高考数学导数知识题型全归纳专题04导数研究函数零点个数和求参(原卷版+解析)

更多精品资料请关注微信公众号：超级高中生导数章节知识题型全归纳专题04导数研究函数零点个数和求参例：1．已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知函数，则以下结论不正确个数的是（）①在上单调递增②③方程有实数解④存在实数，使得方程有4个实数解A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式：1．已知函数的图象过点，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为（）

①函数的值域为；②函数在上递增，在上递减；③的极大值点为，极小值点为；④有两个零点.A．0 B．1 C．2 D．34.1导数研究函数零点个数证明：例：1．已知函数.（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；2．已知函数．（1）判断函数的单调性，并证明有且仅有一个零点：3．函数.（1）求证：有且仅有两个极值点；变式：1．设函数，，（为参数）．（1）当时，求的单调区间，并证明有且只有两个零点；2．已知函数.（1）求证：当时，函数存在唯一的极小值点；3．已知函数，.（1）证明：有且仅有一个零点；4．函数.（1）讨论函数的极值；（2）当时，求函数的零点个数.5．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令，当时，证明∶函数有2个零点.4.2导数中的极值点偏移问题：例：1．已知函数，.（1）若方程存在两个不等的实根，，求a的取值范围；（2）满足（1）问的条件下，证明：.2．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若关于的方程有两个实数根，，且，求证：.3．已知函数．（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值；（2）当时，设函数的两个零点为，试证明：．变式：1.．已知函数有两个零点，.（1）求a的取值范围；（2）求证：.2．已知函数（）.（1）若，求函数在处的切线；（2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.3．已知函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．更多精品资料请关注微信公众号：超级高中生导数章节知识题型全归纳专题04导数研究函数零点个数和求参例：1．已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将问题转化为与有且仅有两个交点，利用导数可求得的单调性和最值，由此可确定图象，利用数形结合的方式可求得的范围.【详解】与有且仅有两个公共点等价于方程在上有且仅有两个不等实根，时，，，令，可知与有且仅有两个交点，，令，则，在上单调递增，又，当时，；当时，；当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；又时，；时，，可得图象如下图所示：则当时，与有且仅有两个交点，即与有且仅有两个公共点.故选：A.【点睛】方法点睛：已知两函数交点个数，可将问题转化为根据函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．已知函数，则以下结论不正确个数的是（）①在上单调递增②③方程有实数解④存在实数，使得方程有4个实数解A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】对求导，由导函数的符号可判断的单调性，即可判断选项①；由，以及的单调性即可判断选项②；令，由零点存在定理可判断选项③；等价于，有一个根为，所以原方程有4个根等价于方程有个实数解，令，对求导判断单调性，作出函数图象，数形结合即可判断选项④.【详解】由可得，由可得：，由可得：，所以在单调递减，在单调递增，故选项①不正确；对于选项②：，根据在单调递增，所以，故选项②正确；对于选项③：令，因为，，，根据零点存在定理可知存在使得，所以方程有实数解，故选项③正确；对于选项④：方程即，有一根为，所以原方程有4个根等价于方程有个实数解，令，则，令可得或，令可得，所以在和单调递增，在单调递减，，作出的图形如图所示：所以存在时，方程有个实数解，此时方程有4个实数解，故选项④正确.故选：A【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.变式：1．已知函数的图象过点，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数可确定的单调性和极值，由此得到的图象，将问题转化为与有个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】，，．，当和时，；当时，；在上单调递增，在，上单调递减，的极大值为，极小值为，且当时，，当时，，由此可得大致图象如下图：有个不同实数根等价于与有个不同的交点，由图象可知：，的取值范围为.故选：C．【点睛】方法点睛：已知方程根的个数求参数值或取值范围常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解2．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为（）

