2.4.2 圆的一般方程 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学选择性必修第一册人教A版2019

.4.2圆的一般方程（同步练习）一、选择题1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))2.若点P(1,1)在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是()A.(－2，＋∞)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))D.(－2,2)3.当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的值为()A.4B.3C.2D.14.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A.点B.直线C.线段D.圆5.当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(π,5)6.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为()A.0B.1C.2D.37.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y＝0对称C.关于直线x＋3y－2＝0对称D.关于直线x－y＋2＝0对称8.(多选)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为eq\r(2)的点，那么实数a的值可以是()A.－2 B.0 C.1 D.3二、填空题9.过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的一般方程为___________________10.已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是______________11.已知点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0外部，则实数m的取值范围是________12.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________三、解答题13.若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径．14.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．15.点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．参考答案及解析：一、选择题1.C解析：根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，所以m>－eq\f(1,4).2.C解析：因为点P(1,1)在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，所以需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋1＋1－1＋k>0，,1＋1－4k>0，))解得－2<k<eq\f(1,2).3.D解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－m)2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小．4.D解析：∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．5.C解析：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝1－eq\f(3,4)k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为eq\f(3π,4).6.C解析：由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有eq\f(1－0,\f(a,2)－2)×1＝－1，解得a＝2.7.ABC解析:x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2,0)．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故不正确．8.ACD解析：圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|eq\r(2)a|，半径r＝2eq\r(2)，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为eq\r(2)，得2eq\r(2)－eq\r(2)≤|eq\r(2)a|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.故选ACD.二、填空题9.答案：x2＋y2－8x＋6y＝0解析：设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝6，,F＝0，))故所求圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.10.答案：(x－8)2＋y2＝36(y≠0)解析：设C(x，y)(y≠0)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2))).∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－4))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝9，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)．11.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－13，\f(13,4)))解析：由点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0的外部．得1＋4＋2＋6＋m>0，解得m>－13．又由4＋9－4m>0得m<eq\f(13,4)，所以－13<m<eq\f(13,4)．12.答案：－2解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋4＋4D＋2E＋F＝0，,1＋9＋D＋3E＋F＝0，,25＋1＋5D＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20，))所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，则y2＋4y－20＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；令y＝0，则x2－2x－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝2，故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.三、解答题13.解：(1)由表示圆的充要条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m<eq\f(1,5)，即实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))).(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝eq\r(1－5m).14.解：(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22＋22＋2D＋2E＋F＝0，,52＋32＋5D＋3E＋F＝0，,32＋－12＋3D－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，易知M的一个坐标为(2,2)，即a＝2，又点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝6，综上，a＝2或6.15.解：(1)设线段AP的中点M(x，y)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2