6.3余角补角对顶角

6.3余角、补角、对顶角【推本溯源】余角的定义：如果两个角的和为一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。如图：∠COD=90°，∠1+∠2=90°；∠1与∠2互余。补角的定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。如图：∠1+∠2=180°；∠1与∠2互补。2.填表∠130°n（0＜n＜90）∠1的余角60°∠1的补角120°3.余角的性质：同角（等角）的余角相等。几何语言：∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°∴∠2=∠3补角的性质：同角（等角）的补角相等几何语言：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°∴∠2=∠34.对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。如图：∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。几何语言：∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角∴∠1=∠3，∠2=∠4【解惑】例1：一个角的余角是，那么它的度数是___________．【答案】【分析】根据余角的定义计算即可．【详解】解：这个角的是，故答案为：．【点睛】此题主要考查了余角，解题的关键是明确两个角互余，和为．例2：如果一个角的补角是，那么这个角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据补角的定义即可得到答案．【详解】解：设这个角为，由补角的定义可得，∴，故选：D．【点睛】本题考查补角，熟练掌握补角的定义：互为补角的角相加等于是解题的关键．例3：如图、相交于点，平分，若，则的度数是_________．【答案】50【分析】由角平分线可知，即可求出的大小，再由和为对顶角，即可直接求出的大小．【详解】解：平分，，，，故答案为：50．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和对顶角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．例4：如图所示的几组角中，和是对顶角的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对顶角的定义逐一判断即可，对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线．【详解】解：根据对顶角的定义，只有A选项是对顶角，故选：A．【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．例5：如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据每个图中的三角尺的摆放位置，得出和的关系即可．【详解】解：第1个图中，，符合题意；第2个图中，根据同角的余角相等，，符合题意；第3个图中，根据三角尺的特点和摆放位置得：，，，符合题意；第4个图中，根据图形可知与是邻补角，，不符合题意；综上，的图形有3个．故选：C．【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，准确识图是解题的关键．【摩拳擦掌】1．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，直线a，b相交，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图形及可求出和的值，进而能得出的值．【详解】解：由图形可得：，．故选：B．【点睛】本题考查了邻补角和对顶角的知识，比较简单，注意在计算角度时不要出错．2．（2023春·广东珠海·七年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）下列各图中，，是对顶角的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据对顶角的定义逐项分析即可．【详解】A、B中的两个角虽有公共顶点，但它们的两边不是互为反向延长线，故不是对顶角，不合题意；D中的两个角没有公共的定点，不是对顶角，不合题意；C中的两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，故是对顶角，符合题意．故选C．【点睛】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角．3．（2023春·广东茂名·七年级校联考期中）如图，直线和直线相交于点O，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对顶角相等可得，代入计算即可得．【详解】解：由对顶角相等得：，∵，∴，解得，故选：B．【点睛】本题主要考查了对顶角相等，熟练掌握对顶角相等是解题关键．4．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）与互补，与互余，则________．【答案】180【分析】首先根据题意可得，，两式相减可得，然后再求出即可．【详解】解：与互补，与互余，，，，，故答案为：180．【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握互为余角的两个角的和为90度，互为补角的两个角的和为180度．5．（上海市普陀区20222023学年七年级下学期期中数学试题）如图，直线与相交于点，平分，平分，，那么____________．

【答案】【分析】根据补角的定义及角平分线的定义，再根据余角的定义及角平分线的定义得到．【详解】解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了补角的定义，余角的定义，角平分线的定义，理解角平分线的定义是解题的关键．6．（2023春·广东广州·七年级仲元中学校考阶段练习）如图，已知直线，交于点，，那么的度数为___________．

【答案】/度【分析】根据邻补角的定义即可求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了邻补角，熟练掌握邻补角互补是解题的关键．7．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）一副三角板如图放置，当∠1与∠2互余时，∠1的度数是__________.

