第5章 第4节　数系的扩充与复数的引入-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

第四节数系的扩充与复数的引入一、教材概念·结论·性质重现1．复数的有关概念内容意义备注复数的定义设a，b∈R，形如a＋bi的数叫做复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位a＋bi为实数⇔b＝0，a＋bi为虚数⇔b≠0，a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数z＝a＋bi，eq\x\to(z)＝c＋di⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数a(a∈R)的共轭复数是a复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi||z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(1)复数构成的集合叫做复数集，记为C．(2)in(n∈N*)具有周期性，且最小正周期为4，其性质如下：①i4n＝1(n∈N*)，i4n＋1＝i(n∈N)，i4n＋2＝－1(n∈N)，i4n＋3＝－i(n∈N)．②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.2．复数的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共线，则复数z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))为两邻边的平行四边形的对角线eq\o(OZ,\s\up6(→))所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数．3．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．4．常用结论(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi． (×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点． (√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模． (√)2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A解析：因为z为纯虚数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))所以x＝－1.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋iC解析：因为A(6,5)，B(－2,3)，所以线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.4．若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数eq\x\to(z)在复平面内对应的点所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B解析：由题意，因为z＝eq\f(2－2i,i)＝eq\f(2－2i·－i,i·－i)＝－2－2i，所以eq\x\to(z)＝－2＋2i，则z的共轭复数eq\x\to(z)对应的点在第二象限．5．设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝________.1解析：因为z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，所以|z|＝1.考点1复数的有关概念——基础性1．(2020·新乡一模)若eq\f(1－3i,1＋2i)与ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)ai))的虚部互为相反数，则实数a的值为()A．－2B．2C．－1D．1D解析：因为eq\f(1－3i,1＋2i)＝eq\f(1－3i1－2i,5)＝eq\f(－5－5i,5)＝－1－i，虚部为－1，ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)ai))＝eq\f(1,2)a＋ai，虚部为a，所以a－1＝0，即a＝1.2．(2020·潍坊一模)已知z为复数，i为虚数单位．若复数eq\f(z－i,z＋i)为纯虚数，则|z|＝()A．2B．eq\r(2)C．1D．eq\f(\r(2),2)C解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以复数eq\f(z－i,z＋i)＝eq\f(a＋b－1i,a＋b＋1i)＝eq\f([a＋b－1i][a－b＋1i],a2＋b＋12)＝eq\f(a2＋b2－1－2ai,a2＋b＋12).因为复数eq\f(z－i,z＋i)为纯虚数，所以a2＋b2＝1，a≠0.所以|z|＝eq\r(a2＋b2)＝1.3．(2020·青岛二模)若复数z满足(eq\r(3)－i)z＝|eq\r(3)＋i|(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数eq\x\to(z)的虚部为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)iC．－eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)iC解析：由(eq\r(3)－i)z＝|eq\r(3)＋i|得(eq\r(3)－i)z＝eq\r(\r(3)2＋12)＝2，所以z＝eq\f(2,\r(3)－i)＝eq\f(2\r(3)＋i,\r(3)－i\r(3)＋i)＝eq\f(2\r(3)＋i,4)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)的虚部为－eq\f(1,2).解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点2复数的几何意义——应用性(2020·嘉祥模拟)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，eeq\s\up8(eq\f(π,3)i)表示的复数位于复平面中的()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A解析：根据题意eix＝cosx＋isinx，故eeq\s\up8(eq\f(π,3)i)＝coseq\f(π,3)＋isineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，表示的复数在第一象限．1．本例若把条件改为“已知复数z满足z(1＋2i)＝4＋3i(i为虚数单位)”，求复数eq\x\to(z)在复平面内对应的点所在的象限．解：因为z(1＋2i)＝4＋3i，则z＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，故eq\x\to(z)＝2＋i，对应的点在第一象限．2．本例若把条件改为“设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)”，求x，y满足的关系式．解：由题意可得：z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝eq\r(x2＋y－12)＝1，故x2＋(y－1)2＝1.3．本例若把条件改为“△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|”，z对应的点是否为△ABC的外心？解：是．由复数的几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，故z对应的点是△ABC的外心．复数几何意义问题的解题策略(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))间的相互联系：z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)．(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题简单化．若复数z＝eq\f(1＋mi,1＋i)在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．解：z＝eq\f(1＋mi,1＋i)＝eq\f(1＋mi1－i,2)＝eq\f(1＋m,2)＋eq\f(m－1,2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)＞0，,\f(m－1,2)＜0，))所以－1<m<1，故m的取值范围为(－1,1)．考点3复数的运算——综合性考向1复数的乘法运算(1)(2020·山东省实验高考预测)已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2D解析：因为z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(a＋2)i，又因为z∈R，所以a＋2＝0，解得a＝－2.(2)(2020·柳州一模)若复数z满足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i为虚数为单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋iA解析：因为eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，所以eq\x\to(z)＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i.复数乘法运算的要点复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i2换成－1.考向2复数的除法运算(1)(2020·毕节一诊)已知i为虚数单位，若z(1＋i)2＝2＋i，则z＝()A．eq\f(1,2)－i B．－eq\f(1,2)＋iC．－eq\f(1,2)－i D．eq\f(1,2)＋iA解析：由z(1＋i)2＝2＋i得z＝eq\f(2＋i,1＋i2)＝eq\f(2＋i,2i)＝eq\f(2＋i·－2i,2i·－2i)＝eq\f(2－4i,4)＝eq\f(1,2)－i.(2)已知a∈R，i是虚数单位，若复数z＝eq\f(a＋\r(3)i,\r(3)＋i)∈R，则复数z＝________.eq\r(3)解析：因为复数z＝eq\f(a＋\r(3)i,\r(3)＋i)＝eq\f(a＋\r(3)i\r(3)－i,\r(3)＋i\r(3)－i)＝eq\f(\r(3)1＋a＋3－ai,4)＝eq\f(\r(3)1＋a,4)＋eq\f(3－a,4)i∈R，所以eq\f(3－a,4)＝0，即a＝3.则复数z＝eq\f(\r(3)1＋a,4)＝eq\f(4\r(3),4)＝eq\r(3).求解复数除数问题的注意点除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．考向3复数运算的综合应用(1)(2020·银川三模)若复数z与其共轭复数eq\x\to(z)满足z－2eq\x\to(z)＝1＋3i，则|z|＝()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)A解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－2eq\x\to(z)＝a＋bi－2a＋2bi＝－a＋3bi＝1＋3i，故a＝－1，b＝1，z＝－1＋i，|z|＝eq\r(2).(2)已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则eq\f(z＋2,z2＋z)＝()A．－1 B．1C．－i D．iA解析：因为z＝－1＋i，所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，则z2＋z＝－1－i，所以eq\f(z＋2,z2＋z)＝eq\f(1＋i,－1－i)＝eq\f(1＋i－1＋i,－1－i－1＋i)＝eq\f(－2,2)＝－1.故选A．(1