人教版九年级数学上册重难考点02与旋转有关的综合问题通关专练特训(原卷版+解析)

微专题02与旋转有关的综合问题通关专练一、单选题1．（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，下列结论正确的有（）个．①△BED是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·广西河池·九年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，B在y轴正半轴上，D在x轴负半轴上，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°至AB′C′D′，CD与B′A．−1,33 B．−1,12 C．3．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（

）A．10 B．22 C．3 D．4．（2022秋·福建福州·九年级校考期末）如图，AB＝BC=2，∠ABC＝90°，EC＝EF，∠FEC＝90°，直线BEA．1 B．2 C．2 D．25．（2022秋·九年级单元测试）直线y=−33x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕着A点旋转180∘得到△AO'B'，则点A．(4, 2) B．(4, −2) C．(43, 2) 6．（2022秋·四川德阳·九年级期末）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是（

）A．6 B．3 C．2 D．1.57．（2023·山东青岛·中考真题）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°则顶点B的对应点B1的坐标为（）A． B． C． D．8．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A．332 B．233 C．9．（2022秋·山东德州·九年级校考阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，FE⊥AB于点E，将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE、DF，则在图2中，有以下说法：①FD=2AE；②∠AEB=135°；③S△AEBA．①② B．①③ C．②③ D．③④10．（2022秋·九年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（

）A．3 B．23 C．13 D．二、填空题11．（2022·广东·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD点A逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B1C1交CD边于点G，AB1=B1G时，AD=3112．（2022秋·天津南开·九年级校考阶段练习）如图，O是边长为6的等边△ABC三边中垂线的交点，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，则图中阴影部分的面积为．13．（2023春·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；②连接OO′，则OO′=4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+43．其中正确的结论是．14．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=33，将Rt△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE的长度为．15．（2023春·八年级统考课时练习）如图，正方形ABCD的边长为3，F为CD边上一点，DF=1．将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，连接EF，则EF=．16．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为．

三、解答题17．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°AB<AD，△ADE绕点A（1）如图1，若连接BD、CE，求证：BD=CE,BD⊥CE；（2）如图2，若连接CD、BE，取BE中点F，连接AF，试探究AF与CD的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若AF=1.5,AC=22，请直接写出线段AD18．（2022秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线y=−x+4上的动点，连接AB，设点B的横坐标为a．(1)如图1，当a=2时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使∠BAC=90°，求点C的坐标．(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，当点B在直线y=−x+4上运动时，点D也随之运动，连接OD，求△AOD的面积（用含a(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线y=−x−5上时，求a的值．19．（2022秋·湖南岳阳·九年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=2时，求线段BG的长．20．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）请判断线段AE和CD的数量关系，并说明理由；（2）当A、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求线段FM长的最小值．21．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，且DE=BF，求证：EG=AG；（2）如图2，正方形ABCD中，∠EAF=45°，延长EF交AB的延长线于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ⊥AE，垂足为点Q，交AF于点N，连结DN，求证：∠NDC=45°．22．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为边AB、BC上的一动点（且满足∠CED<90°），连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、BF．(1)如图1，当点D与点A重合时，求证：①CE=BF；②∠CBF=90°；(2)如图2，当点D与点A不重合时，结论∠CBF=90°是否仍然成立？请说明理由：(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DM⊥BF，垂足为M．试探究线段BE、BF、MF之间的数量关系，并证明你的结论．23．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）已知抛物线方程为y=ax2a>0（1）我们称F0,14a为抛物线y=ax2a>0的焦点，直线l:y=−1求证：PF=PH；（2）已知抛物线y=ax2过点①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标F；②将M−4,4绕焦点F顺时针旋转90°，得到点N，求△PNF③直线l：y=kx+m与抛物线交于A、B两点，点O是坐标原点，OA⊥OB．求证：直线AB过定点．24．（2023·山东聊城·统考二模）在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连结NB．【感知】如图①，若M是线段BC上的任意一点，易证△ABN≌△ACM，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．【探究】（1）如图②，点E是AB延长线上的点，若点M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连结MC，【感知】中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．【拓展】（2）如图③，在△DEF中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意点，连结DP，将DP绕点D按顺时针方向旋转75°，得到线段DQ，连结EQ，则EQ的最小值为．