【答案】/度【分析】根据余角的定义和性质，得出，，即可求出．【详解】解：∵∠1与∠2互余，∴，∵与互余，∴，∴，∵与互余，∴，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了余角的定义与性质，解题的关键是熟练掌握同角或等角的余角相等．8．（2021秋·广东惠州·七年级统考期末）如图，，，点在同一条直线上，则等于_______．

【答案】【分析】根据题意先求出的余角，再求出的补角即可解答．【详解】解：∵，，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了余角的定义，补角的定义，理解余角和补角的定义是解题的关键．9．（2023春·山西吕梁·七年级统考期中）如图，直线相交于点，若，则的度数为______．

【答案】【分析】由邻补角的性质：邻补角互补，即可求解．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查邻补角，关键是掌握邻补角的性质．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）一个角的补角比这个角的2倍还多，求这个角余角的度数．【答案】【分析】设这个角为，写出它的补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数，即可得解．【详解】解：设这个角为，则其余角为，补角为，依题意有，解得．，答：这个角的余角的度数是．【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．11．（2023春·广东珠海·七年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）如图，直线和直线相交于点，平分．

(1)写出图中的邻补角是和；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据邻补角的定义即可求解；（2）根据角平分线的性质，可知，，由此即可求解．【详解】（1）

解：∵，∴的邻补角是，故答案为：．（2）解：∵，平分，∴，则，∵，∴，∴的度数为．【点睛】本题主要考查邻补角，角平分线综合，掌握角平分线的性质，邻补角的定义是解题的关键．12．（2022春·天津和平·七年级统考期中）如图，直线与相交于点．

(1)若，求，的度数；(2)若，求，的度数（用含的式子表示）．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据对顶角相等，平角为，即可作答；（2）根据对顶角相等有：，，结合，，即可求解．【详解】（1）∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，（2）根据对顶角相等有：，，∵，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了对顶角相等，平角为等知识，掌握对顶角相等，是解答本题的关键．13．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，和都是直角．

(1)如果，求的度数；(2)当变小时，则的度数______（填“变大”、“不变”或“变小”）；(3)在图2中利用能够画直角的工具画一个与相等的角．【答案】(1)(2)变大(3)见解析【分析】（1）根据直角的定义得到，由此可得，则；（2）仿照（1）的求解方法求出即可得到结论；（3）根据同角的余角相等仿照图（1）画图即可．【详解】（1）解：∵和都是直角，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵和都是直角，∴，∴，∴，∴当变小时，则的度数变大，故答案为：变大；（3）解：如图2所示：．

【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，同角的余角相等，灵活运用所学知识是解题的关键．【知不足】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，直线、相交于点，．下列说法不正确的是（

）

B．C．D．【答案】B【分析】根据对顶角相等，平角的性质，邻补角互补，即可判断出正确．【详解】解：对顶角相等，，A正确且不是的角平分线，，B错误；，，，（对顶角相等），，C正确；平角等于，，D正确；故选：B．【点睛】本题考查了邻补角、对顶角相等，平角的定义等知识；解题的关键是掌握邻补角、对顶角相等．2．（2023春·河南开封·七年级校考期中）如图所示，点O在直线上，已知，，则的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【分析】由邻补角的性质求出的度数，由垂直的定义即可求出的度数．【详解】解：，．故选：C．【点睛】本题考查垂线，求角的度数，关键是掌握垂直的定义，邻补角的性质．3．（2023·福建宁德·统考模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则______°．

【答案】33【分析】根据题意，结合已知条件，即可求出的值．【详解】根据题意得，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了两个角的互补关系，熟练掌握补角的定义是解题的关键．4．（2023秋·广东梅州·七年级统考期末）如图，射线，交于点，射线平分，若，则的度数为______．

