专题05《有理数的乘方》衔接讲义（原卷）

2022年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义专题05《有理数的乘方》知识互联网知识互联网学习目标学习目标1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.4.会用科学记数法表示大数.知识要点知识要点知识点1：有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数．要点分析：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．知识点2：乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如≥0．要点分析：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．知识点3：有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点分析：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．知识点4：科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.要点分析：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.题型1题型1：有理数的乘方【典型例题01】（2022•雨花区校级开学）下列各数：①，②0.1，③﹣|﹣2|，④（﹣3）2，⑤，是正有理数的是（填序号）．【思路引导】根据绝对值、有理数的乘方、相反数、有理数的定义解决此题．【完整解答】解：①是正分数，那么①是正有理数．②0.1是正的小数，那么②是正有理数．③根据绝对值的定义，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，那么﹣|﹣2|是负数，那么③不是正有理数．④根据有理数的乘方，（﹣3）2＝9＞0，那么（﹣3）2是正有理数，那么④是正有理数．⑤根据无理数的定义，是无理数．综上：正有理数有①②④．【考察注意点】本题主要考查绝对值、有理数的乘方、相反数、有理数，熟练掌握绝对值、有理数的乘方、相反数、有理数的定义是解决本题的关键．【典型例题02】（2022春•梁山县期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，则x+y的值等于（）A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5【思路引导】根据绝对值和有理数的乘方求出x，y的值，根据x＞y分两种情况分别计算即可．【完整解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，∴x＝±2，y＝±3，∵x＞y，∴当x＝2，y＝﹣3时，x+y＝﹣1；当x＝﹣2，y＝﹣3时，x+y＝﹣5；故选：C．【考察注意点】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，考查分类讨论的思想，根据x＞y分两种情况分别计算是解题的关键．变式训练变式训练【变式训练01】（2021秋•碑林区校级期末）下列说法正确的是（）A．整数和分数统称为有理数 B．任何有理数都有倒数 C．一个数的绝对值一定为正数 D．立方等于本身的数是1和﹣1【变式训练02】（2022春•诸城市期中）若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．则log264的值为．【变式训练03】（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2．理解运用：（1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝，d（1）＝；（2）“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：＝；（a为正数）（3）若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）；（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p．题型题型2：非负数的性质：偶次方典例精讲典例精讲【典型例题03】（2021秋•淅川县期中）如果|a+1|+（b﹣2）2＝0．（1）求a、b的值；（2）求（a+b）2020+a2021的值．【思路引导】（1）直接利用绝对值和偶次方的非负数的性质得出a，b的值；（2）直接把a，b的值代入求出答案．【完整解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，|a+1|≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2；（2）（a+b）2020+a2021＝（﹣1+2）2020+（﹣1）2021＝0．【考察注意点】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．【典型例题04】（2021秋•望城区期末）已知|2x﹣6|+（5+y）2＝0，则yx的值为（）A．15 B．﹣15 C．﹣125 D．125【思路引导】根据绝对值和偶次方的非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【完整解答】解：∵|2x﹣6|+（5+y）2＝0，而|2x﹣6|≥0，（5+y）2≥0，∴2x﹣6＝0，5+y＝0，解得x＝3，y＝﹣5，∴yx＝（﹣5）3＝﹣125．故选：C．【考察注意点】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．变式训练变式训练【变式训练04】（2021秋•潼南区校级期末）已知：|a+1|+（2﹣b）2＝0，则ab的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【变式训练05】（2022春•华安县校级月考）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，则x＝，y＝．【变式训练06】（2021秋•凉山州期末）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（b+a）2021＝．