25．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，直角三角形ABC中，∠C＝90°，CB＝1，∠BAC＝30°．(1）求AB、AC的长；(2）如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD．求证：BD＝EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长

微专题02与旋转有关的综合问题通关专练一、单选题1．（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，下列结论正确的有（）个．①△BED是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据旋转的性质得BE=BD，AE=CD，∠DBE=60°，于是可判断△BDE为等边三角形，则有DE=BD，所以△AED的周长=BD+AC，且∠C=∠BAE=∠ABC=60°得①②③正确；根据三角形内角和定理得∠ADE=∠ABE，结合∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°，可得④正确.【详解】∵在等边△ABC中，△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴BE=BD，AE=CD，∠DBE=60，∠C=∠BAE=60°∴△BDE为等边三角形，∠ABC=∠BAE=60°∴DE=BD，AE∥BC；∴△AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC=BD+BC故①②③正确∵△ABC，△BDE为等边三角形，∴∠BED=∠BAC=60°又∵对顶角相等∴∠ADE=∠ABE∵∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°∴∠ADE＝∠DBC．故④正确故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．2．（2022秋·广西河池·九年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，B在y轴正半轴上，D在x轴负半轴上，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°至AB′C′D′，CD与B′A．−1,33 B．−1,12 C．【答案】A【分析】连接AE，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE=12【详解】如图：连接AE∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADE和Rt△AB′E中，∵AD=A∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），∴∠DAE=∠B′AE=12∴DE=ADtan∠DAE=1×33=∴点E的坐标为（-1，33故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形旋转．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．3．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（

）A．10 B．22 C．3 D．【答案】A【分析】由旋转的性质可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，则可求得BE，连接BD，在Rt△BDE中可求得BD的长．【详解】解：如图，连接BD．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，∴∠DEA=∠C=90°，AE=AC=4，DE=BC=3，∴BE=AB-AE=5-4=1，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=D即B、D两点间的距离为10，故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质和勾股定理．掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等是解题的关键．4．（2022秋·福建福州·九年级校考期末）如图，AB＝BC=2，∠ABC＝90°，EC＝EF，∠FEC＝90°，直线BEA．1 B．2 C．2 D．2【答案】C【分析】根据等腰直角三角形斜边与一直角边的比是2，先证明△ACF∽△BCE，得∠EBC＝∠CAF，根据8字形和三角形的内角和定理得出【详解】解：过点B作BG⊥AF于G，如图，∵AB＝∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∵△CEF是等腰直角三角形，∴FCEC=2∴ACBC=FC∴△ACF∽△BCE，∴∠EBC＝∴∠AHB＝∴△BGH是等腰直角三角形，∴BH=2∵BG⊥AF，∴AB≥BG，∵AB=2∴BG≤2∴2BG≤2，即BH≤2∴线段BH的最大值是2．故选：C．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，旋转变换等，解题的关键有两个：①找出BH为最大值的位置，②证明两个三角形相似．5．（2022秋·九年级单元测试）直线y=−33x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕着A点旋转180∘得到△AO'B'，则点A．(4, 2) B．(4, −2) C．(43, 2) 【答案】D【分析】先根据直线的函数解析式求得A、B点坐标，则可得到OA=23，OB=2，再根据旋转的性质得到AO′=AO=23，O′B′=OB=2，∠AO′B′=∠AOB=90°，然后根据第二象限点的坐标特征写出点B'的坐标即可.【详解】解：当y=0时，−3解得：x=23，即A（23，0），∴OA=23，当x=0时，y=2，则B（0,2），∴OB=2，∵△AOB绕着A点旋转180∘得到△AO'B'∴AO′=AO=23，O′B′=OB=2，∠A′OB′=∠AOB=90°，∴点B′的坐标为(43故选D.【点睛】本题主要考查旋转的性质，解此题的关键在于先根据题意求得A、B坐标，然后画出图象，利用数形结合进行解答.6．（2022秋·四川德阳·九年级期末）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是（