【答案】【分析】利用对顶角的定义得出，进而利用角平分线的性质得出的度数．【详解】解：（对顶角相等），，，射线平分，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及对顶角的性质，得出度数是解题关键．5．（2023春·河北保定·七年级保定十三中校考期中）如图，，射线在的内部，且．射线在的内部，平分．（1）的度数为________；（2）若与互余，则的度数为________；（3）若，则的度数为________．【答案】/度/度/度【分析】（1）结合题意根据角的计算可得，带入求解即可；（2）结合角平分线的定义可得即，结合与互余，可求解；（3）结合题意和（1）求得，由角平分线的定义可得，由可求解．【详解】解：（1），，，，，故答案为：；（2）平分，，，与互余，，即，，故答案为：；（3），，，，平分，，，故答案为：．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角的计算；解题的关键是熟练掌握相关概念正确计算．6．（2023春·福建龙岩·七年级校联考期中）如图，直线交于点O，，若，则______°．【答案】96【分析】对顶角相等，得到，根据，求出的度数，进而求出的度数，互补关系，求出即可．【详解】解：∵∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：96．【点睛】本题考查求角的度数．正确的识图，确定角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．7．（2023春·贵州铜仁·七年级统考期中）已知，在内部，．

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分，请说明：；(3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）由，，得到，而，即可求出的度数；（2）由角平分线定义，得到，而，即可证明；（3）由余角的定义，得到，而，，即可求出的度数，从而得出结论．【详解】（1）解：，，，，；（2）平分，，，，，，，，；（3），，，，，，，．【点睛】本题考查余角和补角，角平分线定义，关键是应用角平分线定义，角的和差表示出有关的角．8．（2020秋·广东江门·七年级期末）如图，是直线上一点，，求的度数．

【答案】【分析】根据邻补角的定义列式即可求出．【详解】解：是直线，是平角，，，，，．【点睛】本题考查了邻补角的定义，是基础题，根据邻补角的定义列式求出是解题的关键．9．（2023春·全国·七年级专题练习）综合与探究阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线．(1)知识初探：如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数．(2)类比探究：如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据折叠可知，是的平分线，是的平分线，得到，，即可求出的度数；（2）由折叠可知，，设，根据角平分线的定义，得到，再利用平角的性质，求得，即为的度数．【详解】（1）解：由折叠可知，是的平分线，是的平分线，，；（2）解：由折叠可知，是的平分线，，设，，，平分，，，，．【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义等知识，正确理解题意，熟练掌握折叠的性质是解题关键．【一览众山小】1．（2022春·六年级单元测试）如图，直线与相交于点，．

(1)如图，若平分，求的度数；(2)如图，若，且平分，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据角平分线的定义，得到，再利用平角进行求解，即可求出的度数；（2）根据平角和角平分线的定义，求得，再根据，求得，，进而得到，即可求出的度数．【详解】（1）解：，平分，，；（2）解：，，平分，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平角的性质，理解题意，找准角度之间的数量关系是解题关键．2．（2023春·山东济南·七年级统考期中）以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即．

(1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则；(2)如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置，①若恰好平分，则；②若在内部，请直接写出与有怎样的数量关系；(3)将直角三角板绕点O顺时针转动(与重合时为停止)的过程中，恰好有，求此时的度数．【答案】(1)(2)①；②(3)的度数为或【分析】（1）利用余角的定义可求解；（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；由，，结合的度数可求解；（3）可分两种情况：当在的内部时，当在的外部时，根据角的和差可求解．【详解】（1）由题意得：，，，故答案为；（2），，，平分，，，，故答案为；，，，，，，即与数量关系为：．（3）当在的内部时，

