第3单元01讲（原卷版）

第三单元一元一次方程考点1一元一次方程的相关概念1．等式：用号表示相等关系的式子．2．方程：含有数的等式叫做方程．3．一元一次方程：只含有个未知数，未知数的次数都是，等式的两边都是式，这样的方程叫做一元一次方程．一元一次方程标准形式：（x为未知数，a、b是常数且）4．方程的解：使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解．5．解方程：求方程的过程叫做解方程．考点2等式的性质1．等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍．表示为：如果，则2．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个的数，结果仍相等．表示为：如果，那么如果，那么=考点3解一元一次方程1．基本概念（1）合并同类项：把若干能合并的式子的系数相，且字母和字母的指数不变，起到化简的作用．（2）移项：把等式一边的某项后移到另一边．（依据：等式的性质1）（3）去括号：括号前负号时，去掉括号时里面各项应号．（4）去分母：在方程的两边都乘以各自分母的．2．解一元一次方程的基本步骤步骤具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式性质2不要漏乘不含分母的项，注意给分子填括号去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号分配律，去括号法则不要漏乘括号中的每一项移项把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程另一边，注意移项要变号等式性质11.移动的项一定要变号，不移的项不变号2.注意项较多时不要漏项合并同类项把方程变为的最简形式合并同类项法则1.把系数相加2.字母和字母的指数不变系数化为1将方程两边都除以未知数系数a，得解等式性质2解的分子，分母位置不要颠倒考点4解特殊的一元一次方程1．含绝对值的一元一次方程（1）策略：解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的性质．（2）方法：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：（1）当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化：或．2．含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式，再分三种情况分类讨论：（1）当时，；（2）当时，为任意有理数；（3）当时，方程无解．考点5实际问题与一元一次方程1．用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系；设：用代数式表示实际问题中的基础数据；列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程；解：求解方程；验：考虑求出的解是否具有实际意义；答：实际问题的答案．2．常见利用方程解决实际问题等量关系：（1）销售中盈亏问题：①成本价：俗称进价，是商家进货时的价格；②标价：商家出售时标注的价格；③打折：打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售．如：打9折，就是按标价的90℅出售．④利润=售价－进价，利润>0时盈利，利润<0时亏损．⑤利润率=利润/成本×100%=(售价成本)/成本×100%．（2）顺逆流问题：船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度船在逆水中速度=船在静水中的速度水流速度船顺水行程=船逆水的行程水流速度=（顺水速度逆水速度）÷2（3）数字问题：一个两位数，十位数字是，个位数字是，那么这个数可表示为一个三位数，百位数字是,十位数字是，个位数字是z，那么这个数可表示为（4）工程、效率问题：工程问题中要善于把握什么是总工作量，总工作量可以看成“1”；工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”．工作量=工作时间×工作效率（5）球赛积分问题：比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分（6）行程问题：路程=速度*时间相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离追及问题：快者的行程慢者的行程=初始距离（7）钟表问题：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度．分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走小格，每分钟走0.5度等式的基本性质等式的基本性质等式的基本性质1等式的基本性质2简易表述同加减，仍相等同乘除，也相等，条件为数或式子为数或式子，作除时【例题】1.下列变形符合等式性质的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，那么2.下列变形正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放______个■．4利用等式性质解方程：（1）；（2）；（3）．【练经典】5.已知，下列等式不一定成立的是（）A. B. C. D.6.下面的变形正确的是（）A.由，得 B.由，得C.由，得 D.由，得7.如图1，在第一个天平上，物块A的质量等于物块B加上物块C的质量；如图2，在第二个天平上，物块A加上物块B的质量等于3个物块C的质量．已知物块A的质量为．请你判断：1个物块B的质量是___．8.利用等式的性质解下列方程.(1)y+3=2；(2)y2=3；(3)9x=8x6；(4)8m=4m+1【练易错】易错点：忽略字母取值零导致错误9.下列关于等式基本性质的表述中错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则解一元一次方程1．解一元一次方程的基本步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（1）不要漏乘不含分母的项（2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号（1）不要漏乘括号里的项（2）不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)（1）移项要变号（2）不要丢项合并同类项把方程化成的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．不要把分子、分母写颠倒2．一元一次方程的解的情况方程的解的情况方程的条件有唯一的解有无数个解无解【例题】10.方程的解为（）A. B. C.或 D.无解11.方程去分母后，所得结果正确的是（）A. B.C. D.12.如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（）A. B. C. D.13.解方程（1）（2）（3）（4）【练经典】14.解方程时，去分母正确的是（）A. B.C. D.15.将方程中分母化为整数，正确的是（）A. B.C. D.16.已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于x的一元一次方程的解为（）A.2013 B.－2013 C.2023 D.－202317.解方程（1）（2）（3）【练易错】易错点1：去分母时漏乘导致错误18.解方程：一元一次方程的解的运用类型策略知解求参型把方程的解代入方程，求出参数整数解型先解含参方程，再利用整除的性质求解解的关系型先解含参方程，利用解的关系建立参数的方程，解方程求出参数错解型错解代入错方程，正解代入正方程新定义型按新定义列出方程再解方程遮挡型把遮挡部分作为参数，转化为知解求参型程序图型把输入作为未知数，按程序设计建立方程，解方程，如果程序是循环的，需要多次建立方程求解【例题】19.若是方程解，则的值为（）A. B. C. D.20.若关于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整数，则k的整数值有（）个．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个21.王涵同学在解关于x的方程7a＋x＝18时，误将＋x看作－x，得方程的解为x＝－4，那么原方程的解为（）A.x＝4 B.x＝2 C.x＝0 D.x＝－222.定义:“*”运算为“”，若，则的值为()A.1 B. C. D.223.关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和，则方程的根是（）A.0 B.1， C.2， D.无法确定24.小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x=1﹣，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=1，于是他判断●应该是_______．【练经典】25.如果是关于的方程的解，那么等于（）A. B.3 C. D.526.按下面的程序计算：当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是；如果输入的值是正整数，输出结果是，那么满足条件的的值最多有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个27.已知关于x的方程2mx6=(m+2)x有正整数解，则整数m的值是___________．28.小明在解方程是未知数时，误将看成了，得到的解为，请聪明的你帮小明算一算，方程正确的解为（）A. B. C. D.29.对于任意有理数、，规定一种新运算“”，使，例如：．，则的值为（）A. B.3 C. D.130.