）A．6 B．3 C．2 D．1.5【答案】D【详解】解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∴∠DCF=∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD=12BC∴CD=CG，又∵CE旋转到CF，∴CE=CF，在△DCF和△GCE中，CE=CF∠DCF=∠GCE∴△DCF≌△GCE(SAS)，∴DF=EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=∴EG=12AG=1∴DF=1.5.故答案为：D7．（2023·山东青岛·中考真题）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°则顶点B的对应点B1的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，图形如下图所以B1的坐标为故选B考点：1、同底数幂的乘除法运算法则；2、积的乘方运算法则；3、幂的乘方运算8．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A．332 B．233 C．【答案】D【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=23，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=43．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=13CE=4故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2022秋·山东德州·九年级校考阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，FE⊥AB于点E，将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE、DF，则在图2中，有以下说法：①FD=2AE；②∠AEB=135°；③S△AEBA．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【分析】先证△ABE∽△DBF，求得其相似比，再运用相似三角形的性质逐一判断之．【详解】如图2由图1和已知条件知△EFB为等腰直角三角形∴BEBF由正方形性质易得△ABD为等腰直角三角形∴ABDB∴BE由等腰直角三角形的性质得∠∴∠∴△ABE∽△DBF且相似比为1∴AEFD=得到①FD=2AE、③S△AEB由△ABE∽△DBF和∠EFB=45°知只有当E、F、D三点共线时，∠AEB=∠DFB=135°其它情况下∠AEB不能为135°，故②错误；要使AE∥BF，需使∠AEF=∠EFB=45°，又由于∠FEB=90°，所以需使∠AEB=135°，由于②错误，得④错误．综上所述知只有①③正确．故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，还有旋转变换的知识，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．10．（2022秋·九年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（

）A．3 B．23 C．13 D．【答案】C【分析】连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可.【详解】连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=BC∴FE=13.故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．二、填空题11．（2022·广东·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD点A逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B1C1交CD边于点G，AB1=B1G时，AD=31【答案】47【分析】连接AC，AG，AC1，由旋转可得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，证明ΔABB1∼ΔACC1，得出CC1BB1=ACAB，证明ΔAB1G是等腰直角三角形，得出AG=2AB1，设AB=AB1=x，则【详解】解：连接AC，AG，AC1，如图所示：由旋转可得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，∴ABAC∴ΔABB1∴CC1BB1∵AB1=B1G，∠AB1G=∠ABC=90°∴ΔAB1G是等腰直角三角形，∴AG=2设AB=AB1=x，则AG=∵在RtΔADG中，∴312解得：x=4，或x=-10（舍去），∴AB=4，∴在RtΔABC中，∴CC1BB1故答案为：474【点睛】本题考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，掌握翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．12．（2022秋·天津南开·九年级校考阶段练习）如图，O是边长为6的等边△ABC三边中垂线的交点，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，则图中阴影部分的面积为．【答案】63【分析】根据旋转的性质，观察图形易得，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为2，且面积是△ABC的19．重叠部分的面积是△【详解】解：根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为13×6＝2，且面积是△ABC的1观察图形可得，重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差，∴△ABC的高是32×6=33∴△ABC的面积是12×6×33＝93，一个小等边三角形的面积是12×2×3＝所以重叠部分的面积是93﹣3×3＝63．故答案为63．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．13．（2023春·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；②连接OO′，则OO′=4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+43．其中正确的结论是．【答案】①②③④【详解】试题解析：如图，连接OO′；∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=CB；由题意得：∠OBO′=60°，OB=O′B，∴△OBO′为等边三角形，∠ABO′=∠CBO，∴OO′=OB=4；∠BOO′=60°，∴选项②正确；在△ABO′与△CBO中，{AB=AC∴△ABO′≌△CBO（SAS），∴AO′=OC=5，△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到，∴选项①正确；在△AOO′中，∵32+42=52，∴△AOO′为直角三角形，∴∠AOO′=90°，∠AOB=90°+60°=150°，∴选项③正确；∵S四边形AOBO′=12∴选项④正确．综上所述，正确选项为①②③④．考点：旋转的性质．14．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=33，将Rt△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE的长度为．【答案】7【分析】连接CE，作EF⊥BC于F，根据旋转变换的性质得到∠CAE=60°，AC=AE，根据等边三角形的性质得到CE=AC=4，∠ACE=60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【详解】解：连接CE，作EF⊥BC于F，由旋转变换的性质可知，∠CAE=60°，AC=AE，∴△ACE是等边三角形，∴CE=AC=4，∠ACE=60°，∴∠ECF=30°，∴EF=12由勾股定理得，CF=CE2+E∴BF=BC-CF=3，由勾股定理得，BE=EF2+B故答案为7．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，掌握旋转变换对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．15．（2023春·八年级统考课时练习）如图，正方形ABCD的边长为3，F为CD边上一点，DF=1．将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，连接EF，则EF=．【答案】25【分析】根据旋转的性质可知∠EAF=90°，AF=AE，然后根据勾股定理求出AF即可求出EF.【详解】解：根据旋转的性质可知∠EAF=90°，AF=AE∵DF=1，AD=3∴AF=A∴EF=AE故答案为：25【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理，根据旋转得出∠EAF=90°，AF=AE是解题的关键.16．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为．

