答．【详解】解：5k+20<0得k<−4∴方程x2+4x∴方程x2故选A．【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．12．（2023·河南驻马店·九年级统考期末）已知方程x2﹣x﹣1＝0的两根为a、b，则代数式a2﹣2a﹣b＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1，则a2﹣2a﹣b变形a2﹣a﹣a﹣b＝1﹣（a+b），再根据根与系数的关系得到a+b＝1，然后利用整体思想计算．【详解】∵a为方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1，∴a2﹣2a﹣b＝a2﹣a﹣a﹣b＝1﹣（a+b），∵x2﹣x﹣1＝0的两根为a、b，∴a+b＝1，∴a2﹣2a﹣b＝1﹣（a+b）＝1﹣1＝0．故选：B．【点睛】此题考查一元二次方程的根与系数的关系，两根之和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数，计算过程中可以选用整体代入的方法求代数式的值.13．（广东广州·统考一模）已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）=0根的情况是（

）A．方程无实数根 B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个相等的实数根 D．无法判断【答案】C【详解】试题分析：根据勾股定理可得a2+b2=c2，△=(2b)2－4（c+a）（c－a）=4考点：（1）、根的判别式；（2）、勾股定理14．（2023秋·全国·九年级阶段练习）下列方程中配方中有错误的是（）A．x2−4x−1=0B．x2+6x+8=0C．2x2D．3x2【答案】C【分析】把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，配方即可．【详解】A、x2-4x-1=0化为（x-2）2=5，故正确；B、x2+6x+8=0化为（x+3）2=1，故正确；C、2x2−7x−6=0D、3x2−4x−2=0故选C【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．15．（2023秋·九年级课时练习）2x(x−3)−5(x−3)因式分解结果为（）A．2B．(x−5)(2x−3)C．(2x+5)(x−3)D．(2x−5)(x−3)​【答案】D【详解】根据因式分解的方法，可提公因式（x-3）为：（x-3）（2x-5）.故选D.点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式a2−b二、填空题16．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）方程2x2﹣2x＝0的根为______．【答案】x1＝0，x2＝1/x1＝1，x2＝0【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：2x（x﹣1）＝0，2x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故答案为x1＝0，x2＝1．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题关键．17．（2023秋·八年级课时练习）（1）x2-43x+_____=()2；（2）x2+px+_____=()2【答案】49x−23p【分析】（1）二次项系数为1时，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即(2（1）二次项系数为1时，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即(p【详解】（1）x2-43x+(23（2）x2+px+(p2)故答案为

(1).49；x−23(2).p【点睛】本题考查的是配方法.解题关键是熟练掌握完全平方公式的特征.选择配方法时，若二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18．（2012·山东枣庄·中考真题）已知关于x的方程x2【答案】－3【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根．【详解】∵方程x2设另一个根为a，∴2a=－6，解得：a=－3．故答案为：－3【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1x219．（2022秋·四川绵阳·九年级校考阶段练习）方程x2－8x－4=0化为(x+m)2=n的形式是_____．【答案】x−4【分析】先将常数项移到等号的右边为：x2−8x=4，再配方得【详解】解：x2∴x2∴x−42故答案为：x−42【点睛】本题考查解一元二次方程的配方法的适用，涉及了完全平方公式的运用．20．（2023秋·四川巴中·九年级阶段练习）关于x的方程3x2−2x+m=0【答案】53【分析】先把x=−1代入方程3x2−2x+m=−0得到关于m【详解】把x=−1代入方程3x得3+2+m=0，解得m=−5，设方程的另一个根为t，则−1·t=m3，解得【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了根与系数的关系．21．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）方程（x−2）2=9的解是_________.【答案】x【详解】开方得x−2=±3即：当x−2=3时,x1=5；当x−2=−3时,x2=故答案为5或−1.22．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1【答案】1【分析】对比求根公式即可得出结论．【详解】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的求根公式是：x=−b±b2故答案为1．【点睛】本题考查了求根公式．熟记求根公式是解答本题的关键．23．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．【答案】7【分析】先利用因式分解法解x2﹣4x+3=0得到x1=3，x2=1，然后分类讨论：当三角形的腰为3，底为1时，易得三角形的周长；当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．【详解】x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x1=3，x2=1．①当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7；②当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．所以三角形的周长为7．故答案为7．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值都为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．24．（2023秋·八年级单元测试）设等腰三角形的三条边长分别为a、b、c，已知a=4，b、c是关于x的方程x2−6x+m=0的两个根，则【答案】8或9【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得b+c=6，bc=m，分a=4为腰长和底边长两种情况，分别求出相应的m的值，继而利用三角形三边关系进行验证后即可得答案.【详解】∵b、c是关于x的方程x2∴b+c=6，bc=m，当a=4为腰长时，b=4、c=2（或b=2，c=4），此时m=8，∵4，4，2可组成三角形，∴m=8符合题意；当a=4为底边长时，∵b+c=6，b=c，∴b=c=3，∴m=9，∵3，3，4可组成三角形，∴m=9符合题意，故答案为：8或9.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.25．（2023秋·全国·九年级专题练习）x2+20x−96因式分解结果为________，方程【答案】（x+24）(x-4)x1=-24

