第五集：嵌套函数（复合函数）-5

第五集:嵌套函数（复合函数）嵌套函数：就是指在某些情况下，可将某函数作为另一函数的参数使用来使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间上的函数若存在,使得,则称是函数的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在,使,则称是函数的二阶不动点,简称稳定点.典型例题出题角度1嵌套函数中不动点稳定点问题例1，.（1）求证：；（2）若，且，求实数的取值范围；（3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.解：（1）若，则显然成立；若，设，，故.有实根，.又，所以，即的左边有因式，从而有.，要么没有实根，要么实根是方程的根.若没有实根，则；若有实根且实根是方程的根，则由方，得，代入，有.由此解得，再代入得，由此，故a的取值范围是.（3）由题意：x0是函数的稳定点,则，①若，是R上的单调增函数，则，所以，矛盾.②若，是R上的单调增函数，则，所以，矛盾故，所以x0是函数的不动点.出题角度2嵌套函数中的求值问题例2.已知函数，若关于的方程有五个不同实根，则的值是A．0或 B． C．0 D．不存在解：画出函数的图象，如图所示：当时，有三个根，把代入方程得，，解得：或，当时，方程为，所以或1，所以有五个根，当时，方程为，所以或，所以有7个根，舍去，综上所求，时，方程有五个不同实根，故选：．例3．已知函数，方程（其中的实根个数为，所有这些实根的和为，则、的值分别为A．6，4 B．4，6 C．4，0 D．6，0解：，或．作出的函数图象如图所示：由图象可知有两解，有四解．．由图象可知的两解为，，的四个解中，较小的两个关于直线对称，较大的两个关于直线对称，．故选：．例4已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9分析：把f（x）的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则.解：∴∴令，，则，∴令，解得∴时，，单调递减；时，，单调递增；∴，，∴a﹣3∴.设关于t的一元二次方程有两实根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，当且仅当时等号成立，由于，∴，（不妨设）.∵，可得，，.则可知，.∴.故选：A.小结：本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题.出题角度3嵌套函数中的取值范围问题例5已知函数，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．解：当时，，则令，则令，则所以函数在递增，在递减，则，且当时，函数图象如图，关于的方程有四个不等实根令，则①，所以②，由则函数一个根在，另外一个根在中所以综上所述：故选：A小结：本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题.例6知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为A． B． C． D．解：化简可得，当时，，，当时，，当时，，故当时，函数有极大值；当时，，为减函数，作出函数对应的图象如图：函数在上有一个最大值为；设，当时，方程有1个解，当时，方程有2个解，当时，方程有3个解，当时，方程有1个解，当时，方程有0个解，则方程等价为，等价为方程有两个不同的根，或，当时，方程有1个解，要使关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则，即，解得，则的取值范围是故选：．例7．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围A． B． C． D．解：令，则方程方程．如图是函数，的图象，根据图象可得：方程有8个相异实根方程．有两个不等实数解，且，．可得．故选：．例8．已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是A． B．， C．， D．，，解：函数的图象如图：方程有四个相异的实数根，必须由两个解，一个，一个，，或者，，另一个，，可得，当时，，．满足题意．当时，，，不满足题意．考察选项可知，正确；故选：．例9．已知函数，若关于的方程恰好有6个不相等的实根，则实数的取值范围是A．， B．，00， C． D．，00，解：当时，，则，令得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，且，，当时，，则，显然（1），当时，，单调递增；当时，，单调递减，且（1），故函数的大致图象如图所示：，令，则关于的方程化为关于的方程，△，方程有两个不相等的实根，设为，，由韦达定理得：，，不妨设，，关于的方程恰好有6个不相等的实根，由函数的图象可知：，，设，则，解得：，故选：．例10（2021·天津部分区期末考试）已知函数（为自然对数的底数），关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围为（）A． B． C． D．分析：令，由，可得，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由图象可知，方程有两根、，且满足，，设，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围．解：令，由，可得，函数的定义域为，．当时，，由可得，由可得．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，；当时，，此时函数单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由于关于的方程恰有四个不同的实数根，则关于的二次方程恰有两个不同的实根、，且直线与函数的图象有三个交点，直线与函数的图象有且只有一个交点，∴，，设，由二次函数的零点分布可得，解得．因此，实数的取值范围是．故选D．小结：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号．结合图象得出关于参数的不等式组求解．出题角度4嵌套函数中交点个数或根（零点）的个数例11已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6解：，当或时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值为，的极小值为（1）．作出的函数图象如图所示：，，△，令则，则．不妨设，（1）若，则，此时无解，有三解；（2）若，则，此时有一解，有两解；（3）若，则，此时有两解，有一解；综上，有三个不同的实数解．故选：．例12已知函数，，且（1），则关于的方程实根个数的判断正确的是A．当时，方程没有相异实根 B．当或时，方程有1个相异实根 C．当时，方程有2个相异实根 D．当或或时，方程有4个相异实根解：当时，，因为（1），所以，所以，所以，图象如图所示：当时，，，则，当且仅当时等号成立，在上是增加的，在上是减少的；当时，在上是减少的，在上是增加的，故恒成立．故在上是增加的，在上是减少的，在上是增加的．令，则，解得：或，当即时，，当时，，无解，当即时，，当时，，无解，故方程没有相异实根，故正确；当时，由可知：，解得，当时，，由上可知在时取得极大值为，结合图象可知，此时与有且仅有一个交点，故正确；当时，或，若，结合图象可知与有三个不同的交点，若，，此时与有一个交点，故方程有4个相异实根，故错误；当时，，由可知此时有三个不等实根，当时，或，当时，由图可知有两个不等实根，当时，由图可知有一个实根，当时，或，当时，由图可知有两个不等实根，当时，由图可知有一个实根，故此时方程共有9个不等实根，故错误．故选：．题角度5嵌套函数中的根或零点“组合”的取值范围例13已知函数，则函数的零点是1，若有两个零点，，则的最小值是．解：，，当时，，，则，当时，，则．，令，则或，解得．故函数的零点是1；由上可知，，有两个零点，，即有两