【答案】2【分析】连接BM，将BM以B中心，逆时针旋转90°，M点的对应点为E，由P的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，可得：Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小，可求ME=2【详解】解，如图，连接BM，将BM以B中心，逆时针旋转90°，M点的对应点为E，

∵P的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，∴Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，如图，当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小，∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC=4，∠C=90°，∵M是CM的中点，∴CM=2，∴BM==2由旋转得：BM=BE，∴ME=2∴MQ=ME−EQ=210∴MQ的值最小为210故答案：210【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．三、解答题17．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°AB<AD，△ADE绕点A（1）如图1，若连接BD、CE，求证：BD=CE,BD⊥CE；（2）如图2，若连接CD、BE，取BE中点F，连接AF，试探究AF与CD的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若AF=1.5,AC=22，请直接写出线段AD【答案】（1）见解析；（2）CD=2AF,CD⊥AF，证明见解析；（3）29【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≅△CAE，可得BD=EC,∠ABD=∠ACE，即可得结论；（2）延长EA至H，使AH=AE，连接BH，延长FA交CD于G，由三角形中位线定理可得BH=2AF，BH∕∕AF，由“SAS”可证△ABH≅△ACD，可得BH=CD=2AF,∠ADC=∠H，即可得结论；（3）过点A作AN⊥BC于N，由等腰直角三角形的性质可求AN=CN=2，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，设EC与BD交于点O，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AD=AE∠BAD=∠CAE∴△BAD≅△CAESAS∴BD=EC,∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BOC=90°，∴BD⊥CE；（2）CD=2AF,CD⊥AF，理由如下：如图2，延长EA至H，连接BH，∵BF=EF,AE=AH，∴BH=2AF,BH∕∕AF，∴∠EAF=∠H，∵∠DAH=∠BAC=90°，∴∠BAH=∠DAC，又∵AB=AC,DA=AE=AH，∴△ABH≅△ACDSAS∴BH=CD,∠ADC=∠H，∴∠EAF=∠ADC,CD=2AF，∵∠EAF+∠DAG=90°，∴∠ADC+∠DAG=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥CD；（3）如图3，过点A作AN⊥BC于N，由（2）可知：CD=2AF=3，∵AB=AC=52∴BC=4,AN=BN=CN=2，∴DN=5，∴AD=A【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．18．（2022秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线y=−x+4上的动点，连接AB，设点B的横坐标为a．(1)如图1，当a=2时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使∠BAC=90°，求点C的坐标．(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，当点B在直线y=−x+4上运动时，点D也随之运动，连接OD，求△AOD的面积（用含a(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线y=−x−5上时，求a的值．【答案】(1)C(2)S=(3)a的值为−72或−12或−3【分析】（1）如图1，过A作一条平行与y轴的直线DE，作BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，证明△ABD≌△CAEAAS，有AE=BD，EC=AD，进而可表示C（2）如图2，过A作一条平行与y轴的直线EF，作BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，连接OD，可证△ABE≌△DAFAAS，进而可得D（3）①当∠BAE=90°时，AB=AE，如图①，根据三角形全等可得E1，E2点坐标，将坐标代入y=−x−5中，计算求解即可；当∠ABE=90°时，AB=BE，如图②，当∠AEB=90°时，（1）解：∵a=2∴B如图1，过A作一条平行与y轴的直线DE，作BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，∴D∴BD=3，AD=2∵∠DBA+∠BAD=90°,∠BAD+∠EAC=90°,∴∠DBA=∠EAC在△ABD