甘肃省陇南市礼县第二中学2024-2025学年高二第一次阶段性检测数学试卷

2024—2025礼县第二中学第一次阶段性检测高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C.3 D.52.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.3.已知，，则（）A. B. C. D.4.已知，，则（）A. B. C. D.5.已知平面上三个单位向量满足，则（）A. B. C. D.6.已知椭圆：的离心率为，则（）A. B.或 C.8或2 D.87.阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（不同时为0可以表示坐标空间内的平面.过点一个法向量为平面方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.8.已知过点直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则的最小值为（）A.12 B.8 C.6 D.4二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为2，则实数可能为（）A.5 B.6 C.7 D.810.已知函数，，下列说法正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数的最小正周期为C.函数的值域为D.函数的一条对称轴为11.在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）A.与所成角的余弦值为B.过，，三点的正方体的截面面积为3C.当在线段上运动时，的最小值为3D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线过点，两点，直线过点，两点，若，则______.13.已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.14.对任意两个非零的平面向量和，定义：，，若平面向量，满足，且和都在集合中，则__________，__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布．（1）当漏诊率时，求临界值和误诊率；（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值，从样本中该医学指标在上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.17.如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点．（1）用向量，，表示向量；（2）求异面直线AO与BC所成的角的余弦值；（3）判定平面ABC与平面的位置关系．18.设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”．（1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；（2）若集合是“等差集”，求m的值；（3）已知正整数，证明：不是“等差集”．19.对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称，是该向量组的“向量”．（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；（2）若，向量组，，，，是否存在“向量”？若存在求出所有的“向量”，若不存在说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积．1.B∵，∴..故选B.2.C因为，则故向量在向量上的投影向量是故选：C.3.A因为,又因为,所以,所以.故选：A.4.A因为，则，且，可得，则，，所以，故选：A.5.C由题意知平面上三个单位向量满足，则，即，则，故，故选：C6.C椭圆：的离心率为，可得或，解得或.故选C.7.B根据材料可知，由平面的方程为，得为平面的法向量，同理可知，与分别为平面与的法向量.设直线的方向向量，则，即，取，则.设直线与平面所成角为，则.故选：B.8.B由题意知直线的斜率存在．设直线的斜率为，直线方程为，则，所以，当且仅当，即时，取等号.所以的最小值为.故选：B.9.BCD圆即圆,需满足，则圆心为，半径为圆心到直线的距离为，要使圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为2，需满足，解得，结合选项可知6，7，8符合题意，故选：BCD10.BCA选项，当时，，，此时，而在上不单调，故A错误；B选项，函数，而，所以的最小正周期为，故B正确；C选项，当时，，，所以，当时，，，所以，综上，函数的值域为，故C正确；D选项，因为，，，所以不是的一条对称轴.故选：BC11.AC以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，∴，∴与所成角的余弦值为，故A正确；取的中点，连接，，，则，故梯形为过点，，的该正方体的截面，∵，，，∴梯形的高为，∴梯形的面积为，故B错误；由对称性可知，，故，又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C正确，设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，最小，过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，，，故D错误.故选AC.12.0或5当直线斜率不存在，直线斜率为0时，满足，此时，解得；当直线斜率存在时，因为，所以，解得；综上，或.故答案为：0或513.，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：14.①.##0.25②.或设与的夹角为，因为和都在集合中，所以其取值可能为，因为，则，可得，因为，即，可得，所以；又因为，即，解得，因为，可得，即或1，当且时，即且，可得，所以；当且时，即且，可得，所以；综上所述：或.故答案：；或.15.（1）依题可知，图1第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得，．（2）由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在中的有人，其中被误诊者有人，记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A．分别用a，b，c，d，E，F表示这6人，E，F代表被误诊的2人，样本空间，事件，故，，，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是．16.（1）由正弦定理得，所以，所以，化简得，又，所以，因此.（2）由，得，由余弦定理及，又，得，解得，从而.又因为，且，所以.因此.17.（1）由题意可知：点O是的中点，则，所以．（2）设，则，．所以．又因为，所以，．所以．所以异面直线与所成的角的余弦值为．（3）取的中点，连接，则．因为，为的中点，则．又，即．且，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．18.（1）因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得，则或或.（2）因为集合是“等差集”，所以或或,计算可得或或或，又因为正整数,所以.（3）假设是“等差集”，则存在,成立，化简可得,因为,所以,所以x=1与集合的互异性矛盾，所以不是“等差集”．19.（1）由题意可得：，因为，则，，则，即，整理得，解得，所