实际问题与一元二次方程（销售问题、图表问题、动点问题）（导学案）-九年级数学上册同步备课系列

学习目标1）根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。2）通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。引入新课【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤?新知探究【问题】九年级学生小明在暑假期间勤工俭学。1）他每天在批发市场以每斤2.5元买进黄瓜，再到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么他每卖1斤黄瓜可以赚到元；2）如果他每天都能卖完50斤黄瓜，则他每天收入是元。3）他每天外面吃饭需花费20元，则他每天实际可以获得_____________元。【提问】根据上述问题，你能售价、进价、利润、支出之间存在的关系吗?【问题】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减小库存，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？【提问1】如果设衬衫单价应降x元，根据题目信息补充表格【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?【提问3】站在商家角度你觉得如何降价合适？【问题】某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元，应按每件多少元出售？【提问1】如果设应按每件x元出售，根据题目信息补充表格【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面问题？请你试一试。典例分析例1某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设该产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．1）用含x的代数式表示：一天生产的产品件数为_______件，每件产品的利润为________元；2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次x的值。[针对训练]1．李华网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天可销售20副，每个盈利40元，若每副降价1元，则每天可多销售5副.如果每天要盈利1700元，每副应降价______元(要求每个降价幅度不超过15元)2．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：1）每千克核桃应降价多少元？2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？新知探究【问题】某公司组织一批员工到龙湾风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？【提问1】公司支付给旅行社28000元，说明了什么？【提问2】设参加旅游人数共有x人，你用含x的代数式表示人均收费吗？【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?【问题】为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨x1001）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过部分应交水费元（用含x的式子表示）．2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：根据上表数据，求该x吨是多少？典例分析例2某市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?[针对训练]某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？某风景区的旅游信息如下：新知探究【问题】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？【提问1】设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度如何用含x的代数式表示？【提问2】Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面积如何用含x的代数式表示。【提问3】你能解决这个问题吗？典例分析例3如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？[针对训练]如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。1)当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？2)当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？感受中考1．（2021·山东日照真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？2．（2018·江苏盐城真题）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？3．（2021·山东菏泽真题）端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求该水果的销售价为每千克多少元？课堂小结1.本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言简述一元二次方程解应用题的步骤？2.你知道解决“销售问题”、“图表问题”、“动点问题”的关键步骤是什么？【参考答案】新知探究【问题】九年级学生小明在暑假期间勤工俭学。1）他每天在批发市场以每斤2.5元买进黄瓜，再到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么他每卖1斤黄瓜可以赚到1.5元；2）如果他每天都能卖完50斤黄瓜，则他每天收入是75元。3）他每天外面吃饭需花费20元，则他每天实际可以获得_______50______元。【提问】根据上述问题，你能售价、进价、利润、支出之间存在的关系吗?1）单件售价-单件进价=单件利润2）单件利润×销量=总利润3）总利润-支出=实际利润（或：销售总额-成本总额-支出=实际利润)【问题】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减小库存，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？【提问1】如果设衬衫单价应降x元，根据题目信息补充表格【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?等量关系:单件利润（降价后）×销量（降价后）=总利润设衬衫单价应降x元由题意得(40-x)(20+2x)=1200解方程得x1=20，x2=10（舍去）答：衬衫的单价降了20元【提问3】站在商家角度你觉得如何降价合适？为了尽快减小库存，所以降价幅度越大越好，因此x=20【问题】某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元，应按每件多少元出售？【提问1】如果设应按每件x元出售，根据题目信息补充表格【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?等量关系:单件利润（提价后）×销量（提价后）=总利润设应按每件x元出售由题意得（x-50）[800-20（x-60）]=12000解方程得x1=70，x2=80当x=70时，50×（800-20×10）=30000>24000舍去当x=80时，50×（800-20×20）=20000<24000答：应按每件80元出售，进货数量400件【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面问题？