数学学案：第三章第节归纳与类比（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．1归纳推理1．理解归纳推理的含义,能利用归纳推理进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用．2．了解欧拉公式的概念．1．根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为________．归纳推理是由______到______,由______到______的推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，得到的结论不一定正确，其正确性还有待于严格的证明或举例说明其结论的不正确性．2．欧拉公式：一个凸多面体中,多面体的面数(F）、棱数（E）、顶点数（V)，它们之间的关系为________．【做一做1－1】由集合｛a1}，｛a1,a2｝，{a1，a2，a3｝，…的子集个数归纳出集合｛a1,a2，a3，…,an｝的子集个数为（）．A．n B．n＋1 C．2n D．2n－1【做一做1－2】在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中“________”处．年龄/岁3035404550556065收缩压/毫米汞柱110115120125130135____145舒张压/毫米汞柱707375788083____88答案:1．归纳推理部分整体个别一般2．V－E＋F＝2【做一做1－1】C由前三个集合子集的个数分别为21，22，23，可归纳得出｛a1,a2，a3，…，an｝的子集个数为2n.【做一做1－2】140851．如何判断由归纳推理得到的结论的正确与否？剖析:归纳推理是根据已经知道的一类事物中个别事物具有的属性推断出所有这类事物所具有的共性，有时结论正确，有时结论不正确．在归纳结论时，要对大量的个体进行观察，其正确性还需要通过严格的证明,不正确的结论只需举出一个特例说明即可．2．归纳推理的一般步骤是什么？剖析：（1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠,学习中要通过实例去分析、归纳问题的一般性命题，加强应用．特别注意，由归纳推理所获得的结论,仅仅是一种猜测，并不一定可靠，其可靠性需要通过证明．(1）归纳推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径,通过归纳推理可以发现许多未知的内容．（2）对于数列的通项公式和前n项和的求法,常用归纳猜想,然后再用数学归纳法进行证明．（3）数论问题也常常是由个别事例的发现、归纳、猜想得出一般性的结论．例如，哥德巴赫猜想：一个偶数（大于4)可以写成两个素数的和．题型一观察找规律【例题1】将自然数0,1,2，…，按照如下形式进行摆放：根据以上规律判定，从2008到2010的箭头方向是（）．反思:注意寻找规律，找到图形随数字变化的规律，然后进行预测猜想．题型二根据数列的前几项归纳通项【例题2】如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连接这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”;第二次操作：连接剩余的3个三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2";第三次操作：连接剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……如此下去，记第n次操作后剩余图形的总面积为an。…①②（1)求a1，a2；（2)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Sn。分析：写出前几项，归纳出第n项，从而发现规律，进行求和．反思：本题由图形发现规律，发现每次挖去的三角形个数构成等比数列，从而问题转化为求数列的前n项和，利用错位相减法求出．题型三探索不等式成立的条件【例题3】猜想不等式1＋eq\f(1,\r（2))＋eq\f(1，\r(3）)＋…＋eq\f（1,\r（n)）＞eq\r(n＋1）满足什么条件时成立？分析：不等式的左边不能合并，但当n取较小的自然数时，可以合并，n可从1开始取值进行探讨．反思：有些结论是在某些条件下成立,不一定恒成立，需探究其成立的条件．答案：【例题1】A本题中的数字及箭头方向都有一定的规律．箭头每经过四个数就要重复出现，即以4为周期变化.2008恰好是4的倍数,应该与0的起始位置相同．【例题2】解：(1）a1＝eq\f(3,4）,a2＝eq\f(9，16)。(2）设第n次操作挖去bn个三角形，则{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，即bn＝3n－1，所以挖去的所有三角形上所贴标签的数字的和Sn＝1×1＋2×3＋…＋n×3n－1，则3Sn＝1×3＋2×32＋…＋（n－1)×3n－1＋n×3n.两式相减，得－2Sn＝(1＋3＋…＋3n－1)－n×3n＝eq\f(3n－1，2)－n×3n，故Sn＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（n，2）－\f（1，4)））×3n＋eq\f（1，4).【例题3】解：当n＝1时，左边＝1，右边＝eq\r(1＋1)＝eq\r（2），不等式不成立．当n＝2时，左边＝1＋eq\f（1,\r(2))＝eq\f(2＋\r(2)，2），右边＝eq\r（1＋2）＝eq\r(3)＝eq\f(\r(12)，2）。∵2＋eq\r(2）＜eq\r(12)，∴左边＜右边,不等式不成立．当n＝3时，左边＝1＋eq\f(1，\r(2））＋eq\f(1，\r（3)）＝eq\f（6＋3\r（2）＋2\r（3），6)，右边＝eq\r(3＋1)＝2，左边＞eq\f(6＋3×1。4＋2×1。7,6）＝eq\f(6.8，3)＞2＝右边．∴不等式成立．猜想当n∈N＋且n≥3时不等式成立．1数列1,5,10，16,23,31,x,50，…中的x等于(）．A．38 B．39 C．40 D．41答案：C前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8，可得x＝31＋9＝40。2已知数列｛an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1）,则当n≥1时，an等于(）．A．2n B。C．2n－1 D．2n－1答案：Ca0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2,a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，……猜想当n≥1时，an＝23如下图所示的三角形数阵中,满足：(1)第1行的数为1;（2）第n(n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n(n≥2)行中第2个数是__________．(用n表示)1223434774511141156162525166………………答案:如题图，2＝1＋1，4＝（1＋2）＋1,7＝（1＋2＋3）＋1，11＝(1＋2＋3＋4）＋1.归纳猜想,第n行第2个数为[1＋2＋3＋…＋(n－1）]＋1＝。4在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列 第2列 第3列 …第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 …… … … …那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．答案：n2＋n观察数表可知，第n行的第1个数为n,且第n行的数列的公差为n，