①函数的值域为；②函数在上递增，在上递减；③的极大值点为，极小值点为；④有两个零点.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据导函数的图象可知，函数的单调性和最值点与极值点，从而可判断出四个叙述是否正确.【详解】根据导函数的图象可知，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增，故②错误，③正确，根据单调性可知，函数的最小值为或，最大值为或，故①错误，当且时，函数无零点，故④错误.故选：B.【点睛】本题考查了利用导函数的图象得函数的单调性、最值和极值，考查了函数的零点，属于基础题.4.1导数研究函数零点个数证明：例：1．已知函数.（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；【答案】（1）有1个零点，理由见解析；（2）.【分析】（1）方法一：将区间分成两段，分别讨论函数f(x)的单调性及零点情况;方法二：将函数分离成两个函数，作出和的图象数形结合判断两个函数的交点情况，进而判断函数的零点个数；（2）构造函数，根据题意，只需，求导判断函数的单调性，求出最小值，列出不等式求得实数m的取值范围.【详解】（1）解法一：由题意得，，当时，易得函数单调递增，而，，故，当时，；当时，，而，∴函数f(x)在上无零点；当时，，∴函数f(x)在上单调递增，而，∴函数f(x)在上有1个零点.综上所述，函数f(x)在上有1个零点.2．已知函数．（1）判断函数的单调性，并证明有且仅有一个零点：【答案】（1）在上单调递增；证明见解析；（2）．【分析】（1）求导，易知，则在上单调递增．然后由零点存在定理证明；（2）将，转化为，令，用导数法求得其最小值即可.【详解】（1），由，可知有，故在上单调递增．因为，，所以函数有唯一零点，且．3．函数.（1）求证：有且仅有两个极值点；【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）证明方程有两个变号的根即可；（2）利用韦达定理和条件，求出或，再进行分类讨论，根据三次函数的图象特征得到不等式组，进而求得的取值范围；【详解】（1）证明：由题意可得，令，得方程，恒成立，所以有两个根，不妨假设为，，且，所以当，，单调递增；当，，单调递减；当，，单调递增；故有两个极值点；变式：1．设函数，，（为参数）．（1）当时，求的单调区间，并证明有且只有两个零点；【答案】（1）在和单调递增，在单调递减；证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）当时，，，且，得在和单调递增，在单调递减，且，，，，由零点存在定理可得结论；2．已知函数.（1）求证：当时，函数存在唯一的极小值点；【答案】（1）证明见解析；（2）的值为0.【分析】（1）当时，，求导得，再研究函数单调性与零点即可证明；（2）根据题意设切点为，故结合切点在切线上，也在曲线上，且切点处的导数值为切线斜率列方程求解即可得答案.【详解】（1）当时，，.因为，所以在R上为增函数，又因为，所以由零点存在性定理得，存在，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，取得极小值，所以当时，函数存在唯一的极小值点.3．已知函数，.（1）证明：有且仅有一个零点；【答案】（1）证明见解析；（2）有最小值，值域为.【分析】（1）易得，时，，函数无零点，当时，，单调递增，再根据零点存在性定理即可得答案；（2）求导得，进而结合（1）的单调性与，可知存在唯一，使，即，此时，进而令，，求其值域即可.【详解】（1）∵，∴时，显然有，函数无零点；又∵，∴时，，单调递增又，，，即，故存在唯一的，使，综上可知，函数有且仅有一个零点.(备注：亦可用放缩取点，如，用此法需证，其他取点方法合理即可)4．函数.（1）讨论函数的极值；（2）当时，求函数的零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）求得，分和两种情况，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；（2）由（1）得到当时，的单调性和极小值，结合与的关系，三种情况讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，当时，，在上为单调增函数，此时无极值；当时，令，解得，所以在上为单调增函数，令，解得，在上为单调减函数，所以当时，函数取得极小值，无极大值.综上所述：当时，无极值，当时，，无极大值.（2）由（1）知当时，在上为单调增函数，在上为单调减函数，且，又由，若时，；若时，；当，即时，无零点；当，即时，有1个零点；当，即时，有2个零点.综上：当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点.5．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令，当时，证明∶函数有2个零点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导数，可得切线斜率，由点斜式写出切线方程交化简；（2）首先，然后求，设，再求，时，由的正负确定的单调性，得的正负，从而得的单调性，证明无零点，时由，由不等式的性质证明无零点，在时证明有唯一零点．由的单调性得在唯一零点，可证得在有唯一零点，在无零点，从而得证．【详解】（1）（2）当时，，∴是的一个零点，由，设，则.因为，①当时，，∴，∴在单调递增，∴，∴在单调递增，∴，此时在无零点②当时，，有，此时在无零点.③当时，，，∴在单调递增，又，，由零点存在性定理知，存在唯一，使得.当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；又，，所以在上有1个零点.