，x2=4【详解】运用十字相乘法对二次三项式进行因式分解，x2+20x-96=（x+24）（x-4）．然后把x2+20x-96=0方程因式分解为（x+24）（x-4）=0然后根据ab=0式的方程的解法，可得x+24=0或x-4=0，解得x1=-24，x2=4．故答案为：（x+24）（x-4）；-24，4．点睛：本题考查的是二次三项式的因式分解和因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解并求出方程的两个根．三、解答题26．（2023秋·九年级课时练习）解方程：x2＋2x－399=0.(配方法)【答案】x1=－21，x2=19【详解】试题分析：先移项，然后配方解出x即可.试题解析：x2＋2x－399=0,移项，得x2＋2x=399，配方，得x2＋2x+12=399+12，即（x+1）2=400，解得，x+1=±20，即x1=－21，x2=19.点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数.27．（2023秋·山东济南·九年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x（x+1）＝x+1．【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；（2）x1【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）∵x2﹣4x∴x2﹣4x即(x−2)2则x﹣2＝±3，∴x1＝5，x（2）∵2x（x＋1）﹣（x＋1）＝0，∴（x＋1）（2x﹣1）＝0，则x＋1＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝－1，x【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，因式分解法求解，根据方程的特点，灵活选择解题方法是解题的关键．28．（2023·北京·一模）已知关于x的方程x2(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得x1+x【详解】（1）根据题意可知：Δ=∴方程有两个不相等的实数根；（2）有题意得：x∴x1+【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．29．（2023秋·山东潍坊·九年级校考阶段练习）解方程：（1）−4x2+4x−1=0（配方法）（3）25(x−7)2=16(x+4)【答案】（1）x1=x2=12；（2）x1=−5【分析】(1)只能用配方法，系数化1，加减一次项系数一半的平方，直接开平方即可，(2)利用公式法，先计算判别式的值，代入公式即可，(3)利用直接开平方法，注意平方根的意义即可，(4)因式分解法，把方程用十字相乘法分解即可．【详解】（1）−4x2+4x−1=0（配方法），x2-x+14(x-12)2x1=x2=12（2）2x2+25x+1=0，△=b2-4ac=20-8=12，x=−b±bx1=−5+32，x（3）25(x−7)2=16(x+4)2，5(x-7)=±4(x+4)，

5x-35=4x+16，x=51，5x-35=-4x-16，9x=19，x=199

x1=51，x2=199（4）(3x−2)2+5(2−3x)+4=0，(3x−2)2-5(3x−2)+4=0，(3x-2-4)(3x-2-1)=0，3x-6=0，x=2，3x-3=0，x=1，x1=2，x2=1．【点睛】本题考查方程的解法，掌握解方程的方法，同时注意指定方法解决问题不可改变方法，按要求做是解题的关键．30．（2023秋·重庆黔江·九年级统考期末）关于x的一