，而，，，，，又，，；当在的外部时，

，而，，，，，又，，，综上所述：的度数为或．【点睛】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．3．（2023春·四川泸州·七年级统考期中）如图，直线相交于点O，且，若平分(1)求的度数；(2)若，求的度数【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对顶角相等求出，利用角平分线定义求出的度数，再根据邻补角定义求出的度数；（2）求出，的度数，即可得到的度数．【详解】（1）解：∵直线相交于点O，且，∴，∵平分，∴，∴（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】此题考查了对顶角相等，角平分线的定义，邻补角的定义，正确掌握各知识点并理解图形中各角度的关系是解题的关键．4．（2023春·山东滨州·七年级统考期中）如图，O为直线与直线的交点，平分，．(1)当，求的度数；(2)当，请探究与有怎样的数量关系．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平角的意义可求出，由平分线的意义可得，进一步可得出；（2）由平角的意义可求出，由平分线的意义可得，进一步可得出【详解】（1）∵且∴∵是的平分线，∴∵，∴又∴,（2）∵且∴∵是的平分线，∴∵，∴又∴,∴【点睛】本题考查了对顶角、邻补角以及角平分线的定义、角的计算；弄清各个角之间的关系，熟练掌握角的计算是解题的关键5.（2022秋·七年级单元测试）如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．(1)若，则________；若，则________；由此猜想：与存在的关系是________；(2)如图②，若将两个同样的直角三角板的锐角的顶点重合在一起，求的值：(3)将一副直角三角板按如图③摆放，三角板在的内部，作的平分线，作的平分线若三角板在内部固定点，任意变换位置，则的度数是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求的度数．【答案】(1)，，互补(2)(3)的度数不发生变化，，理由见解析【分析】（1）由，可以得出，从而，由，可以得出，从而即可得出答案；由于，从而（2）由，得，又由，，从而得出答案；（3）由，得，而，从而，又，故．【详解】（1）解：，，，，，，，，，，，，，．故答案为，，互补．（2），，，，，；（3）的度数不发生变化．平分，平分，，，，即，，，，，又，．【点睛】本题主要考查角的有关计算及角平分线的性质，互为余角，互为补角的性质，熟练运用性质和合理的推理是解题的关键．6．（2023春·七年级课时练习）已知，过点O作．(1)若，求的度数；(2)若，射线平分，射线平分，求的度数；(3)若，射线平分，射线平分，求的度数．【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）分类讨论：即当射线在射线同侧或两侧，进行角度的计算，即可解答；（2）分类讨论：即当射线在射线同侧或两侧，根据角平分线的定义，进行角度的计算，即可解答；（3）分类讨论：即当射线在射线同侧或两侧，根据角平分线的定义，进行角度的计算，即可解答。【详解】（1）解：∵，∴．当射线在射线同侧时，如图①，．当射线在射线两侧时，如图②，．综上可知，的度数为或．（2）解：当射线在射线同侧时，如图③，∵射线平分，射线平分，∴，，∴．当射线在射线两侧时，如图④，∵射线平分，射线平分，∴，，∴．综上可知，的度数为．（3）解：当时，分两种情况考虑：当射线在射线同侧时，如图⑤．∵射线平分，射线平分，∴，，∴．当射线在射线两侧时，如图⑥．∵射线平分，射线平分，∴，，∴．综上可知，的度数为或．【点睛】本题考查了垂直，角平分线的定义以及角的计算，按照题意画出图形是解题的关键．7．（2023春·甘肃武威·七年级统考期中）如图，直线，相交于点，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据补角的定义可以求出，再根据角平分线的性质即可求解．（2）根据平角的定义和题中角的比可求出，再根据对顶角相等即可求解．【详解】（1）解：，，平分，；（2）解：平分，，，，，，解得：，．【点睛】本题考查角的度数计算，熟练掌握平角、补角定义、角平分线的性质是解决本题的关键．8．（2023春·广东东莞·七年级东莞市东莞中学校考期中）如图，直线，相交于点，平分．(1)写出图中的所有补角；(2)若，求的度数；(3)若，求的度数．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据对顶角、邻补角的意义，结合图形即可得出答案；（2）根据角平分线的意义和对顶角的性质，即可得出答案；（3）根据平角、按比例分配，角平分线的意义、对顶角性质可得答案．【详解】（1）∵平分．∴，∵，∴的补角有，（2）平分，，，，，（3）：：，，，，平分，，又，．【点睛】本题考查对顶角、邻补角、角平分线、平角的意义和性质，通过图形具体理解这些角的意义是正确计算的前提．9．（2023春·广东深圳·七年级北大附中深圳南山分校校考期中）如图，直线与EF相交于点O，，将一直角三角尺（含和）的直角顶点与O重合，平分．(1)求的度数；(2)图中互余的角有对；(3)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为．①当t为何值时，直线平分．②当时，直线平分．【答案】(1)(2)5(3)①或；②或【分析】（1）根据，平分，可得，再根据，即可得到的度数；（2）根据余角的定义求解即可；（3）①分两种情况进行讨论：当平分；当