高考理科数学概率题型归纳与练习(含复习资料)

专题三：高考理科数学概率与数学期望

一.离散型随机变量的期望(均值)和方差

若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下:

•••

x2

X

•••

P\PiPn

P

1.其中,Pi=+P2+...+P,=1，则称MP]+%2〃2+3+%，”为随机变

量X的均值或X的数学期望，记为E(X)或〃.

数学期望E(X)=x}p}+x2p2+...+xnpn

性质(1)E(c)=c;(2)E(aX+b)=aE(X)+b.(a,b,c为常数)

22

2.(x,-ju)pt+(x2-ju)P2+...+(X,-nY(其中Pj20,i=1,2,…，4P]+p?+…+Pn=1)刻回了随机变

量X与其均值〃的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记

为D(X)或•

方差0X=(再-〃)2PI+(演-")2P?+…+区-")2P.

2.方差公式也可用公式D(X)==EX2-(EX)2计算.

r=l

3.随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差Z)(X)的算术平方

根称为X的标准差，即0=内方.

1•设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求，。

X-101

5

P1-勿

9

二.超几何分布

对一般情形，一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的〃件

产品中，不合格品数X的分布如下表所示:

X012•••/

x^n-1「2「刀-2

P•••

QQ

其中/=min(/2,M)

一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X=r)=C^2,

CN

其中r=0,1,2,3,I=min(/?,A7),则称X听从超几何分布，记为

并将P(X=r)=C1C：M记为

CN

1.高三(1)班的联欢会上设计了一项嬉戏：在一个口袋中装有10个红球,

20个白球，这些球除颜色外完全相同.现一次从中摸出5个球,

(1)若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率.

(2)若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.

解：由2.2节例1可知，随机变量X的概率分布如表所示:

X012345

258480758550380070042

p

237512375123751237512375123751

从而

£(X)=0x洛lx迺,2x03x迪田•,二=-«1.6667

2375123751237512375123751237513

答：X的数学期望约为1.6667.

说明：一般地，依据超几何分布的定义，可以得到E(X)=寸”三

占禺N

2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品

中任取3件，求：(I)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;

()取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

三.二项分布

1.〃次独立重复试验

一般地，由〃次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有

两种对立的状态，即4与每次试验中P(A)=〃>0。我们将这样的试验称为〃

次独立重复试验，也称为伯努利试验。

(1)独立重复试验满意的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；其

次：各次试验中的事务是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果。

(2)n次独立重复试验中事务4恰好发生k次的概率P(X=k)=C：-p)i。

2.二项分布

若随机变量X的分布列为尸(X=Z)=C：PV“，其中0<p<Lp+g=l,攵=0,1,2,,儿则

称X听从参数为小〃的二项分布，记作X

1.一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，假如取出的次品丕包

放回,求在取得止品前已取出的次品数X的概率分布。

2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个

交通岗遇到红灯的事务是相互独立的，并且概率都是"

⑴设J为这名学生在途中遇到红灯的次数，求J的分布列；

(2)设〃为这名学生在首次停车前经过的路口数，求〃的分布列；

(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为工，乙每次击中目标的

2

概率为1.

3

(1)记甲击中目标的此时为3求J的分布列与数学期望；

(2)求乙至多击中目标2次的概率；

(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

【巩固练习】

1.(2012年高考(浙江理))己知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定:取出

一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到

的机会均等)3个球,记随机变量4为取出3球所得分数之和.

(I)求1的分布列;

(II)求X的数学期望£0).

2.(2012年高考(重庆理))(本小题满分13分，(I)小问5分，(H)小问8分.)

甲、乙两人轮番投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,始终到

有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为L乙

3

每次投篮投中的概率为L且各次投篮互不影响.

2

(I)求甲获胜的概率；

(II)求投篮结束时甲的投篮次数g的分布列与期望

3.设篮球队A与8进行竞赛，每场竞赛均有一队胜，若有一队胜4场则竞赛

宣告结束，假定A8在每场竞赛中获胜的概率都是工，试求须要竞赛场数的

2

期望.

