第1章三角形的证明（知识归纳题型突破）（原卷版）-2023-2024学年八年级数学下册单元速记巧练（北师大版）（北师大版）

第1章三角形的证明（知识归纳+题型突破）1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.目录：题型一等腰三角形的定义题型二等腰三角形三线合一题型三等腰三角形的性质与判定综合题型四等边三角形的性质题型五等边三角形的性质与判定题型六30°直角三角形的性质题型七HL题型八勾股定理的逆定理题型九垂直平分线的性质题型十垂直平分线的性质与判定题型十一角平分线的性质题型十二角平分线的性质与判定题型十三尺规作图题型十四三角形的证明解答证明题综合题型一等腰三角形的定义【例1】若等腰三角形的顶角为100°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A． B． C． D．巩固训练：1．一个等腰三角形的一条边长为5，一条边长为6，请你计算这个三角形的周长是．2．等腰三角形的顶角是，则此等腰三角形的底角度数为（

）A． B． C．或 D．3．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，等腰三角形顶角的度数是（

）A．或或 B．或 C．或 D．4．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（

）A．或 B． C． D．或题型二等腰三角形三线合一【例2】如图，已知，，若，则的长为（

）A．2 B． C．3 D．巩固训练：1．下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是或．其中不正确的（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④2．如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（）A． B． C． D．3．如图，在中，，点在边上，，平分交于点E，若，，则的长为（

）题型三等腰三角形的性质与判定综合【例3】如图，，D点在边上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．巩固训练：1．如图，在中，和的平分线分别交于点F、G，若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（）A． B． C． D．题型四等边三角形的性质【例4】．如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（

）A． B． C． D．巩固训练：1．如图，是等边三角形的中线，，则的度数为．2．如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则．题型五等边三角形的性质与判定【例5】．如图，等边的两条高和相交于点O，则度数为（

）A． B． C． D．巩固训练：1．在中，若，则是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰钝角三角形2．如图，在中，，过点作，在直线上取点，使得，连接，且，则的度数为（

）A． B． C． D．题型六30°直角三角形的性质【例6】．如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（

）

A．8 B．6 C．4 D．2巩固训练：1．如图在中，，于点D，若，，则的长为（

）．A．4 B．4 C．8 D．162．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（）A． B． C． D．题型七HL【例7】．如图，若要用“HL”证明，则还需补充条件（

）

A．B． C． D．巩固训练：1．如图，在四边形中，连接，且，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（

）A． B．C． D．2．如图，在中，于R，于S，则三个结论①；②；③中（）A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确题型八勾股定理的逆定理【例8】．一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边上的高为（

）A． B． C． D．巩固训练：1．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（）

A．4 B． C． D．2．如图所示，，，，，，则（

）

A． B． C． D．题型九垂直平分线的性质【例9】．如图，在中，，，的垂直平分线交于点M，交于点N，，则（

）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm巩固训练：1．如图所示，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（

）A． B． C． D．2．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（

）A． B． C． D．题型十垂直平分线的性质与判定【例10】．如图，，，则正确的结论是（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确巩固训练：1．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（

）

A．小明说的对B．小亮说的对，可添条件为“”C．小亮说的对，可添条件为“”D．两人说的都不对2．如图，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，下列结论：①；②；③；④四边形的面积等于．其中正确的有（

）个

A．1 B．2 C．3 D．4题型十一角平分线的性质【例11】．在中，，的平分线交于点，，，则到的距离是(

)

A．3 B．4 C．5 D．6巩固训练：1．如图，中，是的角平分线，，F是中点，连接，若，，，则的面积为（

）A． B．8 C．9 D．122．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6题型十二角平分线的性质与判定【例12】．如图，，，，，则°．巩固训练：1．如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，．（1）若，则；（2）已知，，则的长是．2．如图，已知，边分别交交于M，N，若，，则的度数是．题型十三尺规作图【例13】．如图，请仔细观察用直尺和圆规作的三个步骤，要说明，只需要连接、，并证明即可，则这两个三角形全等的依据是(

)

A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边巩固训练：1．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径两弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（

）

①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．A．4 B．3 C．2 D．12．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（

）A． B． C． D．3．已知，用尺规作图的方法在上取一点P，使，下列选项正确的是（

）A． B． C． D．4．如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点A、B为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；②连接，作直线，且与相交于点，则下列说法不正确的是（

）

A．是等边三角形 B．C． D．题型十四三角形的证明解答证明题综合【例14】．已知：如图，于，于，若，；求证：平分．巩固训练：1．如图，在中，，求边上的高．

2．如图，在中，，点D是的中点，，交的延长线于点，且，．(1)求证：；(2)求的周长．3．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．(1)求证：；(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．4．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达