数学层级训练：对数函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。2。2对数函数知识点一:对数函数的概念1．下列函数中是对数函数的是A．y＝logeq\f(1，4）xB．y＝logeq\f(1,4)（x＋1）C．y＝2logeq\f(1,4)xD．y＝logeq\f(1，4)x＋12．函数y＝log（2a＋1）x是对数函数，则实数a的取值范围是__________．知识点二：对数函数的图象3．已知a〉0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x）的图象可能是4．已知对数函数y＝logax的图象，若a的值分别取eq\r（3)，eq\f(4,3)，eq\f（3，5)，eq\f(1,10）,则相应于C1,C2，C3，C4的a值依次是A.eq\r（3）,eq\f(4,3)，eq\f（3，5），eq\f（1,10）B。eq\r(3）,eq\f(4,3)，eq\f（1，10），eq\f（3，5）C。eq\f(4,3），eq\r（3），eq\f（3,5),eq\f(1,10）D.eq\f(4,3），eq\r（3），eq\f(1，10),eq\f(3，5)5．函数f（x)＝｜log2x｜的图象是知识点三：对数函数的性质6．函数y＝eq\r(log\f（1，2)2x－1)的定义域为A．(eq\f（1，2），＋∞)B．[1，＋∞)C．(eq\f（1,2)，1]D．（－∞,1）7．函数y＝logeq\f(1,2)（x2－6x＋17）的值域是A．RB．［8，＋∞)C．(－∞，－3]D．［－3，＋∞)8．函数f（x)＝1－loga（2－x)的图象恒过定点__________．9．若a＝log3π,b＝log76，c＝log20.8，则a，b，c的大小关系是__________．（用“<"连接）10．若logaeq\f（2，3）<1，则a的取值范围是__________．能力点一：对数函数的概念及性质的应用11．已知函数f（x)＝2logeq\f(1，2)x的值域为[－1，1]，则函数f（x)的定义域是A．[eq\f(\r（2），2），eq\r（2)]B．［－1，1］C．[eq\f（1,2）,2］D．（－∞,eq\f(\r(2),2)]∪［eq\r（2),＋∞）12．当a〉1时，函数y＝logax和y＝（1－a）x的图象只可能是13．下列函数中，在区间(0，1）上为减函数的是A．y＝logeq\f（1,3）（1－x）B．y＝22x－x2C．y＝（eq\f（1，3）)1－xD．y＝eq\f（1,3）（1－x2)14．设a〉1，函数f（x)＝logax在区间[a，2a］上的最大值与最小值之差为eq\f（1，2），则a等于__________．15．函数y＝logaeq\f(2x＋1，x－1）的图象恒过点P，则点P坐标为__________．16．比较下列各组数的大小:（1)logeq\f(\r(2），2）5.24与logeq\f(\r（2）,2）6；（2）log2π与log20.9；（3）log712与log812；(4)log0.76，0.76与60.7.17.求函数y＝(logeq\f（1,4）x）2－logeq\f（1,4）x＋5,x∈[2,4］的最大值和最小值．能力点二：对数函数的综合应用18．函数f(x）＝log2x＋2x－1的零点必落在区间A．（eq\f（1，8),eq\f（1,4))B．(eq\f(1，4），eq\f(1，2））C．（eq\f(1,2），1）D．(1,2）19．若函数y＝logeq\f（1，2）（ax2＋ax＋1)的值域为R，则a的取值范围为A．a≥4B．0<a<4C．a≥4或a＝0D．a≤020．设f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2－x，x∈－∞，1]，,log81x,x∈1，＋∞，)）则满足f（x）＝eq\f（1，4）的x的值为__________．21．已知函数y＝f（x）的定义域为[－1,1]，则y＝f（log2x）的定义域是__________．22．已知函数f（x)＝loga（ax－1）（a>0，a≠1）．（1)求f（x)的定义域．(2）当x为何值时，函数值大于1？23．设a〉0，a≠1,函数y＝alg(x2－2x＋3）有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x－x2)的单调区间．24．已知f（x）＝logaeq\f（1＋x，1－x）(a〉0，且a≠1）．(1）求f(x)的定义域;（2)讨论f（x）的单调性；（3）讨论f(x）的奇偶性．答案与解析基础巩固1．A2．（－eq\f（1,2)，0）∪（0，＋∞)由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2a＋1〉0,,2a＋1≠1，）)得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a>－\f(1，2)，，a≠0，）)∴－eq\f(1,2)<a<0或a>0.3．