和△CAE中∵∠DBA=∠EAC∴△ABD≌△CAE∴AE=BD=3，EC=AD=2∴C1,−3（2）解：如图2，过A作一条平行与y轴的直线EF，作BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，连接OD，∴Ba,−a+4，∴BE=a+1，AE=−a+4同（1）可知△ABE≌△DAF∴AF=BE=a+1，FD=AE=−a+4∴D∴S当a<−1时，S△AOD当a≥−1时，S△AOD∴S△AOD（3）解：①当∠BAE=90°时，AB=AE，如图①，由（2）可知E1−a+3,−a−1将点E1、E2分别代入y=−x−5得−解得a=72和②当∠ABE=90°时，AB=BE，如图②，由（2）可知E1−1,−2a+3将点E1、E2分别代入y=−x−5得−解得a=72和③当∠AEB=90°时，AE=BE，如图③，由（2）可知E13将点E1、E2分别代入y=−x−5得−解得a=8和a=9综上所述，a的值为72或−12或−3或8【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于分情况求解．19．（2022秋·湖南岳阳·九年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=2时，求线段BG的长．【答案】解：（1）BD=CF成立．理由见解析；（2）①证明见解析；②8【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM=1【详解】解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=2，∴AE=∵在等腰直角△ABC中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，BC=∴在Rt△ABM中，tan∴在Rt△ABM中，tan∴AM=∴CM=AC−AM=4−∵△BMA∽△CMG，∴∴∴CG=∴在Rt△BGC中，BG=【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．20．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）请判断线段AE和CD的数量关系，并说明理由；（2）当A、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求线段FM长的最小值．【答案】（1）AE=2CD，理由见解析；（2）14−2或14【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可证△ABE∽△CBD，再由相似三角形的判性质即可得到结论．（2）根据相似三角形的性质得到AB=2BC=42，根据勾股定理得到AF=AB2−BF2=27，接下来分两种情形：如图1，当AE在AB左上方时，如图2，当（3）如图3，延长EF到G使FG=EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG=2BF=22，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到AG=2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论．【详解】解：（1）结论：AE=2CD．理由：∵在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠EBD=45°，∴∠ABE=∠CBD，∵四边形BDEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，∴ABBC=2，BEBD=∴ABBC∴△ABE∽△CBD，∴AECD∴AE=2CD．（2∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB=2BC=42，∵当A、E、F三点在一直线上时，∵∠AFB=90°，∴AF=AB=27，如图1，当AE在AB左上方时，AE=AF﹣EF=27﹣2，∵AE=2CD，∴CD=22AE=14﹣如图2，当AE在AB右下方时，同理，AE=AF+EF=27+2，∴CD=22AE=14+2综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为14﹣2或14+2．（3）如图3，延长EF到G使FG=EF，连接AG，BG，则△BFG是等腰直角三角形，∴BG=2BF=22，设M为AE的中点，连接MF，∴MF是△AGE的中位线，∴AG=2FM，在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，∴22≤AG≤62，∴2≤FM≤32，∴FM的最小值为2．【点睛】本题考查了相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，且DE=BF，求证：EG=AG；（2）如图2，正方形ABCD中，∠EAF=45°，延长EF交AB的延长线于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ⊥AE，垂足为点Q，交AF于点N，连结DN，求证：∠NDC=45°．