方程，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是，那么▲处的数字是__．列方程解应用题1．常用分析法（1）直译法：找出关键词→把关键词翻译为数学符号→写出等量关系；（2）模型法：找出试题所属类型→根据类型的量得出等量关系→写出等量关系；2．常见模型行程问题，工程问题，营销问题，调配问题，配套问题，数字问题，和差积商问题，古代问题【例题】31.在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE＝x（cm），依题意可得方程（）A. B.6+2x＝14﹣xC.14﹣3x＝6 D.6+2x＝x+（14﹣3x）32.了丰富学生课后服务活动，某校七年级开展了篮球兴趣班和足球兴趣班，现需要给每名兴趣班同学分别购买一个篮球或一个足球，篮球每个100元，足球每个80元，结合图中两个学生的一段对话，求两个兴趣班各有多少人？33.为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，学校组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动．若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．问：计划调配36座的新能源客车多少辆？该校七年级共有多少名学生？34.甲、乙两人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60千米，相遇后再经1小时乙到达A地．（1）甲，乙两人的速度分别是多少？（2）两人从A，B两地同时出发后，经过多少时间后两人第一次相距20千米？35.一项工程，甲队单独完成需要40天，乙队单独完成需要50天，现甲队单独做4天后两队合作．（1）求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程．（2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费为3000元，乙队每天的施工费为3500元，求完成此项工程需付给甲乙两队共多少元．36.列方程解应用题欧尚超市恰好用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的与少10件，甲、乙两种商品的进价和售价如表；（注：每件商品获利＝售价﹣进价）．甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？37.工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人．每个工人平均每天可以生产螺丝50个或螺母120个．（1）该车间有男生、女生各多少人？（2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝．38.如图是2022年11月的日历，用一个方框在日历中任意框出4个代表日期的数abcd（1）______；（2）设．①若，求a的值；②S的值能否为36？请说明理由．39.为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表为：购买服装的套数1套至50套51套至90套91套及以上每套服装的价格50元40元30元（1）甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款____________元；（2）如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出?（3）如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服装方案．40.为增强居民节约用水意识，某市从2022年1月开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表：一户居民一个月用水量记为立方米水费单价（单位：元/立方米）超出22立方米不超出28立方米的部分超出28立方米的部分该市某户居民2022年四月份用水10立方米时，缴纳水费24元．（1）求的值；（2）若该户居民2022年五月份所缴水费为69元，求该户居民五月份的用水量．【练经典】41.袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究，现有A、B两块试验田各30亩，A块试验田种植普通水稻，B块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的2倍，两块试验田单次共收获水稻43200千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？42.小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m.（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇?（2）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10m处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？43.某市有甲、乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多10天．（1）现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？（2）已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府拨款70000元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？44.某社区超市第一次用元购进甲，乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）售价（元/件）（注：获利＝售价－进价）（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次的总利润多元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？45.某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物．如果每人制作9个，那么就比计划少做17个；如果每人制作12个，那么就比计划多做4个．这个手工兴趣小组共有多少人？计划要做的这批中国结有多少个？46.某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．（1）该工厂有男工、女工各多少人？（2）该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？47.如图是2022年2月的日历表：（1）在图中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为；（2）在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为；（3）在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为63吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由．48.2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价元/件的某款运动速干衣和元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．某户外俱乐部准备购买运动速干衣件，运动棉袜x双．（1）若该户外俱乐部按方案A购买，需付款元（用含x的式子表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款元（用含x的式子表示）；（2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；（3）当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．49.某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：项目第一档第二档第三档用电量（度）210度以下210至350350度以上价格（元）0.52比第一档提价0.05元比第一档提价0.3元例：若某户月用电量400度，则需交电费为210×0.52＋(350－210)×(0.52＋0.05)＋(400－350)×(0.52＋0.30)＝230(元)．(1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；(2)以此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档？50.用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分）．设小长方形的长和宽分别为和（）．（1）由图1，可知，满足的等量关系是______；（2）若图2中小正方形的边长为2，求小长方形的面积．新考法【新定义小练】51.对于有理数a，b，定义运算“★”；，例如：．所以，若，则x的值为______．52.定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数与4，因为，所以与4是一对“友好数”．设（或）的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数：，，，，…，．当时，的值为__________．53.定义一种新运算“※”：．例如，．（1）计算：的值为___________；（2）已知，求的值；54.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．（1）请