【变式训练07】（2021秋•赣州期中）已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，求﹣2a+b的值．题型题型3：科学记数法—表示较大的数典例精讲典例精讲【典型例题05】（2022•自贡）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客180000余人．人数180000用科学记数法表示为（）A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×106【思路引导】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【完整解答】解：180000＝1.8×105，故选：C．【考察注意点】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【典型例题06】（2020秋•襄汾县期中）已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝1010，10m×10n＝10m+n．（m，n均为正整数）（2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．【思路引导】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【完整解答】解：（1）106×104＝1010，10m×10n＝10m+n；故答案为：1010；10m+n；（2）①（1.5×104）×（1.2×105）＝（1.5×1.2）×（104×105）＝1.8×109；②（﹣6.4×103）×（2×106）＝（﹣6.4×2）×（103×106）＝﹣12.8×109＝﹣1.28×1010．【考察注意点】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．变式训练变式训练【变式训练08】（2021秋•铁东区期末）记者从11月20日召开的2021世界制造业大会新能源汽车产业发展论坛上获悉，到今年9月底我国汽车保有量达到了297000000辆，年底将超过3亿辆．297000000这个数字用科学记数法可表示为（）A．29.7×107 B．0.297×109 C．2.97×108 D．297×106【变式训练08】（2022•秦淮区二模）自2022年3月10日南京市发生外地来宁人员关联本土疫情以来，截至3月27日11时，南京市累计开展核酸检测超过59000000人次．用科学记数法表示59000000是【变式训练09】（2021秋•曾都区期末）“垃圾分类，我在行动”．一粒小小的纽扣电池就可以污染60万升水，相当于一个人一生的饮水量．用科学记数法表示数据60万是．【变式训练10】（2022春•南岸区校级月考）我国约有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧150000吨煤所产生的能量．（1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量？（2）若1吨煤大约可以发出8000度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（结果用科学记数法表示）题型题型4：近似数和有效数字典例精讲典例精讲【典型例题05】（2022春•松江区校级期中）下列说法正确的是（）A．近似数4.20和近似数4.2的精确度一样 B．近似数4.20和近似数4.2的有效数字相同 C．近似数3千万和近似数3000万的精确度一样 D．近似数52.0和近似数5.2的精确度一样【思路引导】根据近似数和有效数字的定义，可以判断各个选项中的说法是否正确．【完整解答】解：近似数4.20和近似数4.2的精确度不一样，近似数4.20精确到百分位，近似数4.2精确到十分位，故选项A错误，不符合题意；近似数4.20和近似数4.2的有效数字不相同，近似数4.20有三个有效数字，近似数4.2有两个有效数字，故选项B错误，不符合题意；近似数3千万和近似数3000万的精确度不一样，近似数3千万精确到千万位，近似数3000万精确到万位，故选项C错误，不符合题意；近似数52.0和近似数5.2的精确度一样，故选项D正确，符合题意；故选：D．【考察注意点】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字定义．【典型例题07】按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：①60290（保留两个有效数字）；②0.03057（保留三个有效数字）；③2345000（精确到万位）；④1.596（精确到0.01）．【思路引导】①先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字2进行四舍五入即可；②根据有效数字的定义求解；③先利用科学记数法表示，然后把千位上的数字5进行四舍五入即可；④把千分位上的数字进行四舍五入即可．【完整解答】解：①60290（保留两个有效数字）≈6.0×104；②0.03057（保留三个有效数字）≈0.0306；③2345000（精确到万位）≈2.35×106；④1.596（精确到0.01）≈1.60．【考察注意点】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．变式训练变式训练【变式训练11】（2021秋•绥滨县期末）按括号内的要求用四舍五入法取近似数，其中正确的是（）A．103.57≈103.6（精确到个位） B．2.708≈2.71（精确到十分位） C．0.054≈0.1（精确到0.1） D．0.0136≈0.013（精确到0.001）【变式训练12】（2022春•静安区期中）月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球的距离约为363300千米，把这个近似数保留三个有效数字，则可表示为千米．【变式训练13】（2021秋•青田县期末）一个数由四舍五入精确到千分位后得到的数是1.270，那么这个数最小可以取基础基础达标一．选择题1．（2022•丰台区二模）2021年我国原油产量约1.99亿吨，连续3年回升．将199000000用科学记数法表示应为（）A．199×106 B．1.99×108 C．1.99×109 D．0.199×1092．（2022•洞头区模拟）“中国天眼”是我国世界最大单口径的射电望远镜，它的占地面积约260000平方米，数据260000用科学记数法表示为（）A．