32　第五章　高考命题探源(二)

高考命题探源(二)第五章一元函数的导数及其应用探源1导数的概念及其几何意义[命题点分析]本部分内容从近几年高考考查情况来看，特别是全国卷，每年都考查函数图象的切线问题，在强调导数的几何意义的前提下考查导数运算及方程、不等式等问题，主要体现方程思想和数形结合思想，对逻辑推理与数学运算素养要求较高．√

[考题来源]本题来源于教材习题5.2第5题，题目命题模式与习题完全一致，都是求切线方程的题目，难度相当．[试题评价]本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法，体现了数学运算的学科素养，属于基础题．【案例2】

(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________．

(－∞，－4)∪(0，＋∞)[考题来源]本题来源于教材习题5.2第11题，题目命题模式与习题相仿，都是求解参数的题目，教材习题是根据已知条件求曲线在一点处的切线斜率，进而求参数的值，高考题考查了过一点的切线方程，

求参数的取值范围，难度系数比教材习题要高，考查能力要求较高．[试题评价]本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法，尤其加强了对过一点和在一点的切线求解的易错点的考查，着重考查了数学运算和逻辑推理的核心素养，难度中等．探源2用导数解决函数的单调性、极值、最值问题[命题点分析]从高考的考查情况来看，利用导数研究函数的单调性是导数最为核心的部分，是高考考查的热点．函数单调性的探讨，一般就是研究一元二次不等式，特别是含参一元二次不等式，能充分考查数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想及转化与化归思想，内涵极为丰富，使得探讨函数的单调性成为命题人最为青睐的部分．高考常考查的形式：(1)利用导数求函数的单调区间、讨论函数的单调性及由函数的单调性求参数的范围．(2)利用函数的单调性比较大小、证明不等式、判断函数零点的个数．(3)求函数的极值，利用极值解决最值或求参数的值与参数的范围．主要考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养，难度较大．【案例3】

(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(

)A．e2

B．e

C．e-1

D．e-2

√

【案例4】

(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是________．

[考题来源]本题来源于教材复习参考题5第9题，题目命题模式与复习参考题相仿，难度系数增加，教材复习参考题是已知极值点，求参数的值，本题只知道有极大值和极小值，且极小值点小于极大值点，求参数的范围，主要考查利用导数研究函数图象问题，考查学生的数学建模、逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．[试题评价]本题考查已知极值情况求解参数问题，主要考查已知导函数的零点个数求解参数范围问题，解决这类问题一般需要利用数形结合转化为函数的零点问题的讨论，本题根据二阶导数研究一阶导数的图象与性质，进一步验证求解参数范围．探源3用导数解决不等式问题[命题点分析]本部分内容是高考常考内容，主要考查不等式的恒成立、能成立问题，并将不等式问题转化为函数的最值问题来解决，其考查形式一般是证明不等式恒(能)成立和已知恒(能)成立求参数的范围，一般以解答题形式出现，综合能力较强，难度较大，考查学生的逻辑推理和数学运算的核心运算．

[解]

(1)f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在R上单调递减；当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞－lna，令f′(x)＜0，得x＜－lna，所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．综上可得，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．

[考题来源]本考题来源于教材复习参考题5第18题，高考题和教材复习参考题都是考查基本求导公式及求导法则，考查利用导数判断函数单调性及求最值的方法，难度相当．[试题评价]本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，证明不等式时构造函数，利用第一步的结论进行下一步的证明，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．探源4用导数解决函数与方程问题[命题点分析]本部分内容是高考的热点之一，难度较大，通常利用函数的零点、方程的根、两函数图象的交点等问题考查，这些问题通常借助函数的单调性和极值的大小的讨论来解决，考查学生的逻辑推理、直观想象和运算求解的核心素养．

当x＞0时，f(x)单调递增，注意到f(0)＝b－1≤2a－1＜0，限制x＞1，则f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＞(x－1)x2－ax2－|b|≥(x－1)x2－ax2－|b|x2＝(x－1－a－|b|)x2，令(x－1－a－|b|)x2≥0⇒x≥1＋a＋|b|，取x0＝1＋a＋|b|，则f(1＋a＋|b|)＞0，∴f(x)在(0，1＋a＋|b|)上有一个零点．综上，f(x)在R上有一个零点x0，且x0∈(0，1＋a＋|b|)．注释：对于选②最后的取点思路(放缩取点)，限制x＞1，∴ex＞x2，f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＞(x－1)x2－ax2－|b|≥(x－1)x2－ax2－|b|x2，令x－a－1－|b|≥0⇒x≥a＋1＋|b|，取x＝a＋1＋|b|可使f(a＋1＋|b|)＞0．[考题来源]本题来源于教材复习参考题5第19题，题目命题模式与复习参考题相仿，难度系数相同，都是讨论带有参数的函数的单调性，不同的是教材复习参考题是已知函数的零点个数求解参数的取值范围，本题是利用导数研究函数的零点个数问题，主要考查利用导数研究函数图象问题，难度系数相当．[试题评价]本题主要考查利用导数讨论函数的单调性以及证明函数零点个数问题，考查了学生数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养．探源5用导数解决实际应用问题[命题点分析]本考点的考查是高考常考内容之一，难度中等以上，解决实际应用问题的关键在于把实际问题抽象为函数问题再利用导数解决函数求最值问题，考查学生的数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模的核心素养．

√

[考题来源]本题来源于教材