专题01 勾股定理中的最短路径模型（原卷版）

专题01勾股定理中的最短路径模型勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圆柱中的最短路径模型【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（

）

A． B． C． D．例2．（2023·湖北十堰·统考一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（

）

A． B． C． D．例3．（2023春·四川德阳·八年级校考期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为___________cm．模型2.长方体中的最短路径模型【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2022·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图所示，在正三棱柱中，已知，，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A． B． C． D．例2．（2023·广东·八年级校考期中）如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（）

A．5 B．4 C．6 D．7例3．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为．

例4．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（

）米A．16 B． C．15 D．14模型3.阶梯中的最短路径模型【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：注意：展开—定点—连线—勾股定理【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是________米．例2．（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是________．例3．（2023春·重庆八年级课时练习）在一个长为米,宽为米的长方形草地上,如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为1米的正三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是______米．模型4.将军饮马与最短路径模型【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（

）．（杯壁厚度不计）A．20 B．25 C．30 D．40例2.（2022·陕西·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．例3．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（

）A． B． C． D．课后专项训练1．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长，高，宽，在顶点处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（

）．A．B．C．D．2．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离（杯壁厚度不计）为（）

A． B． C． D．3．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）如图，正方体的棱长为，已知点B与点C之间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）A． B． C． D．4．（2023·四川成都·八年级校考期中）有一圆柱体如图，高，底面周长，处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处，求蚂蚁爬行的最短距离为(

)

A．3 B． C．8 D．55．（2023·陕西榆林·八年级校考期中）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，且，．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是．

6．（2023·江苏·八年级专题练习）如图是一个长为6cm、宽为3cm、高为4cm的长方体木块．一只蚂蚁要沿着长方体的表面从左下角的点A处爬行至右上角的点B处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为cm．7．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，有一个长方体，长、宽、高分别为6，4，4，在长方体的底面A处，有一蚂蚁，它想吃长方体上面与A相对的B点处的食物，那么最短需要爬行的路程是．

8．（2023春·陕西西安·八年级统考期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高厘米，底面周长厘米，在杯口内壁离杯口厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．

9．（2023春·重庆江津·八年级校考阶段练习）如图，圆柱的底面周长为10，，动点从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到点，则移动的最短距离为

10．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，已知圆柱底面直径，高．小虫在圆柱表面爬行，先从点C爬行到点A．再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为．

11．（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）已知，且x，y均为正数，则的最小值是．12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．13．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为cm．14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为（取3）．15．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4，3，5．（1）一根长7的木棒能否放人盒子里？__________（选填“能”或“不能”）（2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________．16．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点爬到圆柱的外侧点处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．

17．（2022·内蒙古包头·九年级统考自主招生）圆柱的高为，底面半径为，点B离地面，一只蜘蛛以的速度从底面上的点A处绕曲面到达点B捕食被网到的昆虫，蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间是多少？（π取3）

18．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）如图，某工厂前面有一条笔直的公路，原来有两条路，可以从工厂到达公路，经测量，，，现需要修建一条路，使工厂到公路的路程最短．请你用尺规作图画出最短路径（不写画法，保留作图痕迹），并求出新建路的长．

19．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．20．（2022秋·四川成都·八