3.(2012年高考(辽宁理))电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体

育节目的收视状况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是依据调查结果

绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(I)依据已知条件完成下面的2x2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”

与性别

有关

(II)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采

纳随机抽

样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人

数为尤若每次抽取的结果是相互独立的，求乃的分布列，期望E(X)和方差

D(X).

5.(2007陕西理)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问

题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮

的问题的概率分别为微、1、|,且各轮问题能否正确回答互不影响.（I）

求该选手被淘汰的概率；（II）该选手在选拔中回答问题的个数记为3

求随机变量f的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

6.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件,

在下述三种状况下，分别求宜至取得正品时所需次数J的概率分别布.

（1）每次取出的产品不再放回去；

（2）每次取出的产品仍放回去；

（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.

7.（2007•山东）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量

C表示方程x2（）实根的个数（重根按一个计）.

（1）求方程犬0有实根的概次；

（）求&的分布列和数学期望；

8.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项实惠活动.活动规则如，下:

消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假

定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元；停在B区域

返券30元；停在C区域不返券,例如：消费218元，.可转动转盘2次，所

获得的返券金额是两次金额之和.

（I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

O若某位顾客恰好消费280元，并按规则参加.了活动，他获得返券的金

额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望.

%（本题满分12分）中国•黄石第三届国际矿冶文化旅游.节将于2012年8月20

日在黄石铁山实行，为了搞好，接待工作，组委会打算在湖北理工学院和湖北师

范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图

（单位：）

若身高在175以上（包括175）定义为“高个子”，身高在175以下（不包

括175）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担当“兼

职导游二

（1）依据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；

（2）假如用分层抽样的方法从“.高个子”和“非高个子”中抽取5人，再

从这5人中选2人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（3）若从全部“高个子”中选3名志愿者，用J表示所选志愿者中能担当

“兼职导游”的人数，试写出4的分布列，并求4的数学期望

10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,……,8,

其中X25为标准A,X23为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的

零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假

定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

（I）已知甲厂产品的等级系数X的概率分布列如下所示：

$5678

P0.4ab0.1

且X的数字期望尸6,求a,b的值；

（）为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应

的等级系数组成一个样本，数据如下：

3533855634

6347534853

8343447567

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学

期望.

11.受轿车在保修期内修理费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿

车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期

均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下:

将频率视为概率，解答下列问题：

（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保

修期内的概率；

O若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X-

生产一辆乙品牌轿车的利润为九，分别求九的分布列:

()该厂预料今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中

一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应当产生哪种品牌

的轿车？说明理由。

巩固练习答案

【解析】本题主要考察分布列，数学期望等学问点.

(I)才的可能取值有：3,4,5,6.

故,所求X的分布列为

X3456

52010155

42=2?42-1442=2?

P42

(II)所求¥的数学期望以乃为：

E(X)=^i-P(X=i)=—.

【答案】(I)见解析；(II)

【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事务的概率，

考查运用概率学问解决实际问题的实力,相互独立事务是指两事务发生的概

率互不影响，留意应用相互独立事务同时发生的概率公式.

解:设4,8,分别表示甲、乙在第2次投篮投中，则

(1)记“甲获胜”为事务C,由互斥事务有一个发生的概率与相互独立事务同

时发生的概率计算公式知,「(。)=2(4)+「(无瓦42)+尸伍瓦工瓦4)

(2"的全部可能为：1,2,3

由独立性知:P(舁1)=尸⑶+咽4)=那

综上知，g有分布列

123

P222

399

从而，E^=\x-+2x-+3x-=—（次）

3999

3.解：（1）事务“X=4”表示，A胜4场或8胜4场（即8负4场或A负4场）,

且两两互斥.