【答案】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）根据半角旋转模型，把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，即可证明△AME≅△AFE，得到∠AEM=∠AEF，再结合∠AEM=∠EAG，可得∠AEM=∠AEF，可得EG=AG；（2）结论依然成立，证明方法与（1）一样；（3）又等腰三角形三线合一的性质可得GQ垂直平分EA，可得△ANE是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四点共圆，根据圆周角∠NDC=∠EAN=45°【详解】（1）把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，∴△AMD≅△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三点共线∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME≅△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（2）结论依然成立，EG=AG把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，∴△AMD≅△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三点共线∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME≅△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（3）连接EN由（2）得EG=AG∵GQ⊥AE∴GQ垂直平分AE∴EN=AN∵∠EAF=45°∴∠ANE=90°=∠ADE∴A、D、E、N四点在以AE为直径的同一个圆上，∴∠NDC=∠EAN=45°．【点睛】本题考查半角旋转模型，熟练根据模型做出辅助线是解题的关键．第（3）问根据四点共圆证明是本题的难点．22．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为边AB、BC上的一动点（且满足∠CED<90°），连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、BF．(1)如图1，当点D与点A重合时，求证：①CE=BF；②∠CBF=90°；(2)如图2，当点D与点A不重合时，结论∠CBF=90°是否仍然成立？请说明理由：(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DM⊥BF，垂足为M．试探究线段BE、BF、MF之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)证明见见详解(2)成立；理由见详解(3)BF=2MF+BE；理由见详解【分析】（1）根据已知条件证明△FAB≌△EAC即可；（2）过D作DH∥AC，可得出△BHD为等腰直角三角形，再根据第一问的方法证全等即可；（3）过D作DN⊥BC，可得四边形DNBM是正方形，再证Rt△FDM≌【详解】（1）∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠C=45°∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF∴AF=AE,∠FAE=∠BAC=90°∴∠FAB=∠EAC∵AB=AC∴△FAB≌△EAC∴CE=BF，∠FBA=∠C=∠ABC=45°∴∠CBF=90°（2）过D作DH∥AC∵DH∥AC∴∠BDH=∠BAC=90°,∠EHD=∠C=45°∴△BHD为等腰直角三角形同理可得：△FDB≌△EDH∴∠FBA=∠EHD=∠HBA=45°∴∠CBF=90°（3）BF=2MF+BE；理由如下：过D作DN⊥BC，∵DN⊥BC，DM⊥BF，∴∠DNB=∠DMB=∠CBF=90°∴四边形DNBM是矩形∵∠FBA=∠CBA=45°∴四边形DNBM是正方形∴DN=DM=BM=BN又∵DF=DE∴Rt∴MF=EN∵BM=BN∴BF=2MF+BE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．23．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）已知抛物线方程为y=ax2a>0（1）我们称F0,14a为抛物线y=ax2a>0的焦点，直线l:y=−1求证：PF=PH；（2）已知抛物线y=ax2过点①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标F；②将M−4,4绕焦点F顺时针旋转90°，得到点N，求△PNF③直线l：y=kx+m与抛物线交于A、B两点，点O是坐标原点，OA⊥OB．求证：直线AB过定点．【答案】（1）见解析；（2）①y=14x【分析】（1）PF2=（2）①将点M的坐标代入抛物线表达式得：4=a(−4)2，解得②求出N(3,5)，当N、P、H三点共线时，此时ΔPNF周长最小值=FN+PF+NP=NH+FN，即可求解；③联立y=kx+m与y=14x2并整理得：x2−4kx−4m=0，则xAxB【详解】解：（1）如图1，设点P(m,am则PF2=而PF=am（2）①将点M的坐标代入抛物线表达式得：4=a(−4)2，解得故抛物线的表达式为y=14x②如图2，将图形MFN向下平移1个单位，此时点M(−4,3)，对应点N(3,4)，再将该图形向上平移1个单位，则此时点N的坐标为(3,5)，即为题干要求点N的位置，即点N(3,5)，由（1）知，PF=PH，而FN为常数，故当N、P、H三点共线时，PF+NP=NH为最小，此时ΔPNF周长最小值=FN+PF+NP=NH+FN=(5+1)+3③如图3，联立y=kx+m与y=14x