综上，当时，有2个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查屦的几何意义，考查用导数研究函数的零点问题．零点问题的解题关键是求出导数后，设，对再求导得，利用的正负确定的单调性，由的单调性得的零点及正负，从而确定的单调性，然后结合零点存在定理得零点个数．4.2导数中的极值点偏移问题：例：1．已知函数，.（1）若方程存在两个不等的实根，，求a的取值范围；（2）满足（1）问的条件下，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）将，转化为，即函数T(x)＝与直线y＝a在(0，＋∞)上有两个不同交点求解；另解：求导，分，讨论求解；(2)根据x1，x2是lnx－ax＋1＝0的两个根，得到a＝，将证x1x2>1，即lnx1＋lnx2>0，转化为证>，进而转化为ln<＝.，令t＝∈(0，1)，转化为证明lnt－.【详解】（1）由题意，，可得，转化为函数T(x)＝与直线y＝a在(0，＋∞)上有两个不同交点，T′(x)＝(x>0)，故当x∈(0，1)时，T′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，T′(x)<0，故T(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以T(x)max＝T(1)＝1.又，故当x∈时，T(x)<0，当x∈时，T(x)>0.可得a∈(0，1).另解：则：，①当时，恒成立，不满足题意；②当时，单调递减，则，当综上：(2)证明：，因为x1，x2是lnx－ax＋1＝0的两个根，故lnx1－ax1＋1＝0，lnx2－ax2＋1＝0⇒a＝，要证h′(x1x2)<1－a，只需证x1x2>1，即证lnx1＋lnx2>0，即证(ax1－1)＋(ax2－1)>0，即只需证明成立，即证>.不妨设0<x1<x2，故ln<＝.(*)令t＝∈(0，1)，φ(t)＝lnt－，φ′(t)＝－＝>0，则h(t)在(0，1)上单调递增，则φ(t)<φ(1)＝0，故（*）式成立，即要证不等式得证.【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．2．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若关于的方程有两个实数根，，且，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，对分和两种情况讨论；（2）根据题意，得，两式相减得，即，令，构造函数即可证明.【详解】解：（1）因为，所以，当时，对任意的成立当时，令，得；令，得综上，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.证明：（2）当时，方程，即为.根据题意，得，两式相减得，即，故，所以，即，令，则，设，则，因为，所以，所以在区间上单调递增.又当时，，所以当时，，即，所以当时，即.【点睛】关键点点睛：对（2）问两式相减所得，利用齐次化构造得是本题的解题关键.3．已知函数．（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值；（2）当时，设函数的两个零点为，试证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）根据曲线在处的切线与直线垂直，利用导数的几何意义求得函数，然后再求极大值；（2）易得，构造，利用导数可得在递增，即在恒成立，则，然后利用在的单调性证明．【详解】（1）函数的定义域为，，在处的切线与直线垂直，，由（负值舍去），所以函数在上单调递增，在单调递减，故有最大值．（2）当时，．函数在单调递增，在单调递减．且，故函数的两个零点为满足，令，在（0，1）恒成立，∴F(x)在（0，1）递增，在（0，1）恒成立，∴，又，∴，∵，又在单调递减，∴，即．【点睛】方法点睛：对称法解决极值点偏移的基本原理是利用函数的单调性，把要证明的（是极值点）转化为证明，再转化为（根据单调性不同，表示不同的大小关系），又根据，可以转化为证明，而是固定的，是变量，这样就把一个双变量不等式转化为了单变量不等式，从而以为未知量来构造函数证明不等式即可.变式：1.．已知函数有两个零点，.（1）求a的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】有两个零点有两个相异实根，令，利用导数研究其单调性，根据的最值和图象确定a的取值范围；

不妨设,将要证不等式转化为，由题意得,两式相加减后再消去得到关于的函数表达式，进一步转化为证明，令，利用导数研究其单调性进而可证明.【详解】(1)有两个零点有两个相异实根．令，则

由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，

，又，当时，，当时，

当时，，有两个零点时，实数a的取值范围为．（2）不妨设,由题意得,，,，要证：，只需证.

，

令，，只需证

，只需证：.令,，在递增，成立.

综上所述，成立．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于常规题目．关键难点是（2）中的消元换元转化为，并构造函数，利用导数进行证明.2．已知函数（）.（1）若，求函数在处的切线；（2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.【答案】（1）；（2），证明见解析.【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的斜截式方程可得所求切线的方程；（2）设函数，与函数具有相同的零点，求得导数和单调性，可得的范围，由题意可得（1），解得的范围；方法一、