2.4线段角的对称性（三~四）（原卷版）

2.4线段、角的对称性（三~四）【推本溯源】1.如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折，因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。因此，角是图形，是它的对称轴.2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。 因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离． 几何语言：3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？ 因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的上。几何语言：4.已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM．（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．（2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M（3）作射线OM。5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现什么？6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三者之间的关系是？【解惑】例1：如图，交延长线于，于，，．(1)求证：平分；(2)直接写出与之间的数量关系．例2：如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，，分别以点，为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，，则的面积为__________．

例3：如图中，平分，则的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6例4：小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（

）A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．B．角平分线上的点到角两边的距离相等．C．三角形三个内角的平分线交于同一个点．D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等．例5：如图，是内一点，点到三边的距离相等，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【摩拳擦掌】1.点在内，且到三边的距离相等．若，则等于（

）A． B． C． D．2.如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，使点到边、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（

）A．

B．

C．

D．

3.如图，P是内一点，点P到三边，，的距离，，则的度数为（

）．A． B． C． D．4.如图，在中，是的平分线，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，若，则的长为________．

5.如图，在中，是边上的高，平分，交于点，已知，，，则的面积等于_______．6.如图，在中，，，的面积为24，依据尺规作图的痕迹判断，的长为______．7.如图，已知．

(1)求作边上高，交于点；(2)求作的平分线，交于点；(3)若，，求的度数．8.使用直尺与圆规完成下面作图，（不写作法，保留作图痕迹）(1)在上找一点，使得到和的距离相等；(2)在射线上找一点，使得．9.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高线．(2)用直尺和圆规，作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）．(3)求的面积．【知不足】1.如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③2.如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（

）A．65° B．80° C．100° D．70°3.如图，在中，，平分交于于点D．

（1）若，，则点D到的距离是_______．（2）若，点D到的距离为6，则的长为________．4.如图，已知的周长是32，，分别平分和，于点，且，则的面积是____________.

5.如图，在中，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，则的面积为________．6.如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数．7.如图，是的中线，请用尺规作图法在上找一点P，使得点P到线段、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

8.如图，已知线段MN和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等．（不写作法，只保留作图痕迹）9.如图，在四边形中，，，求作一点P，使得点P到C、D两点距离相等且满足．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

结论：10.作图题：保留作图痕迹，不写作法

(1)如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．(2)如图，网格中的与为轴对称图形．①利用网格线作出与的对称轴；②在对称轴上找到一点P，使最短③如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积为___________．【一览众山小】1．（2023·北京顺义·统考二模）已知：线段及射线．求作：等腰，使得点C在射线上．

作法一：如图1，以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点C（不与点A重合），连接．作法二：如图2．①在上取一点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交射线于点E，连接；②以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交前弧于点G；④作射线交射线于点C．作法三：如图3，①分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q；②作直线，交射线于点C，连接．根据以上三种作法，填空：由作法一可知：______，∴是等腰三角形．由作法二可知：______，∴（__________________）（填推理依据）．∴是等腰三角形．由作法三可知；是线段的______．∴（__________________）（填推理依据）．∴是等腰三角形．2．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，以的边、为边向外作等腰和等腰，．与交于．求证：是的平分线．3．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：．4．（2023·安徽蚌埠·统考一模）在中，，，点是射线上一点，连接，过点作，垂足为点，直线、相交于点．(1)如图所示，当点在线段延长线上时，求证：≌；(2)如图所示，当点在线段上时，连接，过点作于，于，求证：平分．5．（2022秋·七年级单元测试）已知：如图，、分别是的外角平分线，于点，于点，．求的度数．6．（2023秋·八年级课时练习）如图，和都是等腰直角三角形，．(1)求证：；(2)试判断和的大小关系，并证明你的结论．7．（2023·广东惠州·校联考二模）如图，，，于．

(1)求证：平分；(2)若，，求的长．8．（2023·湖南永州·校考三模）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为多少度．

9．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，，点E是的中点，平分．

(1)求证：是的平分线；(2)已知，，求四边形的面积．10．（2023秋·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校联考期末）【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．解：是由折叠而得到，．，．，．，∴的