（2）事务“X=5”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或8在第

5场中取胜且前4场中胜3场（即笫5场A负且4场中A负了3场），且这两

者又是互斥的，所以

（3）类似地，事务“X=6”、“X=7”的概率分别为

竞赛场数的分布列为

X

4567

2455

16161616

P

故竞赛的期望为E（X）=4X2+5X2+6XA+7X9=5.8125（场）

16161616

这就是说，在竞赛双方实力相当的状况下，平均地说，进行6场才能分出输

赢.

4.【答案与解析】

（I）由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中，“体育迷”有25人,从而2

X2列联表如下：

由2X2列联表中数据代入公式计算,得：

因为3.03（X3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.

（）由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率，即

从观众中抽取一名“体育迷”的概率为［，由题意，

4

“~巩3,彳），从而x的分布列为：

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机

变量的分布列，期望次X）和方差D（X）,考查分析解决问题的实力、运算求解

实力,难度适中.精确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.

5.（I）解法一：记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事务为4"=123）,

则尸（A）=丁P（A）=y,尸（4）=丁

该选手被淘汰的概率

（I）解法二：记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事务为A（i=123）,

432

则P（A）=1，P（4）=g，尸⑷=g・

了.该选手被淘汰的概率

（II）J的可能值为1,2,3,尸C=1）=P（Q=],

.•4的分布列为

123

812

P

52525

6.(1)X的全部可能值为1,2,3,4oX的分布列为

P⑴=7/10,

P(2)=3/10X7/9=7/30,

P(3)=3/10X2/9X7/8=7/120,

P(4)=3/10X2/9X1/8=1/120。

(2)X的全部可能值为1,2,3,4。X的分布列为

P。二(―)tH.—,1,2,3,……

1010

(3)X的全部可能值为1,2,3,4。X的分布列为

P⑴=7/10,

P(2)=3/10X8/10=6/25,

P(3)=3/10X2/10X9/10=27/500，

P(4)=3/10X2/10X1/10=3/500。

7.解：(I)由题意知，本题是一个等可能事务的概率,

试验发生包含的基本领件总数为6X6=36,

满意条件的事务是使方程有实根，则△ZYceO,即b±2五

下面针对于c的取值进行探讨

当1时，2,3,4,5,6；

当2时，3,4,5,6；

当3口寸，4,5,6；

当4时，4,5,6；

当5时,5,6；

当6时，5,6,

目标事务个数为5+4+3+3+2+2=19,

因此方程x20有实根的概率为之

36

()由题意知用随机变量€表本方程(0实根的个数得到，二0,1,2

依据第一问做出的结果得到

贝iJP(g=O)=1Z,P(&=1)=-1=1,P(g=2)=—,

36361836

・•・€的分布列为

012

P1■17■■1■1■7.

361836

・・・乡的数学期望Eg=0xU+lX，+2xU=l,

361836

8.设指针落在区域分别记为事务.

则P(A)=J,P(3)=?,尸(O=(............3分

632

(I)若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.

:.P=P(A)+P(B)=-+-=-

632...........4分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是

（II）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量X的可能值为0,30,60,90,120.

............5分

P（X=O）=lxl=l；

/>(X=30)=ix1x2=1;

P(X=60)=—x—x2+-x-=—;

263318

P(X=90)=-x!x2=-；

369

P(X=120)=-xl=—.

6636.......10分

所以，随机变.量x的分布列为：

P0306090120

X521

4318936.......11

其数学期望

EX=0xi+30xl+60x—+90xl+120x—=40

4318936.......12分

9、解：（1）依据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为:

168+169,八

-------=1168A.Q5.…2分

2

（2）由茎叶.图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，

依据分层抽样抽取的5人中“高个子”为5x&=2人，“非高个子”为5x丝=3

2020

人；

则至少有1人为高个子的概率P=l-.§-=-……6分

砥10

（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，贝”的可能取值为0,1,2,3；

故PR=O)吟=£C2C]30C'C215

P(〈=l)=*='P^=2)=^=-

以56C836

S备亲

即J的分布列为:

0123