26×104 B．2.6×105 C．2.6×106 D．0.26×1063．（2022•章丘区二模）国家统计局数据，2022年一季度，规模以上工业原油产量5119万吨，同比增长4.4%．“5119万”用科学记数法可表示为（）A．51.19×1062 B．51.19×107 C．5.119×107 D．5.119×1084．（2022春•遵化市期中）计算（﹣+﹣）×（﹣24）的结果是（）A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣10二．填空题5．（2022•大理市一模）2021年5月15日7时18分，执行我国首次火星探测任务的“天问一号”探测器在火星着落，在火星上首次留下中国印迹．火星是太阳系九大行星之一，火星的半径约为3395000米，用科学记数法表示“3305000”为．6．（2022•姑苏区一模）苏州站是苏州重要的交通枢纽之一，站房建筑面积为54000平方米，采用线上高架候车结构，包括南北两个站房和高架站房，并在北站房设置站前高架和落客平台，是苏州市地标建筑之一．将数据54000用科学记数法表示为．7．（2022春•嘉定区校级期中）计算：﹣25+26＝．8．（2022•娄底模拟）定义：对于23＝8，把3叫做以2为底的8的对数，记为log28＝3．那么＝．9．（2022•金平区一模）已知a、b为有理数，且|a﹣3|+（3b+1）2＝0，则（ab）2022＝．10．（2022•东台市模拟）据资料显示，我国钓鱼岛周围海域面积约170000km2，用科学记数法表示该数为．11．（2022春•松江区校级期中）将80450保留三个有效数字为．三．解答题12．（2021秋•三原县期末）计算：（1）；（2）．13．（2021秋•肇源县期末）一个圆形喷水池（如图）的半径是3米，要在其周围修1米宽的小路．小路的面积是多少平方米？（π取3.14，结果保留两位小数）14．（2021秋•垦利区期末）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题．（1）当a＝1时，求＝，当b＝﹣2时，求＝．（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值．（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．15．（2022春•商城县校级月考）规定“*”表示一种运算，且a*b＝a﹣2b，试求3*（4*）的值．16．（2022春•南岸区校级月考）我国约有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧150000吨煤所产生的能量．（1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量？（2）若1吨煤大约可以发出8000度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（结果用科学记数法表示）17．（2022春•邗江区校级月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果：2③＝，＝；（2）将下列运算结果直接写成幂的形式：5⑥＝；＝；（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为；（4）算一算：42×④．能力提升能力提升一．选择题1．（2021秋•大名县期末）下列各对数中，相等的一对是（）A．与 B．﹣22与（﹣2）2 C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| D．（﹣2）3与﹣232．（2021秋•单县期末）一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（）A． B． C． D．3．（2021秋•安居区期末）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，则|m|﹣c×d+的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣3 D．或4．（2021秋•栖霞市期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16丁：（﹣3）2÷×3＝9÷1＝9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2018秋•西湖区校级月考）定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为3n+5；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（）A．1 B．2 C．7 D．8二．填空题6．（2021秋•渠县期末）根据央视报道，去年我国汽车尾气排放总量大约为47000000吨．将47000000用科学记数法表示为．7．（2021秋•仪征市期末）小亮用天平称得一个罐头的质量为2.026kg，近似数2.026精确到0.01约是．8．（2022春•蒸湘区校级月考）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2017＝．9．（2021秋•南丹县期末）1根1米长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，则第8次剩下的木棒的长为米．10．（2018秋•翠屏区期中）如图，定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝449，则第449次“F运算”的结果是．11．（2018秋•郫都区期中）三个数a＝266，b＝344，c＝622中，最小的一个是．三．解答题12．（2021秋•垦利区期末）计算：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）；（2）；（3）；（4）．13．（2021秋•龙凤区校级期末）笑笑超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：（1）如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；（2）如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．A．王叔叔在该超市购