请你试一试。设提价x元由题意得(10+x)(800-20x)=12000解方程得x1=10，x2=20当x=10时，50×（800-20×10）=30000>24000舍去当x=20时，50×（800-20×20）=20000<24000当x=20时,60+x=60+20=80元答：应按每件80元出售，进货数量400件典例分析例1某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设该产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．1）用含x的代数式表示：一天生产的产品件数为_______件，每件产品的利润为________元；2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次x的值。【解析】解（1）一天生产的产品件数为[76-4（x-1）]=（80-4x）件，每件产品的利润为[10+2（x-1）]=（8+2x）元，（2）当利润是1080元时，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，整理得：-8x2+128x+640=1080，解得：x1=5，x2=11，∵x=11＞10，不符合题意，舍去。∴x=5，答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元。[针对训练]1．李华网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天可销售20副，每个盈利40元，若每副降价1元，则每天可多销售5副.如果每天要盈利1700元，每副应降价___6___元(要求每个降价幅度不超过15元)2．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：1）每千克核桃应降价多少元？2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【详解】解：1）设每千克核桃应降价x元根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2化简，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.2）由1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），54答：该店应按原售价的九折出售．新知探究【问题】某公司组织一批员工到龙湾风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？【提问1】公司支付给旅行社28000元，说明了什么？参加这次旅游人数大于30人【提问2】设参加旅游人数共有x人，你用含x的代数式表示人均收费吗？[800-10（x-30）]元【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?等量关系:参加旅游人数×人均消费=支付总额解：设参加旅游人数共有x人，∵800×30=24000<28000，∴参加人数x>30,根据题意，得x×[800-10（x-30）]=28000.整理，得x解得，x1=40，x2=70当x=40时，[800-10（x-30）]=800-10（40-30）=700>500当x=70时，[800-10（x-30）]=800-10（70-30）=400<500（不符合题意，舍去）答：参加人数共有40人【问题】为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨x1001）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过部分应交水费元（用含x的式子表示）．2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：根据上表数据，求该x吨是多少？【详解】解：（1）超过的用水量为（80-x）吨，所以，超过部分应交水费x100（2）根据表格提供的数据，可以知道x≥50，根据9月份用水情况可以列出方程：10+x解得，x1=60，x2=25因为x≥50，所以x=60答：该水厂规定的x吨是60吨．师生活动：学生独立思考，给出答案。师生活动：学生独立思考，给出答案。典例分析例2某市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?【详解】由题意，可列出方程N+整理得N2—29.1N+191=0．解方程得N1=10，N2=19.1（不合题意舍去）答：起步价是10元．[针对训练]某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？某风景区的旅游信息如下：【解析】设参加这次旅游的员工有x人，∵30×80=2400<2800，∴x>30．根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．当x=40时，80-（x-30）=70>55，当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．答：A公司参加这次旅游的员工有40人．新知探究【问题】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？【提问1】设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度如何用含x的代数式表示？AP、PB、BQ、QC的长度分别为x、6-x、2x、12-2x【提问2】Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面积如何用含x的代数式表示。设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则S△APD=1/2×x×12，S△PBQ=1/2×2x×(6-x)，S△DCQ=1/2×6×(12-2x)【提问3】你能解决这个问题吗？设xs后△DPQ的面积等于28cm2，根据题意得：12×x解这个方程得，xx1=2，x2=4答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2典例分析例3如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？【解析】设经过xs时间P、Q两点之间的距离是10cm。由题意得16解方程得x1=1.6，x2=4.8答：1.6s或4.8s后P、Q距离是10cm[针对训练]如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。1)当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？2)当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？【解析】1）x=2时，由运动可知AP＝3×2＝6cm，CQ＝2×2＝4cm，∴四边形ABCD是矩形，∴QE＝AD＝6，∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得PQ=PE∴当x＝2s时，P，Q两点的距离为62cm；2）x=4时，由运动知AP′＝3×4＝12cm，CQ′＝2×4＝8cm，∴四边形ABCD是矩形，∴P′E＝AD＝6P′B=CE=AB-AP′=16-12=4∴Q′E＝Q′C﹣CE＝8﹣4＝4，根据勾股定理得P′Q′=P'E∴当x＝4s时，P，Q两点的距离为213感受中考1．（2021·山东日照真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？【详解】解：（1）设y与销售