B4。A5.A6．C由logeq\f(1,2)（2x－1）≥0，得0<2x－1≤1，解得eq\f(1,2）〈x≤1。7．C∵x2－6x＋17＝(x－3）2＋8≥8，∴y≤logeq\f(1，2)8＝－3。8．（1,1)9.c〈b<a10．a〉1或0〈a〈eq\f（2,3)（1)当a〉1时，logaeq\f(2,3）<1＝logaa，得a>1；（2)当0〈a〈1时，logaeq\f(2,3）〈logaa,得0<a<eq\f(2，3）。综上，a的取值范围是a〉1或0<a〈eq\f（2,3）.能力提升11．A12。B13.D14．4∵a〉1，∴f(x）＝logax在［a,2a]上为增函数．∴loga2a－logaa＝eq\f(1,2)。∴loga2＝eq\f(1，2）＝logaaeq\f(1,2)。∴aeq\f（1,2)＝2。∴a＝4.15．(－2，0)当eq\f(2x＋1，x－1)＝1时，x＝－2，此时y＝0.16．解：（1)因为函数y＝logeq\f(\r（2）,2)x在(0，＋∞)上是减函数,且5.24〈6，所以logeq\f(\r(2），2）5.24〉logeq\f（\r(2)，2)6.(2)因为函数y＝log2x在（0，＋∞)上是增函数，且π>0.9.所以log2π〉log20。9。(3)利用换底公式，可得log712＝eq\f（1，log127），log812＝eq\f(1，log128）.因为函数y＝log12x在(0，＋∞）上单调递增，且1<7<8，所以0〈log127<log128.所以eq\f(1,log127)〉eq\f（1,log128）>0，即log712>log812。（4)因为60.7>60＝1，0<0。76<0.70＝1，又log0。76〈log0.71＝0，所以60.7>0.76>log0.76.17．解:设t＝logeq\f(1，4)x,由于t＝logeq\f（1,4）x在[2,4］上为减函数，得logeq\f(1,4）4≤t≤logeq\f(1,4）2，即－1≤t≤－eq\f(1，2）。则原函数变为y＝t2－t＋5，t∈［－1，－eq\f（1,2）]．因为y＝t2－t＋5在[－1，－eq\f（1，2）］上为减函数,所以当t∈[－1，－eq\f（1，2)]时,eq\f（23,4)≤y≤7.∴y＝（logeq\f（1，4）x）2－logeq\f(1,4)x＋5在[2，4］上的最小值为eq\f（23，4），最大值为7.18．C由题意，可得f（eq\f（1,4)）＝log2eq\f(1,4）＋2×eq\f(1,4)－1＝－eq\f（5，2）<0,f(eq\f（1，2）)＝log2eq\f(1，2)＋2×eq\f(1，2)－1＝－1<0，f(1）＝log21＋2×1－1＝1〉0,∴函数的零点在区间(eq\f(1，2),1）内．19．A由题意,知y＝ax2＋ax＋1能够取遍（0,＋∞）上的每一个数．(1）当a＝0时，y＝1，此时不满足题意．（2）当a>0时,应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a〉0,，Δ≥0a≥4或a≤0，)）∴a≥4。综上，当a≥4时，y＝logeq\f(1，2）(ax2＋ax＋1）的值域为R，故选A.20．3当x≤1时,f(x）＝eq\f(1,4），即2－x＝eq\f（1，4）,解得x＝2与x≤1矛盾．当x>1时，由log81x＝eq\f（1,4），得x＝81eq\f（1,4)＝3,满足x>1,故x＝3。21．[eq\f(1，2），2]由－1≤log2x≤1，得log2eq\f（1，2)≤log2x≤log22，∴eq\f（1，2）≤x≤2，即y＝f(log2x)的定义域为［eq\f（1,2)，2]．22．解：（1）ax－1〉0，∴ax>1。①当0<a<1时，x〈0，f（x)的定义域为(－∞，0）．②当a>1时，x>0，f(x）的定义域为（0，＋∞）．(2）①当0〈a〈1时，loga(ax－1）>1，则0<ax－1〈a，即1<ax〈1＋a，∴loga(1＋a）<x<0。②当a>1时，loga(ax－1)〉1,则ax－1>a，即ax〉1＋a，∴x>loga(1＋a)．拓展探究23．解：设t＝lg（x2－2x＋3)＝lg［(x－1）2＋2]．当x∈R时,t有最小值为lg2.又∵y＝alg（x2－2x＋3)有最大值,∴0<a〈1.由f(x）＝loga(3－2x－x2），得其定义域为(－3，1)．设u(x）＝3－2x－x2，x∈（－3,1)，则y＝logau.∵u（x）＝3－2x－x2在（－3，－1］上是增函数，在[－1,1）上是减函数，且y＝logau在(0,＋∞)上是减函数．∴f（x)＝loga(3－2x－x2）的单调减区间为(－3，－1］，单调增区间为［－1,1)．24．解：(1)由y＝logau，得u＝eq\f(1＋x,1－x)〉0,即(x＋1)(x－1）〈0，∴－1〈x<1.∴f（x）的定义域为｛x｜－1〈x〈1｝．(2)∵u＝eq\f(1＋x，1－x)＝－1＋eq\f(－2,x－1）在(